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b ist die obere Grenze Integral
a ist die unter Grenze Integral

b ist die obere Grenze Integral
a ist die unter Grenze Integral

sei f(x) gegeben dann ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), wenn gilt:
F'(x) = f(x)

Die Stammfunktion ist nicht eindeutig:

sind die zwischen a und b liegende Nullstellen einer integrierbaren Funktion f, so gilt für die Fläche A unter der Funktion f, die durch die Gerade x=a und x=b begrenzt wird.

sind f und g zwei integrierbare Funktionen mit als Schnittpunkte der beiden Graphen so gilt für die eingeschlossene Fläche:

Dreht sich das vom Graphen der Funktion f(x), der x-Achse und den vertikalen Gerade x=a und x=b eingeschlossene Flächenstück um die x-Achse, entsteht ein von zwei parallelen Ebene begrenzter Rotationskörper.

Herleitung
Umfang einer "einzelnen" Scheibe des Rotationsköpers
Bogenmaß:
Formeln zusammenführen

Für eine von [a;b] stetige Funktion f gilt:

• Die Integralfunktion c,x in [a;b] ist differenzierbar
• Die Ableitung der Integralfunktion ist die Integrandenfunktion: I'(x)=f(x)

Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f heißt unbestimmtes Integral von f und wird mit bezeichnet.

gegeben ist die Funktion f(x) und die zugehörige Integralfunktion I(x)

• Wenn f(x) symmetrisch bzgl. eines Punkts ist, dann ist I(x) symmetrisch bzgl. der Achse . Liegt das Symmetriezentrum von f nicht auf der x-Achse dann weist I(x) keine Symmetrie auf.
• Wenn f(x) symmetrisch bzgl. der Achse ist, dann ist I(x) symmetrisch bzgl. des Punktes

Eine Integralfunktion

• steigt über dort streng monoton, wo f(x) positiv ist -> der Graph verläuft oberhalb der x-Achse
• fällt über dort streng monoton, wo f(x) negativ ist -> der Graph verläuft unterhalb der x-Achse

Eine Integralfunktionen:

• besitzt dort relative Minima, wo die Integrandenfunktion Nullstellen ungerader Ordnung besitzt -> der Graph stößt von unten nach oben durch die x-Achse
• besitzt dort relative Maxima, wo die Integrandenfunktion Nullstellen ungerader Ordnung besitzt -> der Graph stößt von oben nach unten durch die x-Achse

Eine Integralfunktion

• ist überall dort rechtssgekrümmt, wo f'(x) negativ ist -> der Graph der Integrandenfunktion fällt also streng monoton.
•   ist überall dort linkssgekrümmt, wo f'(x) positiv ist -> der Graph der Integrandenfunktion steigt also streng monoton.

Eine Integralfunktion hat dort Wendepunkte, wo die Integrandenfunktion relative Extrema aufweist.

Eine oder beide Integrationsgrenzen nehmen beliebig große Wert an.

1.Fall


2.Fall


3.Fall

c ist eine beliebige, aber fest reelle Zahl

Es liegen endliche Integrationsgrenzen vor, jedoch strebt die Integrandenfunktion an den Integrationsgrenzen ins Unendlich (z.B. Polstellen)

1.Fall Funktion ist im geschlossen Intervall [a;b[ integrierbar


2.Fall Funktion ist im geschlossen Intervall ]a;b[ integrierbar

a besitzt z.B. eine Polstelle

1. Variable/ Größe feststellen die zu maximieren bzw. zu minimieren ist
2. Nebenbedingungen aus dem Text herauslesen und in Verbindung mit der Variable der Zielfunktion bringen. Wenn es im Text n Variablen gibt, dann wird es n-1 Nebenbedingung geben -> n-1 Gleichungen mit n Unbekannten
3. Gleichung mit einer einzigen Variable aufstellen und sinnvollen Definitionsbereich festlegen
4. Bestimmen der absoluten Maxima bzw. Minima -> Randextrema

Wachsen, wenn k> 0
Abnahme, wenn k<0
a ist der Anfangswert -> (0|a)

Funktion
steigt auf R immer streng monoton
besitzt den Anfangswert (0|)
Grenzwert p