Hol' Dir diese Lernkarten, lerne & bestehe Prüfungen. Kostenlos! Auch auf iPhone/Android!

1) Winkeldreiteilung:
Zu einem beliebigen gegebenen Winkel soll ein der Größe konstruiert werden.

2) Delisches Problem:
Zu einem gegebenen Würfel der Kantenlänge a ist ein Würfel doppelten Volumens gesucht. Frage: Ist die neue Kantenlänge mit Zirkel und Lineal konstruierbar?

3) Quadratur des Kreises
Zu einem gegebenen Kreis soll ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt konstruiert werden. Frage: Ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar?

4) Konstruktion eines regelmässigen n-Ecks
Für welche n ist die Konstruktion eines regelmässigen n-Ecks möglich?

Eine algebraische Körpererweiterung heißt normal, wenn für jedes
irreduzible gilt:

Hat f eine Nullstelle in E, so zerfällt f über E vollständig in Linearfaktoren. (D.h. E enthällt einen Zerfällungskörper von f über K)

Seien K ein Körper und ein Polynom vom Grade . Ein Erweiterunsgkörper E von K heißt Zerfällungskörper von f über K, wenn alle Nullstellen von f in L liegen, d.h. wenn es gibt mit und .

Sei N eine Untergruppe von G. G ist ein Normalteiler, wenn gilt:
Für jedes ist .

Das Zentrum einer Gruppe ist definiert als:

Sei eine endliche Gruppe.

1. Ist H eine Untergruppe von , so ist ihre Kardinalität ein Teiler von .
2. Insbesondere teilt die Ordnung eines Elementes von die Kardinalität von .

Sind paarweise teilerfremd und ihr Produkt, dann ist der Faktorring isomorph zum Produktring durch den Isomorphismus:

Sei ein Ring. Eine nichtleere Menge heißt Ideal, wenn gilt:

i) Mit gilt auch .
ii) Für , gilt: .

Bemerkung: ist eine Untergruppe von bezgl.

Ein Hauptideal ist ein Ideal, das von einem einzelnen Element erzeugt wird.

Ein Hauptidealring ist ein Integritätsring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist.

Ein Integritätsring ist ein nullteilerfreier, kommutativer Ring.

Sei ein Integritätsring und sei:

ein primitives Polynom aus . Gibt es dann ein Primelement mit
teilt nicht, teilt nicht , teilt ,
so ist irreduzibel in . Im Falle eines faktoriellen Ringes ist f dann auch irreduzibel in wobei den Quotientenkörper von bezeichne.

Ein Polynom heißt primitiv, wenn der größte gemeinsame Teiler aller Koeffizienten, also der sogenannte Inhalt 1 ist.

Den ggt aller Koeffizienten eines Polynoms nennt man auch Inhalt.

Beispiel: Das Polynom
hat den Inhalt 2.