Wann ist ein lineares Gleichungssystem (LGS) konsistent?
Wenn alle 0 Zeilen der gegaussten Matrix = 0 sind (
bis
= 0)

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Wann hat ein lineares Gleichungssystem mindestens eine Lösung?
- r = m
- r < m & konsistent
Wann hat ein lineares Gleichungssystem unendlich Lösungen?
n - r > 0
r < n & konsistent

Wann hat ein LGS für alle
eine Lösung?

Wenn A eine quadratische Matrix ist die für Ax = 0 nur die triviale Lösung gibt.
Welche Bedingungen in der Dimension der Matrix müssen erfüllt sein, damit eine Multiplikation möglich ist?

Eigenschaften invertierbarer (regulärer) Matrixen
-
ist
lösbar
-
hat genau eine Lösung
-
hat nur die triviale Lösung
-
-
Eigenschaften nicht-invertierbarer (singulärer) Matrixen
-
hat entweder keine oder unendlich viele Lösungen
-
hat unendlich viele Lösungen
-
-
Eigenschaften einer orthogonalen Matrix
-
- A ist invertierbar &
-
-
: C ist auch orthogonal wenn A und B orthogonal
- Spalten und Zeilenvektoren sind normiert (
)
- Spaltenvektoren sind im rechten Winkel aufeinander
Welche Eigenschaften benötigt eine Matrix, damit man ihre Determinante finden kann?
Sie muss quadratisch sein
Was passiert mit der Determinante wenn eine Zeile vertauscht wird?
Sie wechselt das Vorzeichen
Was passiert bei der Addition eines vielfaches einer Zeile zur anderen mit der Determinante?
Sie bleibt unverändert
Was gilt für die Determinante wenn eine ganze Zeile skalar multipliziert wird?
Man kann den Skalar aus der Matrix nehmen und ihn mit der Determinante der Matrix ohne skalaren Faktor multiplizieren und kommt auf das selbe Resultat.

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Bei welchen Matrizen ist die Determinante eine Multiplikation der Werte ihrer Diagonalen?
Bei einer L, R und diagonal Matrix
Was stellt die Determinante einer
Matrix dar?

Das Volumen das von
,
und
aufgespannt wird (
Pyramidenvolumen)

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

Was ist ein endlich dimensionaler Raum?
Wenn ein Erzeugendensystem mit endlich vielen Vektoren gebildet werden kann.
Welche Eigenschaften hat ein Raum V mit dim(V) = n
- Mehr als n Vektoren sind linear Abhängig
- Weniger als n Vektoren sind nicht erzeugend
- n linear unabhängige Vektoren bilden eine Basis
Eigenschaften von Ker(A) und Im(A) 
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-
ist ein lösbares LGS
-
- Ker(A) ist ein Unterraum von
- Im(A) ist ein Unterraum von
- Es gilt
- Es gilt
Wie bekommt man die Basis des Ker(A)?
Man setzt Ax = 0 und gausst, span vom x Vektor ergibt die Basis des Ker(A)
Wie bekommt man die Basis des Im(A)
Man nimmt linear unabhängige Vektoren in A. (Wenn zuerst der Ker(A) bestimmt wurde können diese gleich abgelesen werden)
Was ist eine Eigenschaft der EW zu
wenn die EV linear unabhängig sind?


Was sind Gemeinsamkeiten von zwei ähnlichen Matrizen?
Charakteristisches Polynom, EW und algebraische Vielfachheit
Wann ist eine Matrix halbeinfach?
Wenn bei jedem EW, EV paar, die algebraische Vielfachheit gleich der gemetrischen Vielfachheit ist.
Wie wird T und D gebildet?
T sind die EV von A
D sind die EW von A auf der Diagonale eingetragen.
D sind die EW von A auf der Diagonale eingetragen.
Eigenschaften der EW symmetrischer Matrizen
- Alle EW von
- EV von verschiedenen EW sind orthogonal
- A ist halbeinfach (also auch diagonalisierbar)
- Mit normierten Spalten von T kann die Orthonormalbasis von T gebildet werden
Axiome der Matrixnorm
-
-
orthogonale
-
symmetrische
-
reguläre
-
reguläre & symmetrische
-
max Spaltensummennorm = Addition des Betrags der Einträge der Spalte
-
max Zeilensummennorm = Addition des Betrages der Einträge der Zeile
Was ist das Hurwitz Kriterium?
Es sagt, dass jede Matrix positiv definit ist wenn die Determinante alle ihrer quadratischen Untermatrixen strikt grösser Null ist.
Wie erreicht man das Ziel der Ausgleichsrechnung und was soll erreicht werden?
Man will
so finden, das
minimal wird.
Und es gilt


Und es gilt

Was sind die Schritte der LR-Zerlegung für
?

- Die Matrix A wird in L und R Zerlegt durch Gaussen (ausschliesslich mit Subtraktion) der Matrix A (P Matrix nicht vergessen)
- Danach gilt
-
wird zu c zusammengeführt
- Das führt zu
wo nun nach c aufgelöst werden kann
- Mit gefundenem c kann nun für x aufgelöst werden über
Was sind die Schritte der QR-Zerlegung für
?

- Die Matrix A wird in Q Zerlegt durch eine Serie von Givensrotationen mit der A Matrix
- Danach gilt
- Dann soll auf R geschlossen werden mit
- Mit gefundenem R kann nun für x aufgelöst werden über
Was sind die Schritte des Gramm-Schmidt Orthogonalisierungsverfahren?
1. Etablierung des ersten Basisvektors: 
2. Errechnung der Richtung des zweiten Basisvektors:

3. Normalisierung des zweiten Basisvektors:
4. Repetition von Schritt 2. und 3. für alle weiter Vektoren der originalen Basis.
Schritt 2. ist jeweils im Schema:


2. Errechnung der Richtung des zweiten Basisvektors:

3. Normalisierung des zweiten Basisvektors:

4. Repetition von Schritt 2. und 3. für alle weiter Vektoren der originalen Basis.
Schritt 2. ist jeweils im Schema:

Was ist eine Übergangsmatrix?
Eine Matrix die verwendet wird um von einer Basis in die nächste zu wechseln.
Wie schliesst man auf eine Übergangsmatrix T die von
geht?

Man stellt die Basisvektoren von der alten Basis (B') in der neuen dar (B).
Mit den Multiplikationswerten kann eine Matrix gebildet werden, welche wenn sie transponiert wird T ergibt.
Bsp:





Mit den Multiplikationswerten kann eine Matrix gebildet werden, welche wenn sie transponiert wird T ergibt.
Bsp:
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Wie kann die Darstellungsmatrix
zur Matrix
konvertiert werden mit der Übergangsmatrix 




Wie wird
berechnet für A quadratisch und diag-bar?

1. EWP von A lösen
2. T und D bilden
3. Schauen ob A symmetrisch
Nein:
berechnen 
Ja: T orthogonal wählen
2. T und D bilden
3. Schauen ob A symmetrisch
Nein:

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Ja: T orthogonal wählen

Eigenschaften positiver definitheit
-
- Matrix ist nicht singulär und es existiert eine inerse
- Alle Hauptelement der Diagonalen sind positiv
Was wird die Ausgleichsrechnung mit einer QR Zerlegung für die Matrix
ausgeführt?

1. Q Matrix bilden
2. R bilden:
3.
aus R extrahieren: 
4. d bilden:
5.
aus d extrahieren: 
6. Nach x auflösen:
2. R bilden:

3.


4. d bilden:

5.


6. Nach x auflösen:

Was ist eine unitäre Matrix?
Eine komplexe Matrix die orthogonal bezüglich des Standartskalarproduktes ist.
Was ist eine Eigenschaft der U und V Matrix der Singulärwertzerlegung?
Sie sind orthogonal
Wie wird die V Matrix der Singulärwertzerlegung errechnet werden?
- Lösen des EWP von
- V ist die Matrix bestehend aus den EV.
- Die Reihenfolge der Matrix korrespondiert zu ihren entsprechenden EW wenn diese vom grössten zum kleinsten geordnet werden.
- V wird orthonormalisiert (mit Gramm-Schmidt)
Wie wird die U Matrix der Singulärwertzerlegung errechnet werden?
- Lösen des EWP von
- U ist die Matrix bestehend aus den EV.
- Die Reihenfolge der Matrix korrespondiert zu ihren entsprechenden EW wenn diese vom grössten zum kleinsten geordnet werden.
- U wird orthonormalisiert (mit Gramm-Schmidt)
Wie wird die S Matrix einer
Matrix mit der Singulärwertzerlegung gebildet?

Die Singulärwerte
werden vom grössten zum kleinsten auf der Diagonalachse einer
Matrix eingetragen. Alle anderen Werte werden 0 gelassen.


Von welcher Matrix muss das EWP gelöst werden um auf die U Matrix zu schliessen bei der SWP?

Von welcher Matrix muss das EWP gelöst werden um auf die V Matrix zu schliessen bei der SWP?

Wie kann die
Matrix einer
Matrix mit der Singulärwertzerlegung gebildet werden?


Die Singulärwerte
werden vom grössten zum kleinsten auf der Diagonalachse einer
Matrix eingetragen. Alle anderen Werte werden 0 gelassen.


Wie kann die Matrix
aus der S Matrix herausgelesen werden?


Wie kann von der V Matrix auf die U Matrix geschlossen werden?
Es wird
für jeden Vektor in V gerechnet.

Wie kann von der U Matrix auf die V Matrix geschlossen werden?
Es wird
für jeden Vektor in U gerechnet.

Wie ist der Vektor d der Singulärwertzerlegung aufgeteilt?

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Wie wird der Vektor v für die Haushodertransformation gewählt?
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- z ist der Zielvektor, also z.B. ein Einheitsvektor
- a ist der Ausgangsvektor, also der zu spiegelnde Vektor
-
ist der Eintrag der im der oberen linken Ecke auf die die H Matrix angewendet wird
Wie wird die Givensrotationsmatrix gewählt wenn der Eintrag
der Matrix
zu Null gemacht werden soll?
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Wie löst man das DLG 1. Ordnung
für A diag bar?
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1. Man löst das EWP für A und erstellt D von a und T von A
2. Man setzt die Werte in die Gleichung
(für
Also erhält man:
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2. Man setzt die Werte in die Gleichung
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(für
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Also erhält man:
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Kartensatzinfo:
Autor: CoboCards-User
Oberthema: Lineare Algebra I
Thema: Lineare Algebra
Schule / Uni: ETH Zürich
Ort: Zürich
Veröffentlicht: 21.01.2020
Tags: 2019
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