Get these flashcards, study & pass exams. For free! Even on iPhone/Android!

Zusammenhang der Elemente mit dem Knoten (0 oder 1)

unendlich viele EF

Erklärung:
Kontinuum => unendlich viele Freiheitsgrade => unendlich viele EF

wie im Einheitslastsystem nur mit der Vorkraft angreifend

1) geringer Drillwiderstand
2) deshalb hohe Verdrillung
3) was hohe Spannung bedingt
4) hoher Einfluss von Längskraften

- Schubflüsse q_r bleiben unverändert
- Flächen A_Rk ändern sich, da Angriffspkt R verschoben wurde
- Schubfluss q_0 ändert sich

für sehr kleine Durchbiegungen. Bei größeren Biegungen muss mit den höheren Ordnung gerechnet werden.

1) unterkrit. Dämpfung 0 < D < 1
2) krit. Dämpfung D = 1
3) überkrit. Dämpfung D > 1

immer nur bis zur Symmetrielinie integrieren und dann mit 2 multiplizieren

1) nur Stäbe oder Seile
2) nur Gelenke
3) alle Kräfte greifen im Knoten an

1) Verdrillung = 0

2) - wenn Verdrillung > 0, dann muss Q nach links auf der Achse      verschoben werden
    - wenn Verdrillung < 0, dann Q nach rechts verschieben

sie leiten die Kräfte immer in den Stab, daher können nur Zug- oder Druckkräfte übertragen werden

Die Matrix ist nicht invertierbar.
Die Determinante ist Null.
Das Gleichungssystem ist nicht lösbar.
Starrkörperbewegung => Freie ungebundene Bewegung => Keine Wechselwirkung mit anderen Freiwerten

Ein Bernoulli-Balken hat zwei Knoten mit je zwei Freiwerten. Demzufolge besitzt er 4 Freiwerte und man benötigt 4 Randbedingungen um ihn eindeutig zu bestimmen. Die Ansatzfunktion ist deshalb bei 2 Knoten schon vom Grad 3.



Ein Stabelement hat nur einen Freiwert pro Knoten. Für einen quadratische Ansatz werden jedoch 3 Freiwerte benötigt. => 3 Knoten nötig.

In der Theorie 1. Ordnung: Hierbei spielt die Linearität bei Verformungen und Verschiebungen eine wichtige Rolle. Unter der Annahme, dass Verformungen sehr klein gegenüber der Gesamtlänge und Größe des Gegenstandes sind, kann man von einer Proportionalität der Spannungen und Dehnung gegenüber den aufgebrachten Kräften ausgehen.

Aus der Linearität folgen das Proportionalitätsprinzip zwischen Verformungen/Spannungen und Kräften und das Superpositionsprinzip für die lineare Überlagerung von Verformungen/Spannungen und Kräften.

a)

zum antisymm. Halbmodell:
Keine Feder an der linken Seite. Ferdersteifigkeit spielt hier keine Rollen, da sich beider Wage im gleichen Tackt bewegen.

zum symm. Halbmodell:
Doppelte Federsteifigkeit bei Halbierung der Federlänge und symmetrischem Aufbau.

b) Das symmetrische Halbmodell.

Vorteile:
- extrem langsame Verformungs- und Dehngeschwindigkeiten möglich (bspweise bei der Untersuchung von Knick- und Beulvorgängen)
- weitgehende Wartungsfreiheit, gute Regelbarkeit und mechanische Selbsthemmung beim Ausschalten
- breite Angebotspalette an Verstellgeschwindigkeiten und Kraftbereichen

Nachteil:
- Verstellvorgänge mit hoher Dynamik lassen sich wegen des Getriebes nicht realisieren

- Piezoaktoren
- Hydraulikaktuatoren

Über die Veränderung des Widerstandes kann der die Änderung des Weges gemessen werden.

mit Dämpfung:
Einschwingphase => Homogene Lösung spielt entscheidende Rolle
Stationäre Phase => Partikuläre Lösung (die Homogene Lösung wird "weggedämpft"!)

ohne Dämpfung:
Einschwingphase => Homogene Lösung spielt entscheidende Rolle
Stationäre Phase => sowohl Homogene Lösung, als auch die Partikuläre Lösung (die Homogene Lösung wird nicht "weggedämpft"!)

a)  aic * cos(ωt) + ais * sin(ωt)

b) hängen von Randbedingungen ab

c) nur der homogene Teil

d) partikulärer Teil kann direkt, ohne Rechnung vom Erregungsimpuls ausgehend bestimmt werden

a) V

b) Phi in der cos-Funktion

c) F/m

Überlagerung von zwei Lösungen oder Zuständen

Berechnung von statischen Problemen mit Hilfe nichtlinearer Zusammenhänge. Es gilt zu beachten, dass Ergebnisse nicht zwangsläufig der Realität entsprechen müssen, da es in der Realität Begrenzungen für gewisse Probleme gibt (z.Bsp. keine unendliche Auslenkung, etc. )

Nichtlinearität!

Ersetzen von kontinuierlichen Größen durch bekannte Ansatzfunktionen und unbekannte Größen an einzelnen, diskreten Punkten (den Knoten).

Vgl.: Skript Diskretisierung, S. 15 (unten)

Die virtuelle Arbeit entsteht durch die Multiplikation von tatsächlichen Kräften mit gedachten – virtuellen – Verschiebungen.
=> obergeordnet: Prinzip der virtuellen Arbeit (PvA)
Vgl.: Skript Diskretisierung, S. 4 oben

=> Als Unterart auch das Prinzip der virtuellen Verschiebungen:
(Vgl.: Skript Diskretisierung, S. 5 mitte)
Multipliziert man die virtuellen Verschiebungen mit den tatsächlichen Kräften, so wendet man eine Unterart des Prinzips der virtuellen Arbeit an, nämlich das Prinzip der virtuellen Verschiebungen.

Gleichgewicht: Gleichgewichtsbedingungen statische Randbedingungen (Statik)
Werkstoff: Spannung Verzerrungen (Elastizitätsgesetz)
Geometrie: Vernetzungen Verschiebungen (kinemat. Gleichungen)

Löst das Problem durch zweimalige partielle Integration.

Vgl.: Skript Diskretisierung, S. 27-28

Man erhält Verschiebungen/ Verformungen:
- unbekannten Knotenfreiwerte
- unbekannte Lagerreaktionen

K: Steifigkeitsmartix
z: Knotenfreiwerte
P: Lastspalte

K*z=P

Arbeitsgleichung:

δW = 0

(Prinzip der virtuellen Arbeit!)

Vgl.: Skript Diskretisierung, S. 67 ff (Kapitel 7)

Längskräfte, Querkräfte, Momente und Spannungen

Spannungen: Sie müssen mit einer Nachlaufrechung aus der Differentiation der Verschiebungsansätze ermittelt werden und sind somit ungenauer.
Hooksches Gesetz: σ = Eε

Vgl.: Skript Diskretisierung, S. 2

Quadratischer Ansatz der Form: w(s)=c2*s²+c1*s+c0

Grad der Polynome der Ansatzfunktion muss bei nFHG n-1betragen

Starrkörperbewegung:
Für die Statik heißt dies, dass die Freiwerte nicht gebunden sind und somit auch keine Wechselwirkung mit anderen Freiwerten haben.

Charakteristikum einer solchen singulären Matrix => det(K)=0
- singulär
- nicht Invertierbar
- GLS nicht Lösbar

Lange Antwort:
Vorteile einer linearen Theorie (Theorie 1. Ordnung) in der Statik:
1. Gleichgewicht kann an der unverformten Struktur angesetzt werden, denn die Verschiebungen sollen klein sein gegenüber den Abmessungen des Tragwerks.
2. Verformungen und Spannungen sind proportional zur Belastung:
Wenn P →σ, dann 2P→2σ; n-fache Last → n-fache Spannungen und Verformungen.
3. Es gilt das Superpositionsgesetz (Überlagerungsgesetz) für Lastfälle:
Wenn P1→ v1; σ 1 und P2→v2 , σ 2, dann (P1 + P2) → (v1 + v2); (σ 1 + σ 2).
Vgl. Statik I Skript, S. 34

Kurze Antwort:
1. Kleine Verformungen: Verformungen und Verschiebungen sind klein gegenüber den Abmessungen des Tragwerks:
ε<<L

2. Proportionalität: Verformungen (ε) und Spannungen (σ) sind proportional zur Belastung (P):
ε~P & σ~P

3. Superposition:
(P1 + P2) ~ (ε 1 + ε 2); (σ 1 + σ 2)

Vorraussetzung für die lineare Theorie:
Lineare Theorie erfordert, dass alle Beziehungen zwischen auftretenden Größen linear sind.

Es folgt: Sobald die Beziehungen zwischen den auftretenden Größen nicht mehr linear sind.

z.Bsp. Drehung eines Stabes => Auftretender Sinus ist bei großen Drehungen nicht mehr linear => Folglich gilt nur bei kleinen Drehungen die lineare Theorie.

Vgl. Statik I Skript, S. 35

a) Generell: Es handelt sich um eine nichtlineare Beziehung.
Warum Pkrit ?
Sobald Pkrit erreicht wurde knickt der Stab schlagartig! Es gibt auf Grund fehlender Querkraft (Q=0) keine vorherige Ausbiegung. Die Auslenkung ist dann unendlich groß.
Der Sachverhalt wird auch im Skript anschaulich dargestellt (dieser Fall wird durch Q/ Pkrit = 0 dargestellt): Statik II, S.44

b) Erklärung: Leichte Krümmung wird durch eine zusätzliche Querkraft erreicht. Die Knickung tritt nicht schlagartig auf, sondern kündigt sich durch vorherige Ausbiegung an. Nach erreichen der Kritischen Last knickt dann dieser Stab allerdings auch!

a) Der Balken wird gerade gezogen.

b) Eine kritische Last gibt es nicht! Auslenkung und Beanspruchung (Moment) im Fall des Zuges kleiner als von der linearen Theorie vorausgesagt.

Vgl. Statik II Skript, S. 46

a) MKS
b) FEM (MKS?)
c) KOS



Vgl. Dynamik I Skript, S. 2.2

Bild 3.2.16 zeigt das prinzipielle Schema zur Dehnungsermittlung mit Hilfe zweier Kameras. Diese verfolgen die Bewegung eines Musters, das auf das interessierende Bauteil bzw. die Werkstoffprobe aufgebracht wurde und sich unter der Belastung des Prüflings verformt (Anstelle des Musters können auch markante Oberflächenpunkte benutzt werden, die sich aus der Werkstoffstruktur oder der Oberflächenbeschaffenheit des Bauteils ergeben.) Durch Vergleich entsprechender Punkte des ursprünglichen und des verzerrten Musters mit Mitteln der digitalen
Bildverarbeitung können überall auf der Oberfläche des Prüfobjekts die örtlichen Dehnungen ermittelt werden. Der Gebrauch zweier Kameras in Verbindung mit Stereoverfahren ermöglicht dabei die Betrachtung räumlicher Dehnungsbewegungen sowie die Untersuchung an gekrümmten Oberflächen.
(vgl. Versuchstechnik Skript, S. 3.18)

Kurzfassung: Verfolgung der Bewegung eines Musters auf einem Bauteil

- Wärmestrahlung der Probe durch eine ungünstige Oberfläche (Reflektion von Wärmestrahlen)
- Örtlicher Emmissionsgrad der Probe
- Verschmutzung
- Raumtemperatur
(vgl. Versuchstechnik Skript, S. 3.18)

- Linearität
- Nullpunktstabilität
- Amplitudenfrequenzgang
- Sprungantwort
- Signal-Rausch-Spannungsverhältniss
- Eingangs- und Ausgangswiederstand
(vgl. Versuchstechnik Skript, S. 3.22ff)

Der Satz von Betti besagt, dass die reziproken äußeren Arbeiten zweier Systeme, die im Gleichgewicht sind, gleich groß sind

Aussage:
Statisch äquivalente Kraftsysteme haben in hinreichendem Abstand vom Krafteinleitungsbereich die gleiche Wirkung. Bei Vollkörpern ist dieser Abstand etwa so groß wie die Abmessungen des Krafteinleitungsbereiches. Bei dünnwandigen Trägern und Schalen kann dieser Abstand auch ein Mehrfaches des Krafteinleitungsbereiches betragen.

Alternative Formulierung des Prinzips von St. Venant:
Die Wirkung einer Gleichgewichtskraftgruppe (d.h. einer Kraftgruppe, deren Momentenfeld Null ist) verschwindet in hinreichendem Abstand vom Krafteinleitungsbereich.

Längskräfte, Querkräfte, Momente, Spannungen

Spannungen: Hooksches Gesetz (σ = Eε)

= eingeschwungener Zustand, d.h. periodisch oder konstante Lösung gehen gegen unendlich

p(t)=p*cos("omega"*t)

1. Index: Ort der Kraft
2. Index: Ursache

Integration vom Querkraftverlauf ergibt Momentemverlauf oder die Ableitung von M ergibt Q.

= unbekannte Kräfte können komplett mit den GGB berechnet werden.

"omega"0 wird doppelt so groß

"omega"0=sqrt(k/m)

mit der Normierungsmatrix G

die anderen sind meistens 0 oder so klein, dass sie vernachlässigbar sind

ja, aber sehr klein daher vernachlässigbar

Verlorene Kräfte im System sind im Gleichgewicht. Sie beeinflussen die Bewegung nicht.

Qk: nichtkonservative Kräfte
T: Lagransche Funktion
qk: verallgemeinerte Koordinaten

x(t)=x_h+x_p

Modellierung der Oberfläche durch Zerlegung in Elemente

Knoten	x	y	z
1
2
3

quad. Ansatz =>   u=a+b*x+c*x^2

a,b,c sind die Freiwerte > 3 Freiwerte nötig > 3 Elementknoten nötig beim Stab Bernoulli Balken: 2 Freiwerte pro Knoten: Omega, Phi kubischer Ansatz =>   u=a+b*x+c*x^2+d*x^3

4 Freiwerte --> 2 Knoten nötig (da 2 EW pro Knoten)

1) ideale Dehnstäbe
2) ideale Biegestäbe
3) Theorie 1. Ordnung

In der Theorie 1. Ordnung gibt es zu jedem Lastfall genau einen einzigen Spannungszustand

1) äußerlich
2) innerlich
3) äußerlich & innerlich

Geht die Wirklinie einer Querkraft durch den Schubmittelpkt., erzeugt sie kein Moment. Jede Kraft kann als Querkraft durch den Schubmittelpkt. kombiniert mit einem Moment dargestellt werden.

Um eine Feder um eine Länge x aus der neutralen Lage auszulenken ist Energie notwendig, die im Ausgelenkten Zustand in der Feder gespeichert ist. Diese ist das Potential.

W=1/2*c*x^2

1) Arbeit = W
2) Leistung = dW/dt
3) Wirkung = W*dt

Dämpfer:     

Vergrößerung der stat. Auslenkung --> Information über Zeitveränderungen

das P.v.V. ist eine andere Form der Gleichgewichtsbedingung

Sonderfall vom Satz von Betti. Aussage:d_ik=d_ki, d.h. die Verschiebungsgröße an der Stell i zufolge der Lastgröße 1 an der STelle k ist gleich der Verschiebungsgröße an der Stelle k zufolge der Lastgröße, dabei sind die Last- und Verschiebungsgrößen in i bzw. k einander zugeordnet.

Harmonische Schwingungen

die Periodendauer T geht gegen unendlich

- Ansatz vom Typ der rechten Seite
- Modal-Ansatz

die Steifigkeitsmatrix ist unsymm.

1) Elementsteifigkeitsmatrix aufstellen --> zur Gesamtsteifigkeitsmatrix zusammenbauen
2) Aufstellen der Lastspalte
3) Berücksichtigung der RB
4) Lösen des Gleichungsystems
5) Nachlaufrechnung zur Bestimmung von Längs-, Querkräften, Momenten und Spannungen

mit Hilfe der Nachlaufrechnung



Dehnsteifigkeit: E*A/l

Durch Streichung von Spalten und Zeilen

Methode zur Reduzierung der Bandbreite

1) Theorie 1. Ordnung
2) ideales Fachwerk (reine Dehnstäbe)

1) in der Ebene: 2
2) im Raum: 3

Die Partielle Differentiation der äußeren Arbeit nach einer als äußere Last aufgebrachte Kraftgröße ist gleich der Verformung des Angriffspkt. dieser Kraft in deren Richtung.

- Reissner-Balken ist schubweich
- Bernoulli-Balken ist schubstarr

die periodische Schwingung. Sie wiederholt sich nach Ablauf einer Periodendauer T

Beschreibung einer periodischen Schwingung durch harmonische Teilschwingunegn (Fourier- Analyse)

- periodisch: T>0
- unperiodisch: T--> unendlich