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2.  
3. wenn A und B disjunkt

Das Tupel heißt Wahrscheinlichkeitsraum. Dabei bezeichnet den Ereignisraum also die nichtleere Menge aller möglichen Versuchsergebnisse, die Menge der Ereignisse , die uns interessieren und das Wahrscheinlichkeitsmaß, das jedem Ereignis aus eine Wahrscheinlichkeit zuordnet.

Stochastische Unabhängigkeit ist die Unabhängigkeit jeder Teilfamilie der Ereignisse. Demnach folgt aus stochastischer Unabhängigkeit die paarweise Unabhängigkeit aber nicht umgekehrt!

z.B.:
ist ein Audi Run der Länge 2, danach ein BMW Run der Länge 3 und schließlich ein Audi Run der Länge 1. Insgesamt sind es zwei Audi Runs und ein BMW Run.

Ist ein Wahrscheinlichkeitsraum und eine beliebige Menge, dann heißt eine -wertige Zufallsvariable. Hierbei ordnet einem zufällig gewähltem einen Wert zu.

Der Erwartungswert ist definiert als , falls existiert

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3)
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5)

Bei einer Hypergeometrischen Verteilung wird ohne Zurücklegen gezogen. Die zweite Frage ist ein typischer Fall für eine Hypergeometrische Verteilung.

Die Verallgemeinerung auf mehr als zwei unterschiedliche Arten von Kugeln ist naheliegend: man multipliziert im Zähler die Binomialkoeffizienten für jede Art von Kugeln.

Bei einer geometrischen Verteilung gibt es zwei mögliche Ausgänge (meist 0 und 1). Ein Treffer (1) hat die Wahrscheinlichkeit eine Niete (0) die Wahrscheinlichkeit .
bezeichnet hierbei die Wahrscheinlichkeit k 0er vor dem ersten 1er zu erhalten und es gilt

Die Binomialverteilung wird angewendet, wenn man N Experimente mit den gleichen zwei möglichen Ausgängen hat, was man Bernoulli Experimente nennt. Man interessiert sich für die Wahrscheinlichkeit k Treffer in den N Experimenten zu erzielen, welche gegeben ist durch:

Die Negative Binomialverteilung wird angewendet wenn man die Wahrscheinlichkeit berechnen will k 0er vor dem r-ten 1er zu haben. Diese ist gegeben durch:

Die Poissonverteilung wird als Annäherung an die Binomialverteilung genutzt, denn es gilt

Die WEF ist eindeutig.

Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Tripel

Eine Dichte auf ist eine nicht-negative Funktion mit Dabei muss stetig bis auf endlich viele Sprungstellen sein, damit das Intergral wohldefiniert ist.

eine Funktion auf mit Werten in heißt Verteilungsfunktion, wenn sie rechtsstetig und monoton wachsend ist und wenn für

gilt.

den Wertebereich von bestimmen
die Verteilungsfunktion von finden

     

Die CF der Summe ist das Produkt der einzelnen CFs

eine stetige ZV mit Dichte und sei eine auf monoton steigende nichtnegative Funktion mit dann gilt:

          

eine stetige ZV mit endlicher Varianz. Für :

     

eine Folge u.i.v. ZV mit :

Oder mit Worten: Für eine reellwertige Folge u.i.v. ZV mit gleichem endlichen Erwartungswert für jedes Folgenglied konvergiert das arithmetische Mittel der Folge in Verteilung gegen den Erwartungswert.

unabhängige ZV mit gleichem Erwartungswert und Varianzen Dann gilt :

Oder in Worten: Die Wahrscheinlichkeit, dass das arithmetische Mittel von n unabh. ZVen mit gleichem Erwartungswert um mehr als Epsilon vom Erwartungswert abweicht ist kleiner gleich und konvergiert gegen Null.

eine Folge unkorrelierter ZV und . Dann konvergiert die Folge

fast sicher gegen 0.