This flashcard is just one of a free flashcard set. See all flashcards!
47
Anzahl der Vektoren einer Nebenklasse. Wieviele Vektoren hat eine Nebenklasse?
Nebenklassen sind immer abhängig von dem jeweiligen Untervektorraum 
.
Grundsätzlich macht diese Frage nur sinn, wenn eine endliche Menge betrachtet wird. Irgendeine Anzahl an Elementen wird dann ja haben, wenn es endlich. Diese Zahl nennen wir einfach 
.
selbst ist zu sich ist eine Nebenklasse, nämlich die Nebenklasse 
.
Diese Nebenklasse hat die gleiche Anzahl an Element wie natürlich. Also genau 
. (Nach dem Satz über die Anzahl von Elementen eins Vektoraumes)
Wann könnte jetzt auf die Idee kommen, zu vermuten, dass auch jede äquivalente Nebenklasse gleichviele Elemente wie hat, und man könnte im ersten Versuch mal versuchen ein Bijektive Abbildung zwischen und zu konstruieren. Klappt das, so ist klar, dass und gleichmächtig sein müssen.
Das klappt mit
. Denn die Surjektivitöt folgt aus der Definition der Nebenklasse und die Injetivität ist einfach mit 
.
.Grundsätzlich macht diese Frage nur sinn, wenn eine endliche Menge
betrachtet wird. Irgendeine Anzahl an Elementen wird dann ja haben, wenn es endlich. Diese Zahl nennen wir einfach . selbst ist zu sich ist eine Nebenklasse, nämlich die Nebenklasse .Diese Nebenklasse hat die gleiche Anzahl an Element wie
natürlich. Also genau . (Nach dem Satz über die Anzahl von Elementen eins Vektoraumes)Wann könnte jetzt auf die Idee kommen, zu vermuten, dass auch jede äquivalente Nebenklasse gleichviele Elemente wie
hat, und man könnte im ersten Versuch mal versuchen ein Bijektive Abbildung zwischen und zu konstruieren. Klappt das, so ist klar, dass und gleichmächtig sein müssen.Das klappt mit
. Denn die Surjektivitöt folgt aus der Definition der Nebenklasse und die Injetivität ist einfach mit .