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Ein Monoid mit neutralem Element e heißt Gruppe, wenn zusätzlich zu den Monoid-Eigenschaften noch folgendes gilt:

Für jedes gibt es ein mit .
Dabei heißt das Inverse von .
heißt kommutative Gruppe (oder abelsche Gruppe), falls außerdem für alle gilt.

Bemerkung: In jeder Gruppe gilt nicht nur , sondern auch für alle .