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Ein Kreis aus Kondensator und Spule wird elektrischer Schwingkreis genannt, da dort elktr. Schwingungen stattfinden können.
Es finden periodische Umwandlungen von elektr. in mag. Feldenergie statt.

Thomson'sche Gleichung

ein möglicher Widerstand ist vernachlässigbar ()





Einsetzten




nach ableiten


Ansatz:

Einsetzten







            

	Elektromag. Schwingung	Federpendel
	Kondensator hat maximale Spannung, Strom = 0, mag. Feld = 0	Kugel ist maximal ausgelenkt und bewegt sich nicht, die kinetische Energie ist null, Spannenergie ist maximal
	Kondensator entlädt sich mit zunehmender Stromstärke, mag. Energie wächst, elektr. Energie nimmt ab,	Kugel bewegt sich mit größere Geschwindigkeit, gewinnt an kinetischer Energie, vierliert an Spannenergie
	Kondensator ist vollständig entladen, keine elektr. Energie mehr, Entladestrom maximal, mag. Energie maximal	Feder ist vollständig entspannt, keine Spannenergie mehr ,kinetische Energie ist maximal
	Induktivität der Spule bewirkt ein Weiterfließen des Stromes über die Ladungsgleichverteilung hinaus -> Kondensator lädt sich mit umgekehrten Vorzeichen auf	Die Massenträgheit treibt die Kugel über die Ruhelage hinaus -> Kugel schwingt zurück -> Spannenergie wächst wieder
	Kondensator ist komplett entgegen gesetzt geladen	Die Kugel ist vollständig wieder zu anderen Seite ausgelenkt

Die mechanische und elektrische Schwingung wiederholen sich nun im umgekehrter Richtung.

Aufbau:
ein Strom induziert wird, wird der Transistor leitend. Und die Basis-Kollektor-Strecke wird für die Elektronen passierbar. Die verlorene Energie wird nun neu hinzugefügt.

Idee: Um die Frequenz des Schwingkreises zu erhöhen, muss man die Induktivität und die Kapazität im Schwingkreis reduzieren.
Beim Kondensator kann man die Flächen beliebig verkleinern und beliebig weit auseinander ziehen. Am Ende bleibt nur noch ein "gerader" Stab übrig, dieser wird als Dipol bezeichnet. Es handelt sich um einen offenen Schwingkreis.

Der Dipol dient zur Aussendung von elektromagnetischen Wellen, da das magnetische und elektrische Feld nicht mehr räumlich getrennt ist.

Im Dipol werden zunächste die Elektronen beschleunigt und dann abgebremst. Daraus ergibt sich eine charakteristische Verteilung von Stromstärke und Spannung längs des Dipols. An den Enden des Dipols ist die Stromstärke null, die Spannung ist zwischen den Enden maximal. In der Mitte des Dipols ist die Stromstärke am größten. Die Spannung ist null.

Resonanz tritt nur dann auf, wenn sich entlang eines Dipols eine stehende Welle bilden kann.

ist die Länge des Dipols



Für die Resonanzfrequenz gilt dementsprechend:

• HF Oszillator -> Hertz'scher Dipol dient als Sender
• weiterer Dipol mit Glühlampe (Empfänger)
• dritter Dipol als Reflektor
• Reflektor wird immer weiter von der Lampe weg bewegt

Beobachtung:

• Helligkeit nimmt mit größerem Abstand zu (Maximum bei 15-20cm)
• Helligkeit nimmt nach dem Maximum ab
• Licht erlischt bei 35cm
• 35cm nach dem Maximum wird wieder ein Maximum erreicht

Erklärung:

• Dipol auf HF Oszillator sendet hochfrequente Welle -> Empfänger Dipol -> Lampe leuchtet
• Reflektor Dipol reflektiert Welle des HF Oszillator Dipols -> stehende Welle -> Schwingungsbäuche -> Schwingungsknoten
• Bei Bewegung des Reflektors -> Lampe kommt in Schwinungsbäuche/-knoten

Beispiel:
HF Oszillator hat 434 MHz ->





Abstand der Bäuche und Knoten -> 35cm

Lecher Leitungen

•    zwei versilberte Messingrohe (Abstand 2cm)*    ein Ende ist an einem HF Oszillator kurzgeschlossen*  an das andere Ende kann entweder offen sein oder mit einem Schleifendipol versehen sein*     am Ende der Rohre steht quer ihr Richtung ein Empfangsdipol mit Lampe

Beobachtung:

•    bei offenem Ende leuchtet die Lampe auf dem Empfangsdipol nicht*     bei geschlossenem Ende leuchtet die Lampe auf dem Empfangsdipol

Erklärung:

•    bei dem geschlossenen Ende entsteht am Ende des Rohrs ein Schwingungsknoten *      bei dem offenen Ende wird die Welle reflektiert, es kommt zu einer stehenden Welle

Bei einer stehenden elektro-mag. Welle ist die elektr. und magnet. Feldkomponente um ein verschoben.

Gekoppelte elektr. und mag. Felder, die sich zeitlich und räumlich sinusförmig ändern, bilden eine elektromag. Welle.

Amplitude der Trägerwelle wird durch die akustische Schwingung verändert

Die Trägerwelle wird im Takt der Tonschwingung vergrößert bzw. verkleinert.

Amplitudenmodulation bei Langwellen (10km-1km), Mittelwellen (1km-100m) und Kurzwellen (100m-10m) sowie bei Fernsehenwellen ( 1m)

Frequenzmodulation bei UKW 3,4m-2,8m

Bei der Demodulation eines amplitudenmodulierten Trägers gilt es, die Hüllkurve von der Trägerschwingung zu trennen. Durch Gleichrichtung wird eine Halbschwingung des empfangenen und durch einen Schwingkreis vorselektierten, modulierten Trägers unterdrückt. Man erhält somit eine pulsierende Gleichspannung, die aus einem niederfrequeten Wechselspannungsanteil und einem hochfrequenten Wechselspannungsanteil besteht. Durch Filterung z. B. mit einem RC-Tiefpassfilter, wird der hochfrequente Anteil unterdrückt und der niederfrequente Anteil, der das ursprüngliche Signal darstellt, bleibt übrig. Dieser wird dann verstärkt und in einem Lautsprecher hörbar gemacht.

 

(3)



(2) in (1) einsetzen

(4)

(3) mit (4) gleichsetzten



(5)

Ansatz Man nimmt eine Sinusschwinung, Auslenkung bei y(0) maximal, das , da keine Verschiebung der Schwingung  / beliebiger Startzeitpunkt


Ansatz mit (5) verrechnen

        


Ausklammern

Ein Teil der Gleichung muss null werden







Der Strömungswiderstand sorgt in der Realität natürlich für eine gedämpfte Schwingung.

Gleichsetzten

(Rückstellkraft)



Gleichsetzten



Ansatz:

Einsetzen
   





Faktorregel

Wenn s < l ist so gilt näherungsweise




Kleinwinkelnäherung





mit folgt

Die Geschwindigkeit  nimmt mit zunehmender Auslenkung ab und steigt mit abnehmender Auslenkung. Die Geschwindigkeitsänderung bedeutet, dass die Pendelmasse eine Beschleunigung erfährt



entspricht einer Tangentialbeschleunigung



Gleichsetzten und Einsetzten



Kleinstwinkelnäherung



Ansatz:

Einsetzten







Faktorregel

  







Einsetzten



Umformen

1. Ansatz: Kräfte gleichsetzten oder den Energieansatz wählen

2. mögliche Ableitungen finden: Schwingung (-> sin/cos) / exponentielles Wachsen/Abfallen (logistisches Wachstum) e-Funktion
2.1 Gleichung nach evtl. ableiten

3. Funktion ableiten

4. Funktion einsetzen

5. Funktion ausklammern

6. Faktorregel

7. Gleichung lösen

bezeichnet die Kraft, die dafür sorgt, das ein ausgelenkter Körper wieder in seine ursprüngliche Lage (Gleichgewichtslage) zurückgelenkt.

´







F ist proportional zur Auslenkung.

• mechanische Systeme
• Wechsel von potentieller / kinetischer Energie

Beispiel: Federpendel ist maximal bei der Auslenkung




Die Gesamtenergie muss der anfänglichen Spannenergie entsprechen:

• Jedes ohne Energiezufuhr schwingendes System verliert mit der Zeit an Energie
• Dämpfung so stark -> ausreichend für eine halbe Schwingung -> aperiodische Dämpfung

Die Differentialgleichung für die ungedämpfte Schwingung lautet:


Bei der gedämpften Schwingung kommt noch die Reibungskraft hinzu

Differentialgleichung für die gedämpfte Schwingungen:

immer um ein verschoben