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Antwort

- elementare Aussagen, die eindeutig als "wahr" oder "falsch" identifiziert werden können
- sowie deren Verknüpfungen mit logischen Operationen wie "und", "oder" oder "nicht"

Aussagen sind nur Sätze, denen eindeutig ein Wahrheitswert zugewiesen werden kann.

- Entweder oder

a	b	a XOR b
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

a	b	ab
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

umformen:

a	b	ab
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

umformen:

Die Syntax gibt hierbei an, wie formal korrekte Formeln gebildet werden können. Sie ist also vergleichbar mit der Grammatik einer Sprache, und sagt damit nichts über die inhaltliche Bedeutung der Sätze aus.

Die Semantik dahingegen geht auf die inhaltliche Bedeutung syntaktisch korrekter Strukturen ein. Im Rahmen der Aussagenlogik bezieht sich diese Interpretation jedoch nur auf die Bewertung
von Aussagen als „wahr“ oder „falsch“ aufgrund festgelegter Gesetzmäßigkeiten, der eigentliche Sinn der Elementaraussagen wird dabei nicht hinterfragt.

Für beide nein, da kein anderer Junktor direkt vor einem oder stehen darf.

eine Aussage, die unter jeder beliebigen Belegung der Eingangswerte "wahr"/"1" ist ...

eine Aussage, die unter jeder beliebigen Belegung der Eingangswerte "falsch"/"0" ist ...

wenn mindestens eine Belegung der Eingangswerte existiert, sodass die Formel "wahr"/"1" ist.

Wahrheitstabelle

Antwort

- Wahrheitstabelle
- Umformung der beiden Formeln in kKN oder kDN und anschließend richtig sortieren (links nach rechts: 000 bis 111). Dann ist absolute Vergleichbarkeit gegeben.

1. Klammern ()
2. "nicht"
3. "und"
4. "oder"
5. "Implikation"
6. "Äquivalenz"

Gleiche Ausdrücke von links nach rechts auswerten

Eindeutige Darstellung von Wahrheitsformeln. Sie dienen der Vergleichbarkeit.

Konjunktive Normalform: Konjunktive Verbindung von Disjunktionstermen


Disjunktive Normalform: DisjunktiveVerbindung von Konjunktionstermen

Antwort

1. Anwenden der DeMorganschen Regeln ( nach innen ziehen)

2.  Anwendung eines Distributivgesetztes (je nach dem ob DN oder KN gewünscht ist)

3. Zusammenfassen gleicher Terme mit den Idempotenzgesetzen

eine spezielle Darstellungsform von Wahrheitsfunktionen die eindeutig ist und absolute Vergleichbarkeit bietet.

Minterm:
Konjunktionsterm der kDN
Ein Minterm ist eine Konjunktion von Literalen

Maxterm:
Disjunktionsterm der kKN
Ein Maxterm ist eine Disjunktion von Literalen

1. Ausgehend von einer DN oder KN des Terms A suchen wir alle Terme, in welchen Variablen fehlen. Gibt es solche Terme nicht, liegt bereits eine kDN oder kKN vor und wir sind fertig.
2. Ansonsten wählen wir den ersten Konjunktionsterm K (Disjunktionsterm D) von A und eine Variable a, die nicht darin vorkommt.
3. Wir ersetzen K durch oder D durch und können dann das Distributivgesetz anwenden.
4. Wie schon beim Fall des Erzeugens der DN oder KN können gleiche Terme auftauchen, diese werden mit dem Idempotenzgesetz zusammengefasst.

Wir übersetzen eine negierte Variable in eine „0“ und eine nichtnegierte Variable in eine „1“.
Hierdurch werden n-stellige Dualzahlen erzeugt, welche entsprechend ihrer Größe sortiert (links nach rechts: 000 bis 111). werden können und so die Position des entsprechenden Minterms oder Maxterms in der kDN oder kKN bestimmen.

Antwort

Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen; diese Objekte heißen die Elemente der
Menge.

Die Mächtigkeit einer Menge gibt an, wie viele Elemente die Menge besitzt.

Existenzquantor:
- es gibt mindestens ein Element

Negierter Existenzquantor:
- es existiert kein Element x

Allquantor:
- für alle Elemente gilt

Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Objekte als Elemente haben.

Schreibweise zur Verdeutlichung der Elemente einer unendlichen Menge.

auch: prädikative Mengendefinition

prädikative Mengendefinition

TM bedeutet, dass T Teilmenge der Menge M ist und die Mengen dabei nicht gleich sein dürfen.

Bei der unechten Teilmenge ist es zulässig, dass T = M ist.

Wenn T M ist kann umgekehrt gesagt werden, M ist eine Obermenge von T.
M T wird somit gelesen als M ist Obermenge von T.

Das größte zu einer gegebenen Menge M denkbare Mengensystem

Beispiel:
Sei

Dann

Notation mit geschweiften Klammern

Antwort

auch Axiomatik

Name	Gesetz
Idempotenzgesetze
Kommuntativgesetze
Assoziativgesetze
Absorptionsgesetze
Distributivgesetze

auch Kreuzprodukt



alle möglichen Verbindungen von zwei Mengen

Notation mit Runden klammern

Eine Beziehung zwischen zwei Elementen

Zusätzlich:
Reflexiv + Transitiv + Symmetrisch = Äquivalenzrelation

Antwort

zu jedem Bild (y-Wert) gibt es höchstens ein Urbild (x-Wert)

zu jedem Bild (y-Wert) gibt es mindestens ein Urbild (x-Wert)

zu jedem Bild (y-Wert) gibt es genau ein ein Urbild (x-Wert)
--> damit gilt injektiv und surjektiv

injektiv: 
surjektiv:
bijektiv:
weder noch:

Kommutativgesetze
Assoziativgesetze
Idempotenzgesetze
Distributivgesetze
Neutralitätsgesetze
Extremalgesetze
Doppelnegationsgesetz
De Morgansche Gesetze
Komplementärgesetze
Dualitätsgesetze
Absorptionsgesetze

1) Negation
2) UND (Konjunktion)
3) ODER (Disjunktion)

Grundlage jeder Booleschen Funktion sind Variablen ai (i = 1, …, n), welchen eindeutig eine Belegung B {0, 1} zugewiesen werden kann. Aus diesen werden syntaktisch korrekte Terme auf folgende Art und Weise gebildet:

1. Jede Konstante 0 und 1 und jede Variable ai ist ein Boolescher Term.
2. Sind A und B Boolesche Terme, dann sind auch A’, (A B) und (A B) Boolesche Terme.
3. Nur Zeichenreihen, die sich mit (1) und (2) in endlich vielen Schritten konstruieren lassen, sind Boolesche Terme.

Eine Formel die erfüllbar ist