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Die Existenz der erschöpfenden Statistiken kann anhand der Likelihood der Daten gezeigt werden. Die Likelihood der Daten ist die Wahrscheinlichkeit, EXAKT die erhobenen Daten zu erhalten.

Wie sehen diese Daten im Modell von Rasch aus?

Tabelle: Person 1 hat Item 1 falsch beantwortet (0) und Item 2 richtig beantwortet (1), etc.

Gehen wir nun davon aus, wir können die Antwort, die eine
Person v auf ein Item i gegeben hat, in eine
Wahrscheinlichkeit umwandeln, mit der Person v die
gegebene Antwort auf Item i gibt. Dadurch erhalten wir:

Jetzt muss für jede Person und Item berechnet werden wie wahrscheinlich es ist, dass diese Person genau dieses Item löst/nicht löst = Antwortmuster einer Person
Geht man weiters davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit der
Lösung von Item i durch Person v unabhängig davon ist,
welche und wie viele Items Person v zuvor gelöst hat (=lokal
stochastische Unabhängigkeit), so kann die
Wahrscheinlichkeit, dass Person v ihr Antwortmuster zeigt,
berechnet werde durch:

(nicht stochastische Unabhängigkeit wenn aufeinander aufbauende Aufgaben oder eine Person lernt zwischen den Aufgaben (z.B. durch Rückmeldung über Ergebnis))

Geht man nun noch davon aus, dass die von den Personen
erzielten Antwortmuster unabhängig sind, so ist die
Wahrscheinlichkeit die gegebenen Daten zu erhalten
(=Likelihood der Daten) gegeben durch:

Sind die Daten voneinander unabhängig? Ja, wenn sie nicht voneinander abschauen (ev. auch problematisch bei mündl. Prüfungen, Partnerarbeiten, Online-Testungen, Person füllt Test mehrfach aus)


Je nach Variante muss die entsprechende Variante gewählt werden – entweder der 1. Term oder der 2. Term. Dies wird automatisch erreicht durch avj bzw. 1-avj …. Da bei richtigen Antworten mit 1 kodiert werden erhält man beim 1. Term bei einer richtigen Antwort den Term hoch 1 und dem 2. Term mit hoch 0 und so wird bei einer richtigen Antwort z.B. nur der 1. Term verwendet.
In der Formel kommt v und i nicht weiter vor – d.h. für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit genau diese konkrete Daten zu erhalten (Likelihood) muss nicht die konkrete Antwort der Person gewusst werden = Beweis für die Existenz der erschöpfenden Statistik.