Wann / wozu wird der χ2-Test eigesetzt?
• Verfahren für Nominaldaten
• Beruht auf der Analyse von Häufigkeiten (→ Häufigkeiten sind die
einzige Information, die Nominaldaten übermitteln)
• Nominaldaten erlauben keine Aussagen über ein mehr oder
weniger einer Eigenschaft (wie Ordinaldaten) oder zur Größe
der Unterschiede (wie intervallskalierte Daten)
• Mögliche Fragestellungen: Studieren mehr Männer als Frauen
Sozialwissenschaften? Gibt es unter Studierenden mehr
Brillenträger als unter Nicht-Studierenden?
• Beruht auf der Analyse von Häufigkeiten (→ Häufigkeiten sind die
einzige Information, die Nominaldaten übermitteln)
• Nominaldaten erlauben keine Aussagen über ein mehr oder
weniger einer Eigenschaft (wie Ordinaldaten) oder zur Größe
der Unterschiede (wie intervallskalierte Daten)
• Mögliche Fragestellungen: Studieren mehr Männer als Frauen
Sozialwissenschaften? Gibt es unter Studierenden mehr
Brillenträger als unter Nicht-Studierenden?
Tags: Chi-Quadrat-Test, VL07
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Beschreibe das Vorgehen beim eindimensionalen χ2 - Test!
• Allgemeines Prinzip: Vergleich von beobachteten und theoretisch erwarteten Häufigkeiten
=> Der Test prüft, ob die beobachtete Häufigkeitsverteilung von der theoretisch erwarteten Verteilung verschieden ist.
• Häufig anzutreffende Nullhypothese: Erwartete Häufigkeiten in
allen Zellen des Versuchsplans sind identisch. / Verteilung über die Gruppen ist zufällig.
• Nach Spezifikation der Nullhypothese des χ2-Tests lässt sich für jede Zelle des Versuchsplans die Häufigkeit bestimmen, die bei Gültigkeit dieser Nullhypothese auftreten sollte = erwartete Häufigkeiten
• Die erwartete Häufigkeit pro Zelle ergibt sich aus dem Stichprobenumfang N geteilt durch die Zellenanzahl k
• Der χ2 – Kennwert ist ein Maß für die Stärke der Abweichung der beobachteten von den erwarteten Häufigkeiten.
• Anhand der χ²-Verteilung kann die Wahrscheinlichkeit eines empirischen Wertes ermittelt werden.
• Für jedes der Felder wird die Abweichung der beobachteten von der erwarteten Häufigkeit bestimmt und quadriert (Quadrierung, weil die Summe der unquadrierten Abweichungen immer Null ergeben würde)
• Summe der quadrierten Abweichungen ergibt nur in dem einen Fall Null, dass die erwarteten gleich den beobachteten Häufigkeiten sind.
• Stimmen die beobachteten und die erwarteten Häufigkeiten in allen Zellen überein, so resultiert ein χ2 von Null. Je größer die Diskrepanz zwischen beobachteten und erwarteten Häufigkeiten,
desto größer wird der χ2-Wert.
• In der χ2-Verteilung ist jedem χ2-Wert in Abhängigkeit von seinen Freiheitsgraden eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet.
• Dieser Wert gibt an, wie wahrscheinlich der gefundene χ2-Wert oder ein größerer unter der Nullhypothese ist.
• Wenn diese Wahrscheinlichkeit kleiner ist als ein vorher festgelegtes Signifikanzniveau α, so wird die Nullhypothese verworfen und die Alternativhypothese angenommen.
• Die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Werte unter der Nullhypothese können nach den Freiheitsgraden geordnet in Tabellen abgelesen werden.
=> Der Test prüft, ob die beobachtete Häufigkeitsverteilung von der theoretisch erwarteten Verteilung verschieden ist.
• Häufig anzutreffende Nullhypothese: Erwartete Häufigkeiten in
allen Zellen des Versuchsplans sind identisch. / Verteilung über die Gruppen ist zufällig.
• Nach Spezifikation der Nullhypothese des χ2-Tests lässt sich für jede Zelle des Versuchsplans die Häufigkeit bestimmen, die bei Gültigkeit dieser Nullhypothese auftreten sollte = erwartete Häufigkeiten
• Die erwartete Häufigkeit pro Zelle ergibt sich aus dem Stichprobenumfang N geteilt durch die Zellenanzahl k
• Der χ2 – Kennwert ist ein Maß für die Stärke der Abweichung der beobachteten von den erwarteten Häufigkeiten.
• Anhand der χ²-Verteilung kann die Wahrscheinlichkeit eines empirischen Wertes ermittelt werden.
• Für jedes der Felder wird die Abweichung der beobachteten von der erwarteten Häufigkeit bestimmt und quadriert (Quadrierung, weil die Summe der unquadrierten Abweichungen immer Null ergeben würde)
• Summe der quadrierten Abweichungen ergibt nur in dem einen Fall Null, dass die erwarteten gleich den beobachteten Häufigkeiten sind.
• Stimmen die beobachteten und die erwarteten Häufigkeiten in allen Zellen überein, so resultiert ein χ2 von Null. Je größer die Diskrepanz zwischen beobachteten und erwarteten Häufigkeiten,
desto größer wird der χ2-Wert.
• In der χ2-Verteilung ist jedem χ2-Wert in Abhängigkeit von seinen Freiheitsgraden eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet.
• Dieser Wert gibt an, wie wahrscheinlich der gefundene χ2-Wert oder ein größerer unter der Nullhypothese ist.
• Wenn diese Wahrscheinlichkeit kleiner ist als ein vorher festgelegtes Signifikanzniveau α, so wird die Nullhypothese verworfen und die Alternativhypothese angenommen.
• Die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Werte unter der Nullhypothese können nach den Freiheitsgraden geordnet in Tabellen abgelesen werden.
Tags: Chi-Quadrat-Test, VL07
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Warum wendet man beim eindimensionalen χ2 - Test eine zusätzliche Standardisierung an der jeweiligen erwarteten Häufigkeit an?
• Dies gewichtet die Abweichungsquadrate
entsprechend der Größe der jeweiligen Kategorie.
• Grund: identische Beträge von Differenzen sind
nicht in allen Fällen gleich bedeutsam sind.
• Abweichung von 10 in der Differenz 1000 − 990 ist
nicht so bedeutend wie eine ebenso große
Abweichung in der Differenz 20 − 10.
entsprechend der Größe der jeweiligen Kategorie.
• Grund: identische Beträge von Differenzen sind
nicht in allen Fällen gleich bedeutsam sind.
• Abweichung von 10 in der Differenz 1000 − 990 ist
nicht so bedeutend wie eine ebenso große
Abweichung in der Differenz 20 − 10.
Tags: Chi-Quadrat-Test, VL07
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Welche Eigenschaften hat der χ²-Wert?
• Stimmen die beobachteten und die erwarteten Häufigkeiten in allen Zellen überein, so resultiert ein χ2 von Null. Je größer die Diskrepanz zwischen beobachteten und erwarteten Häufigkeiten,
desto größer wird der χ2-Wert.
• Aufgrund der Quadrierung kann der Wert nur positive Werte annehmen.
• Information über die Richtung der einzelnen Abweichungen verloren.
• Der χ2-Test ist daher ein unspezifischer Test, d.h. er kann keine gerichteten Vorhersagen testen, sondern testet
zweiseitig (Ausnahme: eindimensionale χ2- Test mit nur zwei Stufen)
• Der χ2-Kennwert folgt wie der t- oder F-Wert einer kontinuierlichen Verteilung, der χ2-Verteilung. Der Wertebereich der Verteilung erstreckt sich von Null bis Unendlich. Form ist abhängig von der Anzahl der Freiheitsgrade.
desto größer wird der χ2-Wert.
• Aufgrund der Quadrierung kann der Wert nur positive Werte annehmen.
• Information über die Richtung der einzelnen Abweichungen verloren.
• Der χ2-Test ist daher ein unspezifischer Test, d.h. er kann keine gerichteten Vorhersagen testen, sondern testet
zweiseitig (Ausnahme: eindimensionale χ2- Test mit nur zwei Stufen)
• Der χ2-Kennwert folgt wie der t- oder F-Wert einer kontinuierlichen Verteilung, der χ2-Verteilung. Der Wertebereich der Verteilung erstreckt sich von Null bis Unendlich. Form ist abhängig von der Anzahl der Freiheitsgrade.
Tags: Chi-Quadrat-Test, VL07
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Warum wird beim eindimensionalen χ2 - Test zusätzlich die Effektstärke geprüft? Wie?
• Da ein statistisch signifikantes Ergebnis
nicht gleichzusetzen ist mit inhaltlicher
Bedeutsamkeit, ist auch hier eine
Bestimmung der Effektstärke erforderlich.
• standardisiertes Maß für die Größe des
systematischen Unterschieds zwischen der
festgelegten Null- und einer bestimmten
Alternativhypothese.
• Häufig verwendet: w-Quadrat
nicht gleichzusetzen ist mit inhaltlicher
Bedeutsamkeit, ist auch hier eine
Bestimmung der Effektstärke erforderlich.
• standardisiertes Maß für die Größe des
systematischen Unterschieds zwischen der
festgelegten Null- und einer bestimmten
Alternativhypothese.
• Häufig verwendet: w-Quadrat
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Beschriebe die Teststärkeanalyse bei einem eindimensonalen χ2 - Test!
• Die Teststärke: Wahrscheinlichkeit, einen Effekt
einer bestimmten Größe zu finden, falls dieser
wirklich existiert.
• hängt ab vom Signifikanzniveau α, dem
Stichprobenumfang N und der Effektstärke w²
• Teststärke lässt sich im Anschluss an eine
Untersuchung bestimmen, um anzuzeigen, wie
groß die Wahrscheinlichkeit war, ein signifikantes
Ergebnis zu erhalten.
• Damit lässt sich ein Schluss zugunsten der
Nullhypothese absichern.
einer bestimmten Größe zu finden, falls dieser
wirklich existiert.
• hängt ab vom Signifikanzniveau α, dem
Stichprobenumfang N und der Effektstärke w²
• Teststärke lässt sich im Anschluss an eine
Untersuchung bestimmen, um anzuzeigen, wie
groß die Wahrscheinlichkeit war, ein signifikantes
Ergebnis zu erhalten.
• Damit lässt sich ein Schluss zugunsten der
Nullhypothese absichern.
Tags: Chi-Quadrat-Test, VL07
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Was macht der zweidimensionale χ2 - Test?
• Erweiterung um ein weiteres kategoriales Merkmal (nominalskalierte Variable) mit mind. 2 Stufen
• Versuchspersonen werden allen mögl. Kombinationen der Stufen beider Merkmale zugeordnet --> Kreuztabelle
• prüft Unabhängigkeit der untersuchten Merkmale
• Beziehung der Merkmale zueinander im Vordergrund
( z.B.: Präferenz für Liebes- vs. Actionfilme geschlechtsabhängig?)
• Versuchspersonen werden allen mögl. Kombinationen der Stufen beider Merkmale zugeordnet --> Kreuztabelle
• prüft Unabhängigkeit der untersuchten Merkmale
• Beziehung der Merkmale zueinander im Vordergrund
( z.B.: Präferenz für Liebes- vs. Actionfilme geschlechtsabhängig?)
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Zweidimensionaler χ2 - Test: Beschreibe das Vorgehen!
• Vorgehen identisch zu eindimension. Test
• Schätzung der erwarteten Zellhäufigkeiten Unter Annahme der stochastischen Unabhängigkeit):
(Zeilensumme * Spaltensumme) / N
• Vergleich mit beobachteten Häufigkeiten
• Für jede Zelle wird die quadrierte Abweichung zwischen beobachteter und erwarteter Häufigkeit gebildet und an der erwarteten Häufigkeit relativiert, die Summe ist der χ2-Wert
• χ2-Wert als Maß für die Abweichung der beobachteten von den erwarteten Werten.
• Ein hinreichend großer χ2-Wert erlaubt es, die Nullhypothese mit der Fehlerwahrscheinlichkeit α zurückzuweisen.
-> Signifikanzprüfung durch Ablesen in Tabelle unter Berücksichtigung der Freiheitsgrade;
df = (Anzahl Merkmal A -1 ) * (Anzahl Merkmal B - 1)
• Bei völliger Übereinstimmung der erwarteten und beobachteten Häufigkeiten resultiert ein χ2-Wert von Null. Die beiden Merkmale sind vollständig voneinander unabhängig.
• Unspezifische Testung, daher Betrachtung der deskriptiven Werte, wenn signifikant.
• SPSS ermöglicht außerdem die Berechnung
von standardisierten Residuen pro Zelle.
• Wenn diese größer sind als 2, kann davon
ausgegangen werden, dass in dieser Zelle
eine Besonderheit vorliegt.
• Schätzung der erwarteten Zellhäufigkeiten Unter Annahme der stochastischen Unabhängigkeit):
(Zeilensumme * Spaltensumme) / N
• Vergleich mit beobachteten Häufigkeiten
• Für jede Zelle wird die quadrierte Abweichung zwischen beobachteter und erwarteter Häufigkeit gebildet und an der erwarteten Häufigkeit relativiert, die Summe ist der χ2-Wert
• χ2-Wert als Maß für die Abweichung der beobachteten von den erwarteten Werten.
• Ein hinreichend großer χ2-Wert erlaubt es, die Nullhypothese mit der Fehlerwahrscheinlichkeit α zurückzuweisen.
-> Signifikanzprüfung durch Ablesen in Tabelle unter Berücksichtigung der Freiheitsgrade;
df = (Anzahl Merkmal A -1 ) * (Anzahl Merkmal B - 1)
• Bei völliger Übereinstimmung der erwarteten und beobachteten Häufigkeiten resultiert ein χ2-Wert von Null. Die beiden Merkmale sind vollständig voneinander unabhängig.
• Unspezifische Testung, daher Betrachtung der deskriptiven Werte, wenn signifikant.
• SPSS ermöglicht außerdem die Berechnung
von standardisierten Residuen pro Zelle.
• Wenn diese größer sind als 2, kann davon
ausgegangen werden, dass in dieser Zelle
eine Besonderheit vorliegt.
Tags: Chi-Quadrat-Test, VL07
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Was versteht man unter der Hypothese der stochastischen Unabhängigkeit?
- Betrachtete Merkmale beeinflussen sich nicht gegenseitig.
- Verhältnis der Randhäufigkeiten spiegelt sich in Zellen wider
Sowohl in Zeilen, als auch in Spalten!
- Verändert sich dieses Verhältnis in einer Merkmalskombination
->0 verletzt!
- Verhältnis der Randhäufigkeiten spiegelt sich in Zellen wider
Sowohl in Zeilen, als auch in Spalten!
- Verändert sich dieses Verhältnis in einer Merkmalskombination
->0 verletzt!
Tags: Chi-Quadrat-Test, VL07
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Zweidimensionaler χ2 - Test: Was versteht man unter Randhäufigkeiten?
• Summe der Häufigkeiten in einer Stufe eines Merkmals über alle
Stufen des zweiten Merkmals hinweg (auch Zeilen- bzw. Spaltensummen).
• Addition der Zeilen- bzw. der Spaltensummen ergibt jeweils den
Stichprobenumfang N.
Stufen des zweiten Merkmals hinweg (auch Zeilen- bzw. Spaltensummen).
• Addition der Zeilen- bzw. der Spaltensummen ergibt jeweils den
Stichprobenumfang N.
Tags: Chi-Quadrat-Test, VL07
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Was sind die Voraussetzungen/Bedingungen für den Chi² - Test?
- einzelne Beobachtungen voneinander unabhängig
- Vpn können eindeutig einer Kategorie bzw.
Merkmalskombination zugeordnet werden
- erwarteten Häufigkeiten sind in 80% der Zellen des
Versuchsplans >5
- Vpn können eindeutig einer Kategorie bzw.
Merkmalskombination zugeordnet werden
- erwarteten Häufigkeiten sind in 80% der Zellen des
Versuchsplans >5
Tags: Chi-Quadrat-Test, VL07
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Flashcard set info:
Author: P-H-I-L
Main topic: Statistik
Topic: Inferenzstatistik
Published: 13.04.2010
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