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- ein Vergleich der Mittelwerte von mehr als zwei Gruppen
- Verallgemeinerung des t-Tests
- Argumentationsweise korrespondiert eng mit dem t-Test
- Testen gegen die Nullhypothese und Verwerfen dieser bei einem signifikanten Ergebnisses

- wegen der Alpha-Fehler-Kumulierung (man entscheidet sich für die H1, obwohl in Wahrheit die H0 gilt. Fehler-Wahrscheinlichkeit bei Alpha-Kumulierung: 14%)

- wegen der geringeren Teststärke durch geringeren Stichprobenumfang (Teststärke hängt von der Anzahl der Versuchspersonen ab. Da die drei Gruppen nur mit 2/3 der Versuchspersonen berechnet werden, singt die Teststärke und es wird weniger wahrscheinlich, einen signifikanten Unterschied zu finden)

Weil nur ein einmaliger, simultaner Vergleich der Mittelwerte erfolgt.

- Der simultane Mittelwertsvergleich wird erreicht durch die Betrachtung verschiedener Varianzen
- Aus diesem Vergleich von Varianzen wird ein Urteil über einen möglichen Effekt gefällt

- Variation aller Messwerte, ohne deren Unterteilung in unterschiedliche Versuchsbedingungen zu berücksichtigen
- Stärke der Unterscheidung aller betrachteten Versuchspersonen insgesamt
- Residualvarianz und Effektvarianz ergeben zusammen die Gesamtvarianz
- Auf Populationsebene lassen sich die beiden Varianzen exakt trennen und addieren sich zur Gesamtvarianz.

Jeder einzelne Wert muss in die Formel der Varianz eingesetzt werden und von jedem dieser Werte muss jeweils der Gesamtmittelwert (Mittelwert aller Messwerte der gesamten Stichprobe) abgezogen werden.

- unsystematischer Einfluss (=Fehlervarianz)

- Unterschiede, die auf Unterschiede zwischen den Personen unabhängig von den unterschiedlichen Bedingungen zurückzuführen sind (z.B. durch Unaufmerksamkeit, Müdigkeit, etc.)

- Unterschiede innerhalb der Gruppen

- Variationen innerhalb einer Gruppe werden berechnet, d.h.:
Bei der Residualvarianz wird die mittlere quadrierte Abweichung jedes Messwertes von seinem Gruppenmittelwert berechnet

- Unterschiede zwischen den Gruppen spielen bei dieser Betrachtung keine Rolle: die drei Gruppen werden als unabhängige Stichproben betrachtet

- Idealerweise sollten die Varianzen innerhalb der einzelnen Gruppen gleich sein (Varianzhomogenität)

- dies ist auf Stichprobenebene selten möglich – deshalb wird zur Schätzung der Residualvarianz in der Population der Mittelwert der Varianz innerhalb der Gruppen berechnet (Addition der durchschnittlichen Varianzen, geteilt durch die Anzahl der Gruppen)

- ist der systematische Einfluss (systematische Varianz)
- Varianz zwischen den verschiedenen Gruppen
- Unterschiede, die auf systematische Manipulation der Bedingungen zurückzuführen sind (unabhängige Variablen)
- die Schätzung des Einflusses der experimentellen Bedingungen auf die Gesamtvarianz der Messwerte sollte über die Unterschiede der Gruppenmittelwerte erfolgen

Schätzung des Einflusses der experimentellen Bedingung auf die Gesamtvarianz der Messwerte erfolgt über die Unterschiede der Gruppenmittelwerte:

- Indem man die quadrierte mittlere Abweichung jedes Gruppenmittelwertes vom Gesamtmittelwert (Varianz zwischen)berechnet

- je weiter die Gruppenmittelwerte auseinander liegen, desto weiter liegen sie auch vom Gesamtmittelwert entfernt und desto größer ist die Varianz der Mittelwerte
- aber dieser Wert enthält Residual- und Effektvarianz

Das Ergebnis der Schätzung der systematischen Varianz ist der F-Wert (F-Bruch):

F = Varianz zwischen    = Varianz (Effekt)
         Varianz innerhalb       Varianz (Prüf)

Wenn es keinen Einfluss der Bedingung gibt, ist F = 1 (Varianz zwischen ist ausschließlich Residualvarianz), wenn es einen Einfluss gibt, ist F > 1 (Varianz zwischen ist größer als Varianz innerhalb).

Ausgehend von dem empirische Daten können die Anteile der beiden Varianzen geschätzt werden – dies ist nötig, damit man feststellen kann, wie groß der Anteil der systematischen Varianz ist – ein großer Anteil würde bedeuten, dass die Manipulation einen Effekt hatte.

Wenn kein Effekt durch die Manipulation erreicht werden würde, wäre die Effektvarianz gleich null und die Varianz zwischen nur eine Schätzung der Residualvarianz, weil Gruppenmittelwerte aus Werten stammen, auf die auch unsystematische Einflüsse wirken.

- Nach der Berechnung des empirischen F-Wertes wird bestimmt, wie wahrscheinlich es ist, diesen oder einen größeren F-Wert unter der Nullhypothese zu erhalten.

- Tritt ein Wert deutlich größer 1 auf, ist die Annahme der Nullhypothese mit großer Wahrscheinlichkeit falsch. Unterschreitet die Wahrscheinlichkeit des F-Wertes die Signifikanzgrenze, erfolgt Ablehnung der H0 und Annahme der H1 (Alternativhypothese)

- Konvention: Signifikanzgrenze von 5%

- Die spezielle F-Verteilung gibt in Abhängigkeit von der Anzahl der Gruppen und der Stichprobengröße an, mit welcher Wahrscheinlichkeit bestimmte F-Werte unter der Nullhypothese auftreten.

- Die F-Verteilung ist linksschief.

- Ihr Mittelwert liegt im Gegensatz zur Normalverteilung nicht in der Mitte, sondern in der linken Hälfte der Verteilung.

- Varianzen können keine negativen Werte annehmen,
F-Verteilung beginnt bei 0 und endet im Unendlichen. Dies wäre bei nahezu perfekter Messung der Fall, Residualvarianz geht gegen 0

Der F-Wert liefert uns Erkenntnis darüber, ob ein das Ergebnis der Untersuchung auf systematische Maninuplation oder auf zufällige Einflüsse zurückgeht.

F=1: es gibt keinen Einfluss der UV auf den zu untersuchenden Effekt, d.h. Varianz zwischen ist ausschließlich Residualvarianz.

F>1: es gibt einen Einfluss der UV auf den zu untersuchenden Effekt, d.h. Varianz zischen ist größer als Varianz innerhalb.

- aufgrund eines Stichprobenfehlers (zufällige Variationen innerhalb der Gruppen, z.B. landeten alle leistungsstarken Personen zufällig in einer Gruppe)
- bei zu kleinen Stichproben kann es also passieren dass der F-Wert>1 ist, die UV also einen systematischen Einfluss hatten obwohl dies in Wirklichkeit gar nicht der Fall ist!

Deshalb: Schätzung der Auftretenswahrscheinlichkeit bestimmter F-Werte unter der Nullhypothese durch F-Verteilung (in Abhängigkeit von der Anzahl der Gruppen und der Stichprobengröße)

- wenn es keinen Einfluss der Bedingungen gibt, ist F = 1 (Varianz zwischen ist ausschließlich Residualvarianz, also unterscheiden sich nur die Leute innerhalb der Gruppen und nicht die Gruppen selber)
- wenn es einen Einfluss gibt, ist F > 1 (Varianz zwischen ist größer als Varianz innerhalb)

Weil die Varianzanalyse nur eine unspezifische Alternativhypothese testet, also die allgemeine Behauptung, dass sich unter allen untersuchten Gruppen mindestens zwei befinden, die sich unterscheiden.

Hierfür benötigt man einen Post-hoc-Test!

- unabhängige Variable (UV), abhängige Variable (AV)
- Faktor = UV, wird nur eine UV variiert, spricht man von einer   einfaktoriellen Varianzanalyse
- Stufen eines Faktors = die einzelnen Bedingungen
- Haupteffekt = hat getesteter Faktor einen Effekt, wird dieser Haupteffekt genannt
- Treatmentfaktor = UV resultiert aus experimenteller Manipulation, die Vps werden der Bedingung zufällig zugeordnet
- Klassifikationsfaktor = die Versuchspersonen werden aufgrund von organismischen Merkmalen der Personen (Geschlecht, Intelligenz, Extraversion etc.) klassifiziert

- ein Freiheitsgrad entsteht durch die Anzahl der Gruppen
- der zweite Freiheitsgrad entsteht durch die Anzahl der Versuchspersonen
=> beeinflussen die Genauigkeit, mit der Varianz geschätzt wird

df zwischen= p-1
df innerhalb= p*(n-1)

p: Anzahl Gruppen
n = Anzahl VP

• Bei der Varianzanalyse weiß man nicht, welche Gruppen sich unterscheiden:
• Die Varianzanalyse testet immer nur eine unspezifische Alternativhypothese (d.h. eine ungerichtete Hypothese), also die
allgemeine Behauptung, dass sich unter allen untersuchten Gruppen mindestens zwei befinden, die sich unterscheiden.
• Um zu erfahren, welche sich unterscheiden, benötigt man Post-hoc-Verfahren.
• Post-hoc Verfahren berücksichtigen die in der letzten Sitzung besprochenen Probleme der Testung einzelner Gruppen gegeneinander.
• Rasch et al. stellen den Tukey HSDTest vor, besonders üblich ist aber noch der Scheffé Test (der besonders konservativ testet!)

Wie groß muss die Differenz zwischen den Mittelwerten
zweier Gruppen mindestens sein, damit diese
Differenz auf einem kumulierten α-Niveau
signifikant ist, das nicht die zuvor festgesetzte
Grenze (zumeist 5%) überschreitet?

• Paarweiser Vergleich einzelner Gruppen einer Untersuchung, ohne dass der α-Fehler kumuliert oder die Teststärke abnimmt.

• Honest significant difference:
Mittelwertsunterschied, der mindestens erforderlich ist, um auf dem Gesamt-α-Niveau ein signifikantes Ergebnis zu erzielen (Berechnung der kleinsten noch signifikanten Differenz durch Tukey-Test)

• Ist die tatsächliche Differenz zwischen zwei Gruppen größer als der vom Tukey-Test berechnete kritische Wert, besteht ein signifikanter Unterschied zwischen diesen beiden Gruppen.

• Kennwert ist der q-Wert. Dieser bezieht im Gegensatz zum t-Wert zusätzlich die Anzahl der betrachteten Mittelwerte mit ein
(dadurch wird alpha-Fehler-Kumulation verhindert)

• Die kritischen q-Werte hängen insgesamt ab von der Anzahl der betrachteten Gruppen, dem festgelegten Signifikanzniveau und den Freiheitsgraden der „Varianz innerhalb“.

• Berechnung des kritischen Wertes:


• Berechnung der kleinsten noch signifikanten Differenz (Einbezug der Varianz innerhalb und der Anzahl von VPs pro Gruppe)


• Dann erfolgt ein Abgleich mit diesem Wert:
Ist die Differenz größer, unterscheiden sich die beiden Gruppen signifikant, ist sie kleiner, wird angenommen, dass die beiden
Gruppen sich nicht unterscheiden.

Wie groß muss die Differenz zwischen den Mittelwerten zweier Gruppen mindestens sein, damit diese Differenz auf einem kumulierten α-Niveau signifikant ist, das nicht die zuvor festgesetzte Grenze (zumeist 5%) überschreitet?


Das stimmt doch so nicht, oder? Das ist doch die Frage des T-Tests. Hier haben wir doch mehr als 2 Gruppen!!

• Diese Effektgröße gibt den Anteil der aufgeklärten Variabilität der Messwerte auf der Ebene der Stichprobe an.

• SPSS gibt als Effektstärke das partielle Eta-Quadrat. Im Fall der einfaktoriellen Varianzanalyse ohne Messwiederholung sind Eta-
Quadrat und das partielle Eta-Quadrat jedoch identisch. Bei mehreren Faktoren oder bei Messwiederholung gibt jedoch das partielle Eta-Quadrat höhere Werte.

• η² wird generell als den Effekt überschätzend kritisiert.
• Rasch et al. empfehlen daher das Programm GPower.
• Das Programm arbeitet mit dem Effektstärkenmaß f (Buchner, Erdfelder & Faul, 1996).

• Wichtiger Zusammenhang: Je größer der Stichprobenumfang, desto größer ist die Teststärke (desto genauer ist der Test).

• Die Stichprobenumfangsplanung ist einer der wichtigsten Schritte vor der Durchführung einer Untersuchung, denn nur sie gewährleistet die sinnvolle Interpretation jedes möglichen Untersuchungsergebnisses.

• Erfolgt keine Stichprobenumfangsplanung, so können sich zwei
Probleme ergeben:
• Der Stichprobenumfang ist zu klein. Die Teststärke ist so klein,
dass ein nicht signifikantes Ergebnis nicht interpretierbar ist.
• Der Stichprobenumfang ist zu groß. Es ergeben sich auch
statistisch signifikante Ergebnisse bei Effekten, die für eine
vernünftige inhaltliche Interpretation zu klein sind.

• Für die Stichprobenumfangsplanung ist die Festlegung der Stärke des gesuchten Effekts, der gewünschten Teststärke und des Signifikanzniveaus notwendig.

• Die abhängige Variable ist intervallskaliert.
• Das untersuchte Merkmal ist in der Population normalverteilt.
• Varianzhomogenität: Die Varianzen der Populationen der untersuchten Gruppen sind gleich.
• Die Messwerte in allen Bedingungen sind voneinander unabhängig.

Aber: Varianzanalyse verhält sich gegen die Verletzung der
zweiten und dritten Voraussetzung weitgehend robust
(problematisch nur dann, wenn die Stichprobe sehr klein
ist oder die VPs sehr ungleich auf die Bedingungen verteilt sind).

• Dies ist im Fall der Varianzanalyse der Kruskal-Wallis-Test (nonparametrisches Verfahrens).
• Die nonparametrischen Verfahren gehen allerdings einher mit eingeschränkten Aussagemöglichkeiten.

Durch große Stichprobe mit gleichmäßiger Verteilung der VPs auf die einzelnen Bedingungen.

• Das Verfahren arbeitet (wie der Mann-
Whitney-U-Test) mit Rangplätzen, die den
Versuchspersonen aufgrund ihrer
Messwerte zugeordnet werden.

• Durch die Zuordnung von Rangplätzen wird
eine künstliche Äquidistanz zwischen den
Werten erzeugt, die viele mathematische
Operationen wie z.B. die Mittelwertsbildung
erst ermöglicht.

• Bei intervallskalierten Daten und ausreichend großen Stichproben sollte immer der entsprechende parametrische Test vorgezogen werden. Er bezieht mehr Informationen der Daten
in die Auswertung mit ein.

• Beispielsweise: Größe der Unterschiede auf der abhängigen
Variablen zwischen den Versuchspersonen, während die nichtparametrischen Verfahren lediglich eine Rangreihe bilden.

• Außerdem ist die Teststärke der parametrischen Verfahren höher.

• Prüfung analog zur Varianzanalyse unspezifisch:
Alternativhypothese besagt lediglich, dass sich mindestens eine der Gruppen von den anderen unterscheidet.

• Hintergrund des Tests: Überlegung, dass die Rangplätze bei Zutreffen der Nullhypothese zufällig über alle Gruppen verteilt sein müssten.

• Allen Messwerten wird unabhängig von ihrer Gruppenzugehörigkeit je nach Größe des Messwerts eine ganze Zahl zwischen 1 und N zugeordnet. (Bei gleichen Messwerten wird ein mittlerer Rang aus den zugehörigen Rängen gebildet.)

• Für jede Gruppe/Bedingung wird dann die Summe der Rangplätze gebildet.

• Anschließend wird die Rangsumme jeder Gruppe quadriert und durch die Anzahl der Versuchspersonen in der entsprechenden
Gruppe geteilt.

• Ob die Verteilung signifikant ist (ob die Rangplätze nicht zufällig über alle Gruppen verteilt sind), wird durch einen Abgleich mit
einer χ2 – Verteilung geprüft.

Prüfung durch einen Abgleich mit einer χ2 – Verteilung

• Für den Kruskal-Wallis H-Test liegen keine gängigen Post-Hoc-Verfahren vor, um das signifikante Ergebnis genauer zu untersuchen.

• Untersuchung der Wirkung von nicht nur einem, sondern mehreren Faktoren auf eine abhängige Variable (z.B. zusätzlich Geschlecht)
-> Besonders wichtig wegen möglichem Zusammenwirken der betrachteten Faktoren (=Wechselwirkung zwischen zwei Faktoren)

• Oder zur Untersuchung, inwieweit ein weiterer Faktor zusätzlich Residualvarianz aufklärt (durch die Verkleinerung des unaufgeklärten Varianzanteils hebt sich ein möglicher Effekt des
eigentlich interessierenden Faktors stärker heraus)

Faktor 1: Lernverfahren
Faktor 2: Geschlecht

Zusammenwirken: Lernen Männer und Frauen mit unterschiedlichen Verfahren besser? Wer mit welchen?

• Bei der Bezeichnung im Rahmen der zweifkatoriellen Varianzanalyse gibt man immer an, wie viele Stufen pro Faktor vorhanden sind (z.B. 2x2 Varianzanalyse).

• Einer der Faktoren wird als Spaltenfaktor, der andere als Zeilenfaktor bezeichnet.

• A) Gruppenmittelwerte des Faktors A
• B) Gruppenmittelwerte des Faktors B
• C) Prüfung des zusätzlichen Zusammenwirkens spezieller Stufen der beiden Faktoren (Wechselwirkung): Durch Vergleich der
Unterschiede zwischen den Zellmittelwerten über die verschiedenen Stufen des Faktors A oder B

Anders gesagt:
• Haupteffekt A: Einfluss des Faktors A auf die Messwerte (unabhängig von Faktor B, entspricht dem in der einfaktoriellen Varianzanalyse betrachteten Effekt)
• Haupteffekt B: Einfluss des Faktors B auf die Messwerte
• Interaktion (Wechselwirkung): gemeinsamer Einfluss von bestimmten Stufen der zwei Faktoren auf die AV, Zusammenwirken von Faktorstufen

• die Einflüsse auf die AV, die nur durch
die gemeinsame und gleichzeitige Wirkung zweier
Faktorstufen entstehen und die nicht durch den
generellen Einfluss der zwei Faktoren erklärt
werden können
= Einfluss auf die abhängige Variable, der
allein auf die Kombination bestimmter
Stufen der Faktoren A und B
zurückzuführen ist

• Geprüft wird, ob die Wirkung des Faktors A auf
allen Stufen des Faktors B identisch ist oder nicht
(bzw. ob die Wirkung des Faktors B auf allen Stufen
des Faktors A identisch ist oder nicht).

• Die Wechselwirkung ist unabhängig von den zwei
Haupteffekten (kann also auch auftreten, wenn es
keine generellen Haupteffekte gibt)

• Die drei in der systematischen Varianz (Haupteffekt A, Haupteffekt B und Wechselwirkung A×B) enthaltenen Effekte werden getrennt voneinander untersucht, durch drei Schätzer.

• Betrachten der Zwischenvarianz für jeden der drei möglichen Effekte

• Signifikanzprüfung für jeden der Effekte durch F-Bruch
(im Zähler Zwischenvarianz, im Nenner Residualvarianz) -
analog zur einfaktoriellen Varianzanalyse, nur die F-Verteilung hat andere Werte.

Nein.

• Das Ergebnis der zweifaktoriellen VA entspricht nicht genau der im Rahmen der einfaktoriellen Varianzanalyse ermittelten Wahrscheinlichkeit des Haupteffekts.
• Wird verursacht durch die Veränderung der Größe der Residualvarianz beim Hinzuziehen eines weiteren Faktors.
• Die Zwischenvarianz des untersuchten Faktors ist trotz
Hinzufügens weiterer Faktoren immer mit der „Varianz zwischen“ im einfaktoriellen Fall identisch.

(nach dem gleichen Muster wie für Haupteffekt A)

- prüfung der Wechselwirkung AxB auf signifikanz
- Effekt der durch Zusammenwirken bestimmter Stufen der beiden Faktoren auf die AV ausgeübt wird
- Einfluss auf AV, der alleine auf die Kombi bestimmter Stufen der Faktoren A und B zurückzuführen ist


Beispiel:
Frauen zeigen bei struktureller Verarbeitung signifikant bessere Erinnerungsleistung als Männer, in den anderen Verabeitungen jedoch nicht

Abweichung der beobachteten Zellmittelwerte von den  auf Grund der Haupteffekte zu erwartenden Zellmittelwerte.

Stufenmittelwert A +  Stufenmittelwert B - Gesamtmittelwert

Nullhypothese:
Die Unterscheidlichkeit der Zellmittelwerte wird allein durch die Haupteffekte der Faktoren verursacht

Alternativhypothese:
Die Ursache der Variationen in den Zellmittelwerten liegt nicht allein in den Haupteffekten, sondern das Zusammentreffen bestimmter Stufen der beiden Faktoren ruft zusätzlich systematische Abweichungen hervor

Ablehnung der Nullhypothese:
wenn 2 oder mehr Zellmittelwerte von ihren aufgrund der Haupteffekte zu erwartenden Werten abweichen

Signifikanzprüfung

- zunächst unspezifisch
- Struktur muss mit einem Folgetest (zB Tukey HSD) geprüft werden

oben: KEINE Wechselwirkung
unten: disordinale Wechselwirkung von Faktor A und B

- ordinale
- semidisordinale
- disordinale

(wichtiger Lernstoff!)

Die Unterschiede der Zellmittelwerte liegen in der Richtung vor, die die beiden Haupteffekte vorgeben. (Grafik)

Entsprechend der Richtung, die von Haupteffekt A vorgebenen ist, sind beide Mittelwerte der Stufe A2 größer als der Stufe A1. (Tabelle)

- Die beiden Differenzen sind allerdings nicht gleich groß -

Zellenwerte liegen in ihrer Größe für den einen Haupteffekt in der erwarteten Richtung, für den zweiten Haupteffekt in einer der Stufen dagagen nicht

Effekt der Interaktionen ist größer als jeder Haupteffekt

Zellmittelwerte liegen für beide Haupteffekte in jeweils einer Stufe entgegen der durch die Gruppenmittelwerte vorgegebenen Richtung

- beschreiben die Mittelwertsunterschiede zwischen den Stufen eines Faktors INNERHALB einer bestimmten Stufe des anderen Faktors
- berechnet wenn eine Wechselwirkung festgestellt wurde

5
= A: 3 Stufen
+ B: 2 Stufen


- nur Männer emotional vs. bildhaft vs. strukturell
- nur Frauen      "            "        "        "       "
- nur emotional
- nur bildhaft
- nur strukturell

Weil auch die zweifaktorielle Varianzanalyse die Effekte unspezifisch prüft.

Post-Hoc-Test z.B. Tukey HSD - hier verändert sich die Berechnung gegenüber der einfaktoriellen Varianzanalyse geringfügig

Zellmittelwerte (statt Gruppenmittelwerten)

Deshalb ist n bei der HSD gleich der Anzahl der Versuchspersonen in einer Zelle.

a) betrachtet die Abweichung jedes einzelnen Werts vom Gesamtmittelwert.

b) betrachtet die Abweichung der Bedingungsmittelwerte vom Gesamtmittelwert.

c) betrachtet die Abweichung jedes einzelnen Werts vom jeweiligen Gruppenmittelwert.

• Beschreibt die Variation aller Messwerte, ohne deren Unterteilung in unterschiedl. Versuchsbedingungen zu berücksichtigen.

• Maß für die Stärke der Abweichung aller Messwerte von ihrem Gesamtmittelwert.

• Mittelwert aller Messwerte.

• Gesuchte Effektvarianz beschreibt die Unterschiede, die durch
die experimentelle Variation verursacht worden sind.

• Zur Schätzung der systematischen Varianz werden die
Gruppenmittelwerte herangezogen.

• Abweichung der Bedingungsmittelwerte vom Gesamtmittelwert

• Die Größe der unsystematischen Einflüsse bzw. der
Residualvarianz in der Population wird durch die
durchschnittliche Varianz innerhalb einer Bedingung geschätzt

• also der Variation der Messwerte innerhalb der einzelnen
Gruppen

• Die geschätzte Residualvarianz ist die durchschnittliche Varianz in den einzelnen Gruppen → deshalb heißt geschätzte
Residualvarianz oft ‚Varianz innerhalb‘

• Die Wechselwirkung AxB (bzw. Interaktion) beschreibt den
gemeinsamen Einfluss von bestimmten Stufen der zwei Faktoren auf die AV.

• Sie erfasst das Zusammenwirken von Faktorstufen.

• Mathematisch zeigt sich eine Wechselwirkung in der Abweichung der beobachteten Zellmittelwerte von den aufgrund der Haupteffekte zu erwartenden Zellmittelwerten.

- Wirkung mehrerer Faktoren auf eine AV

- mögliches Zusammenwirken der betrachteten Faktoren (= Wechselwirkung zwischen zwei Faktoren)

- Untersuchung, inwieweit ein weiterer Faktor zusätzlich Residualvarianz aufklärt

Unterschiede zwischen mehreren Messzeitpunkten, also Unterschiede durch Manipulation = Effektvarianz

Teil der Unterschiede innerhalb der Versuchspersonen ist
= Residualvarianz

systematische Unterschiede zwischen den Versuchspersonen
= Personenvarianz

• Wird verwendet, wenn ein Merkmal bei derselben Versuchsperson mehrfach erhoben wird (z.B. Wirksamkeit von
Therapien, reliable Studien zur Auswirkung von Computerspielen)

• Die zu verschiedenen Zeitpunkten erhobenen Daten sind voneinander abhängig

- Intervallskalenniveau
- Normalverteilung des untersuchten Merkmals in der Population
- Varianzhomogenität in der Population

nur bei den Varianzanalysen OHNE Messwiederholung:
- Unabhängikeit

nur bei den Varianzanalysen MIT Messwiederholung:
- Zirkularität / Sphärizität

- Effektvarianz
- Personenvarianz
- Residualvarianz

•  VA mit Messwiederholung kann zusätzlich zur Effektvarianz noch
Personvarianz aufklären.

• Personvarianz: Allg. Unterschiede zw. Versuchspersonen, die
unabhängig von den anderen experimentellen Faktoren auftreten.

• Durch das Erklären der Personenvarianz reduziert sich der Anteil
der unerklärten Variabilität der Messwerte.

• Je kleiner die Residualvarianz, desto größer wird bei konstanter systematischer Varianz der F-Bruch:
Es erhöht sich also die Chance auf ein signifikantes Resultat.

• → Erhöhung der Teststärke des Verfahrens

Nein,
denn die drei Effekte (Haupteffekt A, Haupteffekt B und
Wechselwirkung AxB) sind vollständig unabhängig voneinander und können deshalb auch getrennt voneinander untersucht werden.
Jeder Effekt kann allein oder zusammen mit einem oder beiden
anderen Effekten auftreten.

Größtenteils analog. Unterschiede:

- erwarteter Zellmittelwert = Stufen-MW A + Personenfaktor B - Gesamt-MW

- Personenvarianz spielt nur bei der Berechnung der erwarteten Zellwerte eine Rolle, wird selbst nicht weiter ausgewertet.

- F-Bruch-Bildung nur für Faktor A:
geschätzte systematische Varianz des Faktors A
                    geschätzte Residualvarianz

- Freiheitsgrade:
Zähler: dfA = p-1   (wie gehabt)
Nenner: dfAxVpn = (n-1) + (p-1)    (abweichend)

- Intervallskaliertheit der Daten

- Normalverteilung des Merkmals

- Homogenität der Varianzen in den Stufen des Faktors bzw. der Bedingungskombinationen mehrerer Faktoren

- Zirkularität / Sphärizität: Alle Korrelationen zwischen den einzelnen Stufen des messwiederholten Faktors müssen homogen sein. (Wenn verletzt, ist die Gefahr hoch, dass eine Signifikanz angezeigt wird, die eigentlich nicht vorliegt.)

Sonderfall der Nullkorrelation:
Die Varianzanalyse mit Messwiederholung entspricht der entsprechenden Varianzanalyse ohne Messwiederholung,
denn die Daten sind bei dieser Konstellation unabhängig voneinander.

- Testen der Korrelations-Unterschiede auf Signifikanz:
Mauchly-Test auf Sphärizität (Nullhypothese: Alle Varianzen sind gleich), wenn dieser eine Signifikanz zeigt, müssen Korrekturverfahren angewendet werden.
- Der Test ist allerdings nicht sehr zuverlässig, daher sollten bei Zweifeln (begründbar durch die Unterschiedlichkeit der Varianzen in den deskriptiven Daten) Korrekturverfahren angewendet werden.
- Dabei werden die Freiheitsgrade adjustiert – in einer Weise, dass der F-Wert kleiner wird, nach der Korrektur gibt es seltener ein signifikantes Ergebnis.
- Zuverlässig ist das Verfahren nach Box.
Hier variiert die Adjustierung der Freiheitsgrade mit der Stärke der Verletzung der Zirkularität.
- In SPSS wird diese Art der Adjustierung der Freiheitsgrade irrtümlicherweise als Greenhouse-Geisser-Korrektur bezeichnet.

- Um herauszufinden welche Messzeitpunkte genau sich unterscheiden, wird der Post-hoc-Test angewandt

-Tukey HSD, Bonferroni,..

- Problematisch wenn Sphärizität verletzt ist

• Sind nur bedingt aussagekräftig, weil die unterschiedlichen
Verfahren zu stark variierenden Aussagen kommen
• Außerdem kann die Interpretation nicht entlang der
Konventionen (nach Cohen, 1988) erfolgen
• Das partielle η² ist ein ungünstiges Maß für die Effektstärke
in messwiederholten Varianzanalysen, da es dem Sinn von
Effektstärken, einen Vergleich zwischen verschiedenen
wissenschaftlichen Untersuchungen zu ermöglichen, nicht
genügt – dennoch wird es mangels Alternativen genutzt

• Viele Aspekte äquivalent zu der einfaktoriellen Varianzanalyse mit Messwiederholung
• Zusätzlich Berechnung der Wechselwirkungen in ähnlicher
Art und Weise wie in der zweifaktoriellen Varianzanalyse
ohne Messwiederholung
• Es muss auch auf Zirkularität geprüft werden
• Auch hier müssen post-hoc-Tests durchgeführt werden
(z.B. mit Tukey HSD)

Vorteil:
- Größere Teststärke, deshalb weniger VPn nötig
(besonders dann, wenn das untersuchte Merkmal innerhalb von Personen relativ stabil ist und sich zwischen verschiedenen
Versuchspersonen unterscheidet)
- Größerer Anteil an aufgeklärter Varianz

Nachteil:
Spezielle Sequenzeffekte (z.B. Übungseffekte)
-> Ausgleich durch Balancierung der Reihenfolge

• parameterfreier Test zum Vergleichen mehrerer abhängiger
Stichproben
• Einschränkung: Nur ein Haupteffekt kann untersucht
werden, nicht mehrfaktoriell möglich.
• arbeitet mittels Rangreihen
• Nullhypothese H0: Die Rangsummen der einzelnen Stufen
des Faktors (d.h. Messzeitpunkte) sind ungefähr gleich groß,
d.h. sie weichen nur zufällig voneinander ab.
• Verteilungsprüfung auf Basis der χ2-Verteilung
• Die Prüfgröße v wird mit dem kritischen χ2 -Wert verglichen.
• In die Prüfgröße gehen ein: Anzahl der Stufen/Messzeitpunkte, Anzahl der Versuchspersonen, quadrierte Rangsummen
• In den χ2-Wert gehen ein: dass es sich um einseitige Fragestellung handelt, d f = k−1 und gegebenes alpha
• Wird in Tabelle abgeglichen

• Verfahren für Nominaldaten
• Beruht auf der Analyse von Häufigkeiten (→ Häufigkeiten sind die
einzige Information, die Nominaldaten übermitteln)
• Nominaldaten erlauben keine Aussagen über ein mehr oder
weniger einer Eigenschaft (wie Ordinaldaten) oder zur Größe
der Unterschiede (wie intervallskalierte Daten)
• Mögliche Fragestellungen: Studieren mehr Männer als Frauen
Sozialwissenschaften? Gibt es unter Studierenden mehr
Brillenträger als unter Nicht-Studierenden?

• Dies gewichtet die Abweichungsquadrate
entsprechend der Größe der jeweiligen Kategorie.
• Grund: identische Beträge von Differenzen sind
nicht in allen Fällen gleich bedeutsam sind.
• Abweichung von 10 in der Differenz 1000 − 990 ist
nicht so bedeutend wie eine ebenso große
Abweichung in der Differenz 20 − 10.

• Stimmen die beobachteten und die erwarteten Häufigkeiten in allen Zellen überein, so resultiert ein χ2 von Null. Je größer die Diskrepanz zwischen beobachteten und erwarteten Häufigkeiten,
desto größer wird der χ2-Wert.
• Aufgrund der Quadrierung kann der Wert nur positive Werte annehmen.
• Information über die Richtung der einzelnen Abweichungen verloren.
• Der χ2-Test ist daher ein unspezifischer Test, d.h. er kann keine gerichteten Vorhersagen testen, sondern testet
zweiseitig (Ausnahme: eindimensionale χ2- Test mit nur zwei Stufen)
• Der χ2-Kennwert folgt wie der t- oder F-Wert einer kontinuierlichen Verteilung, der χ2-Verteilung. Der Wertebereich der Verteilung erstreckt sich von Null bis Unendlich. Form ist abhängig von der Anzahl der Freiheitsgrade.

• Da ein statistisch signifikantes Ergebnis
nicht gleichzusetzen ist mit inhaltlicher
Bedeutsamkeit, ist auch hier eine
Bestimmung der Effektstärke erforderlich.
• standardisiertes Maß für die Größe des
systematischen Unterschieds zwischen der
festgelegten Null- und einer bestimmten
Alternativhypothese.
• Häufig verwendet: w-Quadrat

• Die Teststärke: Wahrscheinlichkeit, einen Effekt
einer bestimmten Größe zu finden, falls dieser
wirklich existiert.
• hängt ab vom Signifikanzniveau α, dem
Stichprobenumfang N und der Effektstärke w²
• Teststärke lässt sich im Anschluss an eine
Untersuchung bestimmen, um anzuzeigen, wie
groß die Wahrscheinlichkeit war, ein signifikantes
Ergebnis zu erhalten.
• Damit lässt sich ein Schluss zugunsten der
Nullhypothese absichern.

• Erweiterung um ein weiteres kategoriales Merkmal (nominalskalierte Variable) mit mind. 2 Stufen
•  Versuchspersonen werden allen mögl. Kombinationen der Stufen beider Merkmale zugeordnet --> Kreuztabelle
•  prüft Unabhängigkeit der untersuchten Merkmale
•  Beziehung der Merkmale zueinander im Vordergrund
( z.B.: Präferenz für Liebes- vs. Actionfilme geschlechtsabhängig?)

- Betrachtete Merkmale beeinflussen sich nicht gegenseitig.
- Verhältnis der Randhäufigkeiten spiegelt sich in Zellen wider
  Sowohl in Zeilen, als auch in Spalten!
- Verändert sich dieses Verhältnis in einer Merkmalskombination
->0 verletzt!

• Summe der Häufigkeiten in einer Stufe eines Merkmals über alle
Stufen des zweiten Merkmals hinweg (auch Zeilen- bzw. Spaltensummen).

• Addition der Zeilen- bzw. der Spaltensummen ergibt jeweils den
Stichprobenumfang N.

- einzelne Beobachtungen voneinander unabhängig
- Vpn können eindeutig einer Kategorie bzw.
Merkmalskombination zugeordnet werden
- erwarteten Häufigkeiten sind in 80% der Zellen des
Versuchsplans >5

• Spezialfall: Vierfelder χ2-Test (bei zwei dichotomen Merkmalen)
• Beim χ2-Test kann jede begründete Annahme über die
Auftretenswahrscheinlichkeit der Merkmalsstufen in der
Population als Nullhypothese fungieren
• vs. Varianzanalyse, bei der es nur eine mögliche Nullhypothese
gibt (χ2-Test gibt es mehrere mögliche Nullhypothesen)
• Häufige Nullhypothese bei χ2-Test: Gleichverteilungsannahme
• Gleichverteilungsannahme: Häufigkeiten in der untersuchten
Stichprobe verteilen sich über alle Merkmalsstufen hinweg gleich
• Aber auch Annahmen über nicht gleichverteilte Häufigkeiten
möglich, z.B wenn detaillierte Angaben über die relativen
Häufigkeiten der einzelnen Ereignisse auf Populationsebene
vorliegen.

•  Absolute Häufigkeit: beobachtete Anzahl eines bestimmten Ereignisses in einer Grundgesamtheit.
• Relative Häufigkeit: Setzt die absolute Häufigkeit in Beziehung zur Grundgesamtheit (empirisch ermittelte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in der gezogenen Stichprobe)

•  Relative Häufigkeit, Vorteil: Interpretation ist von der Stichprobengröße unabhängig
• Beispiel: 480 Mädchen besuchen eine Schule mit insgesamt 960 Schülern. Absolute Häufigkeit: 480, relative Häufigkeit 0,5 (entsteht durch 480 dividiert durch 960).
• Dieser relative Wert kann auch bei anderen Stichproben und absoluten Werten entstehen (daher Unabhängigkeit von Stichprobe)

- Verfahren zur Gruppenbildung
- Personen werden gruppiert, die sich ähnlich sind (ähnliche
Eigenschaftsstruktur aufweisen) / es wird eine Typologie gebildet
- zwischen den Gruppen sollte keine Ähnlichkeiten bestehen
- zahlreiche Charakteristika werden herangezogen

„Analyse einer heterogenen Gesamtheit von
Objekten mit dem Ziel, homogene Teilmengen von
Objekten aus der Objektgesamtheit zu
identifizieren“

Beispiel:
Typologie von Internetnutzern
86 Studierende geben 4 Merkmale zur Interneterfahrung (Selbsteinschätzung : Länge Expertiese , Zweck, ...)
3 Gruppen von Internetusern werden ermittelt

- Bestimmung der Ähnlichkeiten

- Auswahl des Fusionierungsalgorithmus

- Bestimmung der Clusterzahl

• Partitionierende und hierarchische Verfahren

• Hierarchische Verfahren werden häufiger angewandt.

Ähnlichkeitsmaße
- zeigen ähnlichen Verlauf der Profile, diese können aber auf völlig unterschiedlichem Niveau liegen
- Berechnung über Q-Korrelationskoeffizienten
- je größer dieser ist, desto ähnlicher

Distanzmaße
- zeigen (Un-)Ähnlichkeit der Werte, nicht der Profilverläufe an
- Berechnung über quadrierte euklidische Distanz
- je größer diese ist, desto unähnlicher

Die Entscheidung über die Verwendung hängt von inhaltlichen Überlegungen ab.

- bekannte Rohdatanmatrix wird Distanz- oder Ähnlichkeitsmatrix überführt (Personen in Zeilen UND Spalten)

- enthalten sind die Ähnlichkeits - bzw. Unähnlichkeitswerte ( Distanzwerte)  zwischen den betrachjteten Personen

- Zwei Proximitätsmaße
  - Ähnlichkeitsmaß ( je größer desto ähnlicher )
  - Distanzmaß ( je größer desto unähnlicher)
(Je nach Skalenniveau können unterschiedliche Formeln verwendet werden um Proximitätsmaße zu berechnen.)

Bei binären Verhaltenstrukturen  ( z.B. Intennutzer ja/nein):

– für jede Variable feststellen, ob ein Objekt das Merkmal aufweist oder nicht

– 0 (Eigenschaft nicht vorhanden) oder 1 (Eigenschaft vorhanden)

– Berechnung des Tanimoto-, Jaccard-, RR- oder M-Koeffizienten:

   - Anzahl übereinstimmender Merkmale werden in den Zähler
     gesetzt.
   - Anzahl der Merkmale, die nur bei einem vorhanden sind,
     werden in den Nenner gesetzt (Tanimoto-Koeffizient)
   - Ergebnis 1 bezeichnet totale Ähnlichkeit
     Ergebnis 0 bezeichnet keine Ähnlichkeit

Bei mehrkategorialer nominaler Variablenstruktur müssen Kategorien in binären Code überführt werden (bei vier Ausprägungen 1000, 0100, 0010, 0001)!

L-Normen sind verbreitete Distanzmaße
(z.B. Euklidische Distanz (L2-Norm))

– Bildung von Differenzwerten für jede Eigenschaft / Bestimmung der Beziehung zwischen Personen per Distanz (identisch -> Distanz = 0)
–  Addition der quadrierten Differenzwerte pro Paar
–  Aufsummieren
–  Ziehen der Quadratwurzel aus der Summe
– Durch die Quadrierung werden große Differenzwerte stärker berücksichtigt

Rohdatenmatrix wird in Distanzmaßenmatrix überführt.

- metrische Daten
- vergleichbare Maßeinheiten
( z.B. Erhebung aller Variablen auf gleichstufiger Skala)

Liegt dies nicht vor muss Standardisierung aller Merkmale vorgenommen werden um Werte vergleichbar zu machen.

Distanzmaße geeignet wenn
absolute Abstand zwischen Objekten von Interesse ist.und Unähnlichkeit um so größer anzusehen ist, je weiter Objekte voneinander entfernt liuegen

Ähnlichkeitsmaße sind geeignet wenn
der primäre Ähnlichkeitsaspekt im Gleichlauf zweier Profile zu sehen ist, undabhängig davon, auf w2elchem Niveau die Objekte liegen

( in der Praxis häufiger Distanzmaße)

Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten:

Getrennte Berechnung der Proximitätsmaße für metrische und nominale Variablen
- Gesamtähnlichlkeit wird durch gewichteten oder ungewichteten Mittelwert berechnet .

Transformation auf niedrigeres Skalenniveau
- durch Dichitomisierung
- Nachteil: Verlust von vielen Informationen

Da alle Beschreibungsmerkmale herangezogen werden sollen, werden so genannte polythetische Verfahren genutzt:

Partitionierende Verfahren gehen von gegebener Gruppierung (Startpartition) aus und ordnen mit Hilfe eines Algorithmus so lange um, bis ein Optimum erreicht ist (während des Prozesses
werden noch Elemente zwischen den Gruppen getauscht)
-> alle ähnlichen Personen zusammengefasst

Hierarschisches Verfahren
agglomerative und divisive Algorithmen:
Bei agglomerativen startet man von der feinsten Partition (Anzahl der Personen), bei der divisiven Vorgehensweise ist die
gröbste Partition der Ausgangspunkt (alle Personen befinden sich in einer Gruppe)

Schritt 1: Start mit feinsten Partition
(jedes Objekt ist ein Cluster)
Schritt 2: Für alle Objekte Distanz berechnen
(quadrierte Euklidische Distanz)
Schritt 3: Gesucht: die beiden Cluster mit der geringsten
Distanz zueinander
Schritt 4: Zusammenfassung dieser ähnlichsten Objekte
zu einem Cluster; Zahl der Gruppen nimmt um 1 ab
Schritt 5: Berechnung der Abstände zwischen der neuen
und den übrigen Gruppen => reduzierte Distanzmatrix
Schritte 3 - 5 so lange, bis alle Untersuchungsobjekte in
einer Gruppe sind

Ergebnis in Dendrogramm dargestellt

- Dilatierende Verfahren 
Personen werden in etwa gleich große Gruppen zusammengefasst

- Kontrahierende Verfahren
bilden zunächst wenige große Gruppen, denen viele kleine gegenüberstehen (können Ausreißer indentifizieren)

- Konservative Verfahren
weisen weder Tendenzen zu Dilatation noch Kontraktion auf


Außerdem wird unterschieden, ob das Verfahren zur Kettenbildung neigt (im Prozess werden primär einzelne Objekte aneinandergereiht und erzeugt dadurch große Gruppen)

sehr guter Fusionierungsalgorithmus

Vorrausetzungen:
- Verwendung eines Distanzmaßes inhaltlich sinnvoll
- Alle Variablen metrisch
- Keine Ausreißer enthalten (oder vorherneliminiert)
- Variablen sind unkorreliert
- Elementzahl wird in jeder Gruppe ungefähr gleich groß sein

Beruht auf Berücksichtigung der Streuung der Elemente:
Immer diejenigen Objekte werden vereinigt, die die Fehlerquadratsumme am wenigsten erhöhen.

- Der Anwender muss entscheiden, welche Anzahl von Gruppen die beste ist
- Das Verfahren ist explorativ, ohne sachlogisch begründbare Vorstellung zur Gruppierung
- Daher wird die Bestimmung der Gruppenanzahl an statistischen und nicht sachlogischen Gründen orientiert
- Aus dem Dendrogramm lassen sich bereits optisch sinnvolle Gruppentrennungen erkennen

- Außerdem: Elbow-Kriterium

- SPSS berechnet Homogenitäts-Werte für jede Variable einer gefundenen Gruppe.
Ein Cluster ist dann als vollkommen homogen anzusehen,
wenn alle Werte kleiner sind als 1

Ein Verfahren / Hilfestellung zur Festlegung der Gruppenzahl bei einer Clusteranalyse

- In Grafik wird Heterogentitätsentwicklung und Clusteranzahl abgetragen (je weniger Cluster desto heterogener sind diese)
- Wird ein Sprung (Elbow) in der Heterogentitätsentwicklung deutlich, so kann dies als Entscheidungskriterium genutzt werden,
denn einerseits sollen nicht zu viele Cluster entstehen
(Handhabbarkeit), andererseits sollen die Cluster in sich
möglichst homogen sein.

- Ausreißer entfernen (Single-Linkage-Verfahren)

- Nur Merkmale berücksichtigen, die relevant für den zu untersuchenden Sachverhalt sind

- Hoch korrelierende Merkmale nicht mit einbeziehen
(entweder als EIN Faktor einbeziehen oder eine Variable ausschließen)

- Standardisierung wenn unterschiedliche Skalenniveaus vorhanden sind

- Agglomerative Verfahren führen bei großen Fallzahlen zu Berechnungsproblemen -> In dem Fall eher partitionierende Verfahren

Anwender hat bei der Clusteranalyse einen breiten Manövrier- und Einflussraum

• Vorteil: breites Anwendungsgebiet der Verfahren
• Nachteil/Gefahr: die Daten so lange zu manipulieren,
bis sich ein gewünschtes Ergebnis zeigt

- Viele zu den Objekten (Personen) erhobene Variablen
   -> Entwicklung einer neuen Typologie

- Entstandene Typologien eigenen sich für weitere Berechnungen
   - homogene Untergruppen gebildet, die als neue UV genutzt
     werden können

- Aufklärung weiterer Varianz

- Gegenüberstellung von bestimmten, sich ähnelnden Gruppen in Bezug auf eine AV (z. B. „Spielspaß“)

- Unterschiede herausstellbar

der Einfluss einer oder mehrerer Variablen auf eine andere Variable

der relative Beitrag verschiedener Variablen zur Erklärung eines Wertes wird deutlich

a) Bsp.: Wie stark ist der Einfluss von Alter, Bildungsstand, Geschlecht, vorheriger Stimmung und Beschäftigung in der Pause auf die Leistung im Rechentest?

b) Allg.: Methode zur Vorhersage eines Merkmals y aus einem Merkmal x.

c) es wird zwischen unabhängiger und abhängiger Variable unterschieden
y = Kriterium (AV: wird vorhergesagt)
x = Prädiktor (UV, sagt vorher)

inhaltliche Erwägungen, welche Variable als Prädiktor und welche als Kriterium dient.

einfache lineare Regression als Grundlage
(-> deskrpt. Stat.); nur ein Kriterium und ein Prädiktor wird verwendet

Multiple Regression  wird eingesetzt, wenn eine Kriteriumsvariable von mehr als einer unabhängigen Variable vorhergesagt werden soll

Moderierte Regression = nicht-lineare Regression, in der die multiple Regression um das Produkt aus zwei Prädiktorvariablen erweitert wird.

- Steigung dieser Geraden =  b  (Regressionsgewicht)
- Höhenlage (y-Achsen-Abschnitt) = a
- Variable y wird mit einem ^ gekennzeichnet, da es geschätzt wird (hypothetische Werte werden vorhergesagt, die nicht unbedingt mit den tatsächl. Werten übereinst.).
- Funktion liefert für jeden Wert xi  einen zugehörigen Wert ^y
  Dieser vorhergesagte Wert kann jedoch von dem empirischen Wert yi abweichen.
- Parameter b und a müssen bestimmt werden

- gibt einen Punkteschwarm am besten wieder
- über alle Vpn hinweg ist der Vorhersagefehler am kleinsten

Ist die Regressionsgleichung zwischen zwei Variablen bekannt, lässt sich zu einem beliebigen Wert der Prädiktorvariable der zugehörige Kriteriumswert prognostizieren.

In der Statistik versteht man unter einer dichotomen (oder binären Variablen) eine Variable, die zwei Ausprägungen hat, zum Beispiel die Variable Geschlecht mit den beiden Ausprägungen weiblich und männlich.

- Bildung einer Dummy-Variablen nötig
- Kategorien werden mit 0 und 1 kodiert
- ein Test der Steigung auf Signifikanz ergibt identische
  Resultate, wie ein t-Test für unabh. Stichpr.
- Methode nur bei linearen Zusammenhängen anwenden!
- Post-hoc muss das Streudiagramm überprüft werden, um
  Fehlschlüsse zu vermeiden!

- gibt an, um wieviele Einheiten der Originalmetrik sich das Kriterium y verändert, wenn man den Prädiktor x um eine Einheit der Originalmetrik erhöht.
- Bspw. je Promille erhöht sich d. Reaktionszeit um 54 ms.
- unstandardisiertes Regressionsgewicht:
weil die ursprgl. Maßeinheiten erhalten bleiben.
muss von der Originalmetrik der untersuchten Merkmale bereingit werden, d.h. b wird in den Zähler- u. Nennereinheiten an der Streuung der jeweiligen Merkmale relativiert.

Beta-Gewicht:
- Vergleich zwischen Regressionen wird möglich
- der Koeffizient Beta ist von den Maßeinheiten der untersuchten
  Merkmale unabhängig
- drückt aus, um wieviele Standartabweichungen sich y verändert,
  wenn sich x um eine Stadardabweichung vergrößert
[- im Fall der einfachen Regression ist der Koeffizient Beta identisch
   mit dem Wert r aus der Produkt-Moment-Korrelation]

- beurteilen, ob Merkmal X ein Merkmal Y stat. bedeutsam
  vorhersagt
- funktioniert ähnlich wie t-Test
- Prüfgröße t bilden, indem d. unstandardisierte Regressionskoeff. b
  an seinem Standardfehler relativiert wird
- Standardfehler schätzt die Streuuung der emp. Regr.koeffizienten
  um den wahren Populationswert -> analog z. Mittelwertsdifferenz
  beim t-Test
- je größer b und je kleiner der Standardfehler, desto größer der
  t-Wert und desto eher kann die H0 verworfen werden
- Gütemaß einer Regression: Determinationskoeffizient r^2
   (Effektstärkemaß)

- Kriterium: intervallskaliert und normalverteilt
- Prädiktor: intervallskaliert und normalverteilt
                  oder dichotom nominalskaliert
- Einzelwerte verschiedener Vpn:
  voneinander unabh. zustande gekommen
- Zusammenhang der Variablen: (theoretisch) linear
- Streuung der zu einem x-Wert gehörenden y-Werte:
  über den ganzen Wertebereich von x homogen*
(*Homoskedastizität)

- Verfahren kann relativen Einfluss einzelner Prädiktoren im Kontext
  der anderen Prädiktoren ermitteln
- wägt die Vorhersagekraft der einzelnen Prädiktoren
  gegeneinander ab, indem sie Überschneidungen
  (Interkorrelationen) zwischen den einzelnen Prädiktoren
  berücksichtigt

- durch den Einbezug weiterer Prädiktoren verbessert sich die
  Übereinstimmung zwischen beobachtetem und geschätzten Wert
  -> man hat weniger Residuen
  -> Beta-Werte miteinander vergleichen

psychologische Konstrukte sind so gut wie nie nur durch einen
  Prädikator erklärbar!

= a +  b1* Prädikator1 +  b2 * Prädikator2 +   b3*Prädikator3

(im Prinzip äquivalent zur einfacheren Regr., dort sind aber Schritt 3+4 identisch)

1. Modellformulierung: Beruht auf theoretischen Vorüberlegungen, Modelle und Annahmen zur Kausalität
2. Schätzung der Regressionsfunktion
3. Prüfung der Regressionsfunktion
4. Prüfung der Regressionskoeffizienten
5. Prüfung der Modellprämissen

2 Schritte:

globale Prüfung der Regressionfunktion:
= wie gut wird Y durch das Regressionsmodell erklärt?
Ist das Modell als Ganzes nicht geeignet, erübrigt sich die Prüfung der einzelnen Koeffizienten.

Prüfung der Regressionskoeffizienten:
= wie gut tragen einzelne Variablen des Regr.modells zur Erklärung bei?
Wenn eine Variable keinen Beitrag zur Erklärung liefert, ist sie aus der Regressionsfunktion zu entfernen.

Bestimmungsmaß r^2:
der durch die UV erklärte Anteil, Wertebereich zw. 0 und 1
(1, wenn die gesamte Streuung erklärt wird, mit jedem hinzukommenden Prädikator wird mehr erklärt)

die F-Statistik:
besitzt das geschätzte Modell auch über die Stichprobe hinaus Gütligkeit für die Grundgesamteheit, empirischer F-Wert wird mit kritischem  Wert verglichen

der Standardfehler.

(wie gut tragen einzelne Variablen des Regressionsmodells zur Erklärung bei? Wenn eine Variable keinen Beitrag zur Erklärung liefert, ist sie aus der Regressionsfunktion zu entfernen)

- t-Test
die einzelnen Regressionskoeffizienten werden durch eine t-Verteilung geprüft, man erhält den t-Wert, indem der Regressionskoeffizient durch den Standardfehler dividiert wird

- Beta-Wert

Gegenüber der einfachen Regression kommt hinzu:

- Keine übermäßige Multikollinearität der Prädiktoren
Unter Multikollinearität versteht man sehr hohe lineare Zusammenhänge zwischen den Prädiktoren, so dass im Extremfall eine Prädiktorvariable aus den anderen Prädiktoren vorhersagbar wäre.

- Dies würde dazu führen, dass die Einflussgewichte der einzelnen Prädiktoren nicht mehr genau bestimmbar sind.

-schrittweise Regressionsanalyse
-blockweise Regressionsanalyse
-hierarchische Regressionsanalyse

- bei 3 Prädktoren kann man 7 verschiedene Modelle bilden:
- 3 Modelle mit einem Prädiktor, 3 mit zwei P. und eins mit drei P.
- Entscheidung über theor. Vorüberlegung, dann mit der Methode
  "Einschluss" berechnet
- durch das 'schrittweise'-Modell kann man sich eine Auswahl von
  Modellen anzeigen lassen, die das Datenmaterial gut abbilden,
  und versucht, das gewählte Modell sinnvoll zu interpretieren.
- außerdem werden die Prädikatoren einzeln nacheinander in die
  Regressionsgleichung einbezogen. Es wird jeweils eine Variable
  gewählt, die ein bestimmtes Gütekriterium maximiert.
- erster Schritt: Variable mit höchster Korrelation (=höchster
  Erklärungswert); folgende Schritte: jeweils die, mit der höchsten
  partiellen Korrelation
- Rangfolge: statistische Wichtigkeit der Variable

Kritik: explorativer Charakter (das Modell wird ja nicht theoretisch abgeleitet) und: wenn ein Prädiktor allein nicht zur Varianzaufklärung in y beiträgt, wird er nicht ins Modell aufgenommen

– In SPSS Methode „Einschluss“ – (theoriegeleitet) werden Variablen in einem Block in die Regressionsanalyse einbezogen

– Alle Variablen werden berücksichtigt, in der Tabelle „Koeffizienten“ wird der Beta-Koeffizient angegeben, durch den man bestimmen kann, welcher Prädiktor den höchsten Einfluss nimmt

– Die Funktion Einschluss wird genutzt, um (theoriegeleitet)  unterschiedliche Blöcke von Variablen in die Regressionsanalyse einzubeziehen

– Zunächst nimmt man die Variable(n), die vor dem Hintergr. d. Theorie zentral erscheinen

– In einem zweiten Block fügt man (eine) potenziell weitere erklärende Variable(n) hinzu und kann über die Funktion „Änderung in R-Quadrat“ feststellen, ob diese die Vorhersage signifikant verbessert

– Gegenstand der multiplen (hierarchischen) Regression:
Erklärung der Varianz in der Kriteriumsvariablen durch zwei (oder mehr) Prädiktor/Moderatorvariablen
– Beispiel: Wie viel Varianz der Gedächtnisleistung wird durch Alter und Intelligenz erklärt?

= nicht-lineare Regression, in der die multiple Regression um das Produkt aus zwei Prädiktorvariablen erweitert wird.

d.h.:
Kriterium          : Gedächtniswert
Prädiktoren      : Alter
                           Intelligenz
                           -> Alter * Intelligenz

Wenn beide Variablen gleich skaliert sind und deren Mittelwerte gleich sind: Alles OK
Beispiel:  verbale Intelligenz plus non-verbale Intelligenz
     jeweils Mittelwert in Stichprobe = 100, SD = 15
     Kommt in der Realität so gut wie nie vor

Wenn beide Variablen nicht gleich skaliert sind und deren Mittelwerte nicht gleich sind:
Die Variablen gehen mit unterschiedlichen Gewichten in den multiplikativen Term ein
→ keine homogene Interaktion analysierbar

Standardisieren von Variablen:
Z-Standardisierung; Ergebnis: Mittelwert = 0   SD  = 1

oder

Zentralisieren von Variablen: (Aiken & West, 1991)
Bei beiden Variablen wird getrennt voneinander der Mittelwert auf 0 gesetzt indem die Abweichungen vom Mittelwert pro Vpn berechnet werden. Bsp.:       mx = mean(alter)    alter_z = alter – mx

Verteilungsform (SD) der Variablen bleibt erhalten: zentralisierte Variablen haben die gleiche SD wie vor der Zentralisierung.
Aus den beiden zentralisierten Variablen wird das Produkt gebildet.
Anschließend: Berechnung einer multiplen (hierarchischen) Regression mit den beiden Prädiktor/Moderatorvariablen plus dem multiplikativen Term der zentralisierten Prädiktorvariablen.

- zunächst einfach „nur“, dass durch die Interaktion der beiden Prädiktorvariablen mehr Varianz in der Kriteriumvariablen erklärt wird als durch die beiden Prädiktorvariablen zusammengenommen

- Betrachtung (und Berechnung) der „single slopes“ erklärt die „Richtung“ des Interaktionseffektes

JA!
Kriterium:      Gedächtniswert
Prädiktoren:   Umgebungskontext (mit Fernseher/ohne Fernseher)
Aufmerksamkeitsleistung; (Umgebung * Aufmerksamkeit)
Design:
– 100 Vpn, Kriteriumvariable: Score in einem Gedächtnistest
– 2 Gruppen (jeweils n = 50):
• A) Gedächtnistest während Fernseher läuft
• B) Gedächtnistest in ruhigem Raum
Moderatorvariable: Aufmerksamkeitsleistung (wurde vorher erfasst)
Kriteriumvariable: Score in einem Gedächtnistest
Prädiktorvariable: „Gruppe“ (Fernsehen vs. Ruhe)
Hypothese: Ausprägung der Gedächtnisleistung (Kriterium) wird durch die Gruppenzugehörigkeit (Prädiktor) erklärt; der Effekt der Gruppenzugehörigkeit auf die Gedächtnisleistung wird jedoch durch die generelle Aufmerksamkeitsleistung (Moderator) moderiert.

Zusammenhangs- oder Unterschiedshypothese?
– Bei Zusammenhangshypothese: Korrelationsverfahren
– Bei Unterschiedshypothese: t-Tests, Varianzanalysen

Tabelle nach Skalenniveaus.

Wie ist das Skalenniveau der abhängigen Variable?:

   - nominal: Chi-Quadrat Test

   - metrisch oder ordinal:
       - 2 Gruppen (z.B. Männer/Frauen; t-Tests und verwandte Tests)
       - mehr als 2 Gruppen (z.B. 3 Bedingungen in einem Experiment)
       - mehr als 2 Faktoren (können zwei, aber auch mehr Stufen/
         Gruppen haben) werden gleichzeitig betrachtet (ermöglicht
          Interaktionsanalysen)
       siehe Tabellen VL 11, S.6-8

1. Eingabe der Daten in SPSS

2. Despkriptive Analysen

3. Vorbereitung der Inferenzstatistik
a) standardisierter Fragebogen
b) ad-hoc-Fragebogen

4. Inferenzstatistik

5. Regressionsanalyse

6. Clusteranalyse

1. Schritt: Eingabe der Daten in SPSS und Datenprüfung
- Wenn Nutzung eines paper-pencil Fragebogens:
  bei der Eingabe in SPSS kann es zu Fehlern kommen
-> Minima & Maxima angeben lassen (z.B., dass fälschlicherw. eine 33 statt einer 3 eingeg. wurde)

Deskriptive Analysen

- Je nach Fragestellung empfiehlt sich eventuell zu Beginn, eine Übersicht* über das generelle (Antwort)verhalten, unabhg. von evtl. variierten Bedingungen, zu erhalten

- Dazu werden Häufigkeiten (bei nominalen Variablen) oder Mittelwerte und Standardabweichungen (bei metrischen Variablen) angegeben

*Um eine Übersicht über den Zusammenhang zwischen den erhobenen Variablen zu erhalten, können Korrelationsverfahren genutzt werden

Vorbereitung der Inferenzstatistik
Wenn in einem Fragebogen Skalen genutzt werden (Gruppen von Items, die zu einem bestimmten Bereich Auskunft geben sollen, z.B. Motive zur Fernsehnutzung, Persönlichkeitseigenschaften), sollten diese vor Beginn der Analysen verdichtet werden

Fall A: standardisierter Fragebogen
- es handelt sich um einen standardisierten Fragebogen, für den eine Auswertungsanweisung vorliegt (z.B. Neo-FFI zur Messung von Persönlichkeit), d.h. es wurde in vorherig. Studien festgestellt, welche Items zu welchem Faktor gehören
Mittelwert- oder Summenbildung für jede Dimension/Subskala

Inferenzstatistik
- Wenn es eine Unterschiedshypothese oder eine entsprechende
  Fragestellung gibt, werden diese nun geprüft
- dazu werden (je nach Hypothese/Fragestellung) entweder t-Test,
  ein- oder mehrfaktorielle Varianzanalyse, Varianzanalyse mit
  Messwdh. oder Chi2-Test (je nach Skalenniveau) genutzt
- vgl. Entscheidungsbaum
- moderierende Variablen
  - wenn metrisch als Kovariate (z.B. Motive der Mediennutzung),
  - wenn nominal als weiterer fester Faktor (UV) in einer mehrfakt. VA
    (z.B. Geschlecht)
- Soll eine metr. Variable als fester Faktor genutzt werden, muss
  sie vorher in wenige Gruppen aufgeteilt werden (entweder durch
  Mediansplit oder Einteilung in 4 Gruppen durch visuelle
  Klassierung)  –  z.B. Personen, die eine höhere/niedrigere Intelligenz aufweisen

Regressionsanalyse
- abschließend kann eine Regressionsanalyse durchgeführt werden (bzw. je nach Fragestellung wird direkt eine Regressionsanalyse durchgeführt)
  - wenn sich theoretisch ein Modell über den Zusammenhang
    zwischen den Variablen ableiten lässt  
     oder
  - um die Relation der Variablen untereinander zu klären

- schrittweise Regressionsanalyse (explorativen Charakter)
- hierarchische Analyse, wenn ein Modell oder theor. abgeleitete
  Hypothesen vorhanden
- die moderierte Regression kann durchgeführt werden, wenn
   zusätzlich Wissen/Modell darüber besteht, dass zwei Variablen
   miteinander interagieren

Clusteranalyse
- Wenn man eine Typologie entwickeln will (z.B. eine Typologie
  von Internetnutzern) - Etwa um durch eine solche Typologie zusätzliche Varianz in
  Varianzanalysen aufzuklären
- Bildung von Gruppen von PERSONEN
- basierend auf mehreren unkorrelierten und z-standard. (metr.n &
  nom.) Variablen
- Variablen sollten theoriebasiert ausgewählt werden
- möglich ist eine hierarchische Clusteranalyse oder ein
  partitionierendes Verfahren (Clusterzentrenanalyse)
- Zugehörigkeit jeder Pers. zu einem Cluster wird in einer neuen
  Variable angegeben
- die Clusterzugehörigkeit kann dann als UV oder zweiter fester
  Faktor zur zusätzlichen Aufklärung von Varianz genutzt werden
- Anwendung eher selten, vorherige Verfahren werden stärker genutzt

Er kritisiert, dass alle Forscher das so genannte „Null-Ritual“ anwenden, ohne es kritisch zu hinterfragen:
"Statistische Rituale verdrängen das statistische Denken in den Sozialwissenschaften."
... und das, obwohl die Statistik-Entwickler sich das eigentlich anders gedacht hatten...
Außerdem ist Girenzer der Meinung, dass Beurteilen nicht willkommen ist.

Null-Ritual: das Nullhypothesen-Testen.
- stelle eine statistische Nullhypothese ("kein Hauptunterschied", "keine Korrelation.")
- spezifiziere nicht die Vorhersagen deiner Untersuchungshypothese
  oder irgendeiner stichhaltigen Alternativhypothese
- Nutze 5% als Begrenzung um 'die Null' zu widerlegen
- Falls signifikant, akzeptiere deine Untersuchungshypothese.
- weise dein Ergebnis als p<0.05 oder p<0.01 oder p<0.001 aus,
  welches auch immer als nächstes am erhaltenen p-Wert dran ist
- nutze immer diese Vorgehensweise
weitere Gegner: Neyman und Pearson

"Kein Wissenschaftler hat ein feststehendes Signifikanzlevel, auf das er sich über Jahre hinweg in allen Umständen zurückbezieht und daraufhin Hypothesen ablehnt. Er setzt sich besser mit jedem einzelnen Fall auseinander, im Lichte seiner Belege und Ideen."
frei übersetzt^^

- Lehrbücher und Curricula berücksichtigten nicht die gesamte „Toolbox“  -> deskriptive Statistik, Tukey’s explorative Methoden, Bayes´sche Statistik, Neyman- Pearson-Entscheidungstheorie und Wald’s sequentielle Analyse
- statt dessen wird ausschließlich das „Null-Ritual“ gelehrt

- ursprüngl. Fassung: Nullhypothese war nicht zwingend die These, die keinen Unterschied postulierte, sondern irgendeine inhaltliche These, die widerlegt werden konnte
- damals wurde kein konstanter Level von .05 vorgeschlagen
- Nullhypothesen Testen wurde sogar von Fischer als die primitivste statistische Vorgehensweise empfunden und sollte nur für Probleme gewählt werden, über die wenig der kein Wissen vorliegt

- Durch Kritik an dem Verfahren (unter anderem von Gigerenzer) hat sich das Vorgehen gewandelt: es müssen nun auch deskriptive Ergebnisse berichtet werden (Mittelwerte, Standardfehler, Standardabweichungen, Konfidenzintervalle)
- Laut Gigerenzer ist eine gute Dokumentation der deskriptiven Ergebnisse unverzichtbar
- Auch Effektstärken werden mehr und mehr berichtet, weil sie aussagekräftiger sind