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18
Wir betrachten einen einfachen Feder-Masse-Schwinger der krafterregt ist.
1.
Wie lautet die Kreiseigenfrequenz?
2.
Wie groß ist die stationäre Antwort für sehr kleine Ω?
3.
Wann ist die stationäre Amplitude bei p^≠0 fast null?
4.
Wann ist die stationäre Amplitude maximal?
5.
Wann ist die Phasenverschiebung der stationären Antwort π?
1.
Wie lautet die Kreiseigenfrequenz?
2.
Wie groß ist die stationäre Antwort für sehr kleine Ω?
3.
Wann ist die stationäre Amplitude bei p^≠0 fast null?
4.
Wann ist die stationäre Amplitude maximal?
5.
Wann ist die Phasenverschiebung der stationären Antwort π?
1.
Die Bewegungsgleichung lautet: m*x^..+k*x = p(t) = p^*cos(Ωt)
Aus der Standartform folgt die Eigenfrequenz: w0 = Wurzel(k/m)
2.
Die stationäre Antwort lässt sich aus der partikulären Lösung ablesen.
Ansatz:
xp(t) = p^s*p(t) = p^s*cos(Ωt)
xp(t)^. = - p^s*Ω*sin(Ωt) 1. Ableitung
xp(t)^.. = - p^s*Ω²*cos(Ωt) 2. Ableitung
einsetzen:
- m*p^s*Ω²*cos(Ωt) + k*p^s*cos(Ωt) = p^*cos(Ωt)
nach Koeffizienten auflösen:
- m*p^s*Ω² + k*p^s = p^
<=> p^s = p^/(-m*Ω² + k)
in die Ansatzfunktion einsetzen:
xp(t) = p^/(-m*Ω² + k)*cos(Ωt)
Dies stellt die stationäre Antwortamplitude dar. Für kleine Ω wird cos(~0)=1 und die Trägheit der Masse im Nenner fällt ebenfalls weg (Ω2 ~ 0).
Es folgt xp(t) = p^/k als stationäre Antwortamplitude.
3.
k => ∞
4.
Im Resonanzfall => ω0 = Ω
5.
für η > 1 d.h.
Ω/ω0 > 1 => ϕ → π
Die Bewegungsgleichung lautet: m*x^..+k*x = p(t) = p^*cos(Ωt)
Aus der Standartform folgt die Eigenfrequenz: w0 = Wurzel(k/m)
2.
Die stationäre Antwort lässt sich aus der partikulären Lösung ablesen.
Ansatz:
xp(t) = p^s*p(t) = p^s*cos(Ωt)
xp(t)^. = - p^s*Ω*sin(Ωt) 1. Ableitung
xp(t)^.. = - p^s*Ω²*cos(Ωt) 2. Ableitung
einsetzen:
- m*p^s*Ω²*cos(Ωt) + k*p^s*cos(Ωt) = p^*cos(Ωt)
nach Koeffizienten auflösen:
- m*p^s*Ω² + k*p^s = p^
<=> p^s = p^/(-m*Ω² + k)
in die Ansatzfunktion einsetzen:
xp(t) = p^/(-m*Ω² + k)*cos(Ωt)
Dies stellt die stationäre Antwortamplitude dar. Für kleine Ω wird cos(~0)=1 und die Trägheit der Masse im Nenner fällt ebenfalls weg (Ω2 ~ 0).
Es folgt xp(t) = p^/k als stationäre Antwortamplitude.
3.
k => ∞
4.
Im Resonanzfall => ω0 = Ω
5.
für η > 1 d.h.
Ω/ω0 > 1 => ϕ → π
