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Faktorieller Ring
Ein Ring 
heißt faktoriell, wenn integer ist und die äquivalenten Eigenschaften aus Theorem 4.5 besitzt, also:
(i) Jede Nicht-Einheit
in ist ein (endliches) Produkt von Primelementen
(ii) Jede Nicht-Einheit in ist ein (endliches) Produkt aus irreduziblem Elementen und diese Darstellung ist Eindeutig bis auf Reihenfolge und Assoziertheit.
(iii) Es gibt keine unendlichen Teilerketten in und je zwei Elemente in besitzen einen 
.
(iv) Es gibt keine unendlichen Teilerketten in und jedes irreduzible Element ist prim.
heißt faktoriell, wenn integer ist und die äquivalenten Eigenschaften aus Theorem 4.5 besitzt, also:(i) Jede Nicht-Einheit
in ist ein (endliches) Produkt von Primelementen(ii) Jede Nicht-Einheit
in ist ein (endliches) Produkt aus irreduziblem Elementen und diese Darstellung ist Eindeutig bis auf Reihenfolge und Assoziertheit.(iii) Es gibt keine unendlichen Teilerketten in
und je zwei Elemente in besitzen einen .(iv) Es gibt keine unendlichen Teilerketten in
und jedes irreduzible Element ist prim.