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Bi-Direktionale Reflexions-Verteilungsfunktion (Bi-directional Reflectance Distribution Function)

Analog für hinteren Halbraum: BTDF (Bi-directional Transmission Distribution Function) (Lichtbrechung!)



... gibt das Verhältnis der ausgehenden Leuchtdichte in eine bestimmte Richtung zur eingehenden Beleuchtungsstärke aus einer bestimmten Richtung an.

Einheit:

Liegt im Bereich

Isotrope Materialien:

• BRDF ist rotationssymetrisch und hängt nur von ab
• BRDF kann in einer beliebigen Ebene angegeben werden
• BRDF ist definiert durch einen Einfallswinkel und zwei Ausfallswinkel

Anisotrope Materialien:

• BRDF ist allgemein abhängig von zwei Einfallswinkeln und zwei Ausfallswinkeln
• Koordinatensystem muss durch weitere Achse festgelegt werden

TODO: Verständliche Ergänzungen

Nein, für kleine Glanzzahlen n, da hier der Energieerhaltungssatz verletzt wird.

Der Reflexionsgrad ist definiert als der gesamte ausfallende Lichtstrom im Verhältnis zum gesamten eingestrahlten Lichtstrom.



Liegt im Bereich (vgl. Energieerhaltungssatz)

Nicht für zwei Richtungen definiert (wie BRDF), sondern über gesamte Hemisphäre und kann so gesehen als Integration über die BRDF gesehen werden.

Diffuse Reflexion bedeutet, dass das Licht in alle Richtungen gleich gestreut wird, unabhängig von der Einfallsrichtung, d.h. die BRDF ist konstant.







Die reflektierte Leuchtdichte ist proportional zur einfallenden Beleuchtungsstärke.

Reflektierte Leuchtdichte ist konstant und die gleiche in allen Richtungen  - unabhängig von der Einfallsrichtung.

Für die diffuse Lambert-Reflexion gilt für den Reflexionsgrad:







Daraus folgt: bzw.

Ein Formfaktor bezeichnet den Anteil der versendeten Strahlung, die beim Empfänger an kommt.



Der Lichtstrom, der von einem Sender s bei einem Empfänger e ankommt, berechnet sich aus dem Lichtstrom des Senders mal dem Formfaktor , mit



Bei dem Formfaktor handelt es sich eigentlich um ein 4-fach Integral (je zwei Parameter pro Fläche).

• Liegt im Wertebereich

• Hängt rein von der Geometrie der beiden Flächen ab

• Reziprozität:

• "Planare Flächen beleuchten sich nicht selbst."

• Geschlossene Umgebungen:

• Offene Umgebungen:

Annahme: Senderfläche sehr klein.

Integration über Empfängerfläche liefert praktisch konstanten Wert für jedes und kann damit vor das Integral gezogen werden.

"Formfaktor zwischen einer infinitesimalen Senderfläche und einer finiten Empfängerfläche."

Prisma-Lösung:



wobei die normierte Normale der Senderfläche ist und ein Vektor, dessen Betrag durch den Winkel einer Pyramidenseite gegeben ist und dessen Richtung senkrecht auf der Pyramidenseite steht.

Annahme: Sender- und Empfängerfläche sehr klein.

Flächenunabhängige Teil des Integrals bleibt konstant über die Integration von und kann somit vor das Integral gezogen werden.

"Formfaktor zwischen einer infinitesimalen Senderfläche und einer infinitesimalen Empfängerfläche."

Straight forward:

Der Formfaktor kann nur bei der zweiten Formfaktorvereinfachung größer als 1 werden. In diesem Fall muss man clippen.

Der Formfaktor kann negativ werden, falls der Support Plane Split (SPS) nicht berücksichtigt wurde.

Es darf nur über die sichtbare Fläche integriert werden, ggf. vorher clippen.

Visibilität, d.h. der Test, ob sich zwischen Senderfläche und Empfängerfläche ein Hinderniss befindet, welches die Sichtbarkeit zwischen Sender und Empfänger eingeschränkt.

Visibilität kann durch Ray Tracing bestimmt werden.

• NxN Raster über die flächige Lichtquelle
• Schicke Strahl (Schattenfühler) von zu jedem Mittelpunkt  der Rasterfläche (jittering)
• Jeder Strahl liefert dann "sichtbar" (1) oder "unsichtbar" (0)

Zwei Möglichkeiten:

1. Möglichkeit:
Für jedes Pixel einen Prisma-FF berechnen, falls sichtbar und aufaddieren.

2. Möglichkeit:
Visibilitätsfaktor V berechnen. V ist die Anzahl der Treffer (1) im Verhältnis zu allen versendeten Strahlen (V liegt dann im Bereich ).
Danach Prisma-FF für gesamte Situation berechnen und mit V multiplizieren.

1. Empfänger an Senderebene clippen.
2. Testen, ob Flächen einander zugewandt sind.
3. Prisma-FF berechnen.

Eine analytische Lösung der Rendering Equation ist nicht denkbar, da es sich eigentlich um ein Doppelintegral handelt und die BRDF mindestens 6-dimensional ist. Daher versuchen alle Verfahren, die Rendering Equation zu vereinfachen und/oder zu approximieren. Die Ansätze können dabei in Radiosity-Verfahren und Ray-Tracing-Verfahren unterteilt werden.

1. Die Umgebung wird als vollständig diffus angenommen.
2. Szene wird so in Patches aufgeteilt, dass die Radiosity pro Patch als konstant angenommen werden kann.

Aus den beiden Annahmen ergibt sich die folgende Radiosity-Gleichung:

Die BRDF für den diffusen Fall ist konstant und kann vor das Integral gezogen werden. Weiterhin ist die reflektierte Leuchtdichte konstant und die gleiche in alle Richtungen:



Zusätzlich gilt für den diffusen Fall: und damit bzw. . Die Multiplikation der vorherigen Gleichung mit liefert somit:



Unter der Annahme, dass die Szene so in Patches unterteilt wird, dass die Radiosity pro Patch als konstant angenommen werden kann, lässt sich das Integral durch eine Summe ersetzen:



(Der letzte Schritt ist nur eine grobe Herleitung. Hier fehlen noch einige Zwischenschritte.)

Es gilt:


Weiterhin gilt:


Einsetzen der ersten in die zweite Gleichung liefert:

Für jedes Patch werden zwei Radiositywerte abgespeichert:

• Absolute Radiosity
• Unversendete (Unshot) Radiosity

Initialisierung beider Werte durch Eigenemission:

• 

Suche zu Beginn einer Relaxation das Patch mit der größten noch nicht versendeten Radiosity (Senderpatch).

Berechne N Formfaktoren.

Radiosityaustausch vom Sender zu allen Empfängern:

• 
• 

Unversendete Radiosity des Senders auf 0 setzen.

Eine bessere Möglichkeit als die Unversendete Radiosity wäre der Unversendete Lichtstrom, da hier die Fläche mitbetrachtet wird. Es wäre beispielsweise denkbar, dass eine Fläche zwar einen hohen Wert an unversendeter Radiosity hat, die Fläche aber so klein ist, dass sie nur einen kleinen Beitrag leistet.

Das Problem liegt darin, dass der Radiositywert ein rgb-Vektor ist, mit dem man keine genaue Aussage über die Helligkeit eines Patches machen kann. Es wäre möglich die rgb-Werte aufzusummieren und nach das Patch mit der größten Summe als Senderpatch auszuwählen.
Besser ist jedoch die Farbmatrix für das aktuelle Display zu bestimmen und mit deren Hilfe den rgb-Wert in einen XYZ-Wert umzurechnen. Der Radiositywert steckt dann in der Y-Komponente. Für jedes Patch muss dann die folgende Gleichung ausgewertet werden zur Suche nach dem maximalen unshot Lichtstrom:



bezeichnet hierbei das photometrische Strahlungsäquivalent. Dieser Wert ist konstant und kann daher zur Suche nach dem hellsten Patch weggelassen werden.

Ambienter Term:
Nur für die Darstellung!
Verfahren:
Abschätzung eines mittleren Formfaktors:


Abschätzung eines mittleren Reflexiongrades:










Tone-Mapping:
Abbildung der rgb-Werte von auf den darstellbaren Bereich von

Extrapolation der Eckpunkte.

Gegeben sind zwei Flächen, der Formfaktor zwischen den beiden Flächen, die Sichtbarkeit und die Radiosity, die ausgetauscht werden soll.
Es muss nun eine Funktion geben, die auf Basis dieser Informationen entscheidet, ob eine Unterteilung notwendig ist oder nicht. Eine solche Funktion wird als Orakel bezeichnet. Wichtige Orakel sind:

• Sichtbarkeitsorakel
• BFA-Kriterium
• Lischinksi-Kriterium
• Gradientenbasiertes Unterteilung

Verwendete Datenstruktur: Quadtree!

Signatur der Orkal-Funktion: bool oracle(s, e, vis, ff)

1. Testen, ob überhaupt genügend Lichtstrom unterwegs ist, sodass sich eine weitere Überprüfung überhaupt lohnt:


2. Überprüfung der Sichtbarkeit:

• Falls totale Verdeckung: Keine Unterteilung.
• Falls partielle Verdeckung: Immer unterteilen.
• Falls SPS: Immer unterteilen.
• Falls unverdeckt: Prüfen, ob der versendete Lichtstrom groß genug ist, sodass eine Unterteilung sinnvoll ist:

Bewertung: Es hängt sehr stark von der initialen Patchaufteilung ab, ob lokale Maxima verpasst werden.

Idee: Unterteilung, wenn der aktuelle Wert der konstanten Funktion  zu stark abweicht von der tatsächlichen Radiosity-Funktion.

Bestimmung bzw. Abschätzung der lokalen Minima und Maxima der Radiosity-Funktion innerhalb eines Patches.

Beobachtung: Radiosity-Funktion ist monoton und stetig im vollständig sichtbaren Bereich

• Maximum ist entweder innerhalb der Patchgrenzen oder auf den Kanten
• Minimum liegt auf den Patch Kanten

Berechnung von .

Unterteilung, wenn


Total Verdeckung:

• 

Partielle Verdeckung:

• 
• für unverdeckten Fall berechnen.

Keine Verdeckung:

• liegt auf den Kanten des Patches
• liegt auf den Kanten oder innerhalb des Patches

Berechnung des Minimums und Maximums: Berechnung von 5 Formfaktoren (4 Eckpunkte und Mittelpunkt) und daraus das Minimum und Maximum bestimmen.

Allgemeiner Ablauf:

Initial Linking
Repeat
       Refine
       Gather
       PushPull
Until Converged

(1) Initial Linking:

• Verlinkt alle Root-Knoten miteinander in beide Richtung (Gahter-Links)
• 
• Liste mit Links

(2) Refine

• Alle Links werden untersucht (Schleife über alle Links)
• Wird ein Link refined, wird der Vaterlink gelöscht und
4 neue Links bei den Kindern von e eingetragen (falls Empfänger refined wird)oderDer Empfänger mit den 4 Kindern des Senders verlinkt (falls Sender refined wird)
• Wann wird unterteilt? BFA, Lischinski
• Welche Fläche wird unterteilt (Sender oder Empfänger)? z.B. größere Fläche, größerer FF

(3) Gather

• Schleife über alle Links
• Radiosity wird für jeden Link beim Empfänger eingesammelt:

(4) PushPull

• Hierarchie konsistent machen
• Radiosity-Werte in Blättern müssen konsistent sein für die Darstellung
• Radiosity-Werte in Knoten müssen konsistent sein für den Radiosity-Austausch
• Push: Radiosity Wert auf Kinder aufaddieren.

• Pull: Flächengewichteten Mittelwert der Kinderradiosities bilden.

Der Nachteil beim Progressive Refinement ist, dass von einem Sender aus alle kleinen Patches der Welt betrachtet werden müssen.

Beispiel: Der Sender ist das Patch einer kleinen Steckdose. Dieses Patch soll Radiosity mit einer großen Wand austauschen. Beim Progressive Refinement muss nun alle an kleinen Patches der Wand, die aufgrund des vorherigen Radiosity-Austauschs enstanden sind, Radiosity verschießen, obwohl die Steckdose nur einen sehr kleinen Beitrag leistet. Der Vorteil beim hierarchischen Radiosity liegt darin, dass die Steckdose nun auf einen viel höheren Level Radiosity mit der Wand austauschen kann, z.B. mit der kompletten Wand oder großen Teilen davon. 

Tone-Mapping wird benötigt, wenn die rgb-Werte außerhalb des durch das Display darstellbaren Bereichs liegen.
Auf der x-Achse wird die Leuchtdichte der realen Welt aufgetragen und auf der y-Achse die Leuchtdichte des Displays.

Lineares Mapping:

• Maximaler Radiosity-Wert (außer Lichtquellen) wird auf 1 abgebildet

Logarithmisches Mapping (URQV):

Mit Hilfe eines Zufallsexperiments werden zufällige Ergebnisse erzielt. Alle möglichen Ergebnisse ergeben die Ergebnismenge .

Eine Zufallsvariable ist eine Abbildung , die ein Ergebnis auf eine reelle Zahl abbildet. Umgekehrt kann man sagen, dass die Zufallsvariablen "wahrscheinlichkeitsbehaftet" sind, also Zahlen mit gewissen Wahrscheinlichkeiten erzeugt werden.

Die Wahrscheinlichkeit , dass eine diskrete verteilte Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt, erhält man z.B. durch Abzählen. Wahrscheinlichkeiten liegen im Wertebereich

Interessiert man sich für die Wahrscheinlichkeit, dass in einem bestimmten Bereich liegt, benötigt man die Verteilungsfunktion:

Diese erhält man durch Aufsummieren der Wahrscheinlichkeiten. Die Verteilungsfunktion ist definiert im Bereich und nimmt Werte im Bereich an.

Bei einer stetig verteilten Zufallsvariablen ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ergebnis annimmt Null. Die Wahrscheinlichkeiten können nur für Intervalle angegeben werden, d.h. man benötigt die Verteilungsfunktion.
Beispiel: Drehen eines Glücksrads.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Rad von der Ausgangsposition einen Winkel von 42,2345° hat? 0
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Rad einen Winkel von 0 - 180° hat? 0,5

Bei stetig verteilten Zufallsvariablen gibt es keine Wahrscheinlichkeiten, sondern eine sogenannte Dichtefunktion. Die Verteilungsfunktion ergibt sich durch Integration.
Eine Zufallsvariable   heißt stetig verteilt mit der Dichte , falls sich ihre Verteilungsfunktion schreiben lässt als:

Nein, denn eine Eigenschaft einer physikalisch plausiblen BRDF ist der Energieerhaltungssatz, der besagt:


Der Reflexionsgrad ist die Integration über die BRDF.

Wie zuvor gesehen, ist jedoch eine Eigenschafte einer Dichte, dass die Fläche unter der Kurve Eins sein muss.

Zufallszahlen mit einer bestimmten Dichte lassen sich mit Hilfe der inversen CDF-Methoden erzeugen (CDF = cumulative distribution function).

Vorgehen:

• Bestimme die Verteilungsfunktion F
• Invertiere diese
• Ergebnis: Zufallsvariable mit der gewünschten Dichte aus einer (0,1)-Verteilung

Die Idee ist es, den Wert eines Integrals als Erwartungswert einer stetig verteilten Zufallsvariablen darzustellen und diesen durch Stichproben abzuschätzen.



wobei Zufallszahlen sind, die mit der Dichte erzeugt werden.

Durch Umformung der vorherigen Gleichung mit
erhält man die Formel der Monte-Carlo-Integration:



Mit dem Gesetz der großen Zahlen kann gezeigt werden, dass die Summe für genügend große zum Erwartungswert konvergiert.

Importance Sampling bedeutet im Zusammehang mit der Monte-Carlo-Integration eine Dichte zu wählen, die möglichst ähnlich ist:


Dadurch konvergiert die Messreihe schneller gegen den Erwartungswert, d.h. es werden weniger Stichproben benötigt.

Wählt man als gleichverteilte Dichte


so erhält man durch Einsetzen in die Monte-Carlo Gleichung:


Der Teil nach dem Summenzeichen entspricht der 2. Formfaktorvereinfachung. Mit Hilfe dieser Formel könnte man beispielsweise die Beleuchtung mit einer flächigen Lichtquelle an einem bestimmten Punkt berechnen. Hierzu wählt man N zufällige Punkte auf der Lichtquelle aus, berechnet jeweils den Formfaktor (2. Vereinfachung), summiert diesen auf und teilt durch die Anzahl N der Samples.

Wichtig: Bei der 2. Formfaktorvereinfachung kann der Formfaktor > 1 werden. Daher muss das Ergebnis am Ende geclippt werden. Man darf nicht vorher clippen, da sonst ein Fehler eingebaut wird und das Ergebnis verfälscht wird.

Antwort

Importance Sampling, d.h. man wählt eine Dichte ähnlich der BRDF, da diese der einzige Teil des Integrals der Rendering Equation ist, der bekannt ist.
Falls BRDF = Phong:

Stratified Sampling wird bei der Bestimmung des direkten Lichts verwendet, da dieses für jeden Schnittpunkt extra abgetastet wird, d.h. man zerlegt die Halbkugel in Bereiche des direkten und des indirekten Lichts.
Wichtig: Der zufällig erzeugte Strahl, der das indirekte Licht einsammeln soll, darf nicht in Richtung des direkten Lichts versendet werden, da dieses sonst doppelt abgetastet wird.

Russisches Roulette wird verwendet, um zu entscheiden, welcher Path weiterverfolgt wird.

Beispiel:
Ein Material besteht aus einer diffusen Komponente , einer spiegelnden Komponente und einer transmittierenden Komponenten , wobei gilt .
Um zu entscheiden, ob der diffuse, spiegelnde oder transmittierende Strahl weiterverfolgt wird, wird eine Zufallszahl erzeugt:
diffus
reflexion
transmission

2-Pass-Algorithmus:

1. Pass:
Aufbau der Photon Map in drei Schritten:

• Photon Emission
• Photon Tracing
• Photon Storing

2. Pass:
Rendern der Szene mit Hilfe der Photon Map.

Dann müsste jedes Photon einen unterschiedlichen Lichtstrom transportieren (ineffizient).

Ein kd-Tree ist ein binärer Suchbaum in Dimensionen.

Man verwendet beim Photon Mapping einen binären Suchbaum, weil dieser speichereffizient ist und die Nearest Neighbor Suche, die für den Radiance Estimate benötigt wird sehr effizient ist.

Erzeugung:

• Suche die Raumachse mit der größten Ausdehnung
• Entlang dieser Achse werden alle Photonen sortiert
• Das mittlere Photon wird ein neuer Knoten im Baum
• Alle kleineren Photonen kommen in den linken Teilbaum, alle größeren in den rechten
• Rekursive Anwendung auf beide Teilbäme

• Zu einem beliebigen Punkt x suchen wir die maximal n nächsten Photonen (und damit den Radius r)
• Der Lichtstrom aller gefundenen Photonen wird aufsummiert und durch die Fläche in der sie liegen geteilt

Es gibt viele Möglichkeiten ein Bild zu rendern:

1. Direkte Auswertung der Photon Map

• Liefert verrauschte Bilder

2. Path Tracing mit Photon Mapping

• Viele Strahlen durch ein Pixel
• Für jeden Schnittpunkt
    - Direktes Licht berechnen (1 Sample)    - Caustic Map auswerten    - Per russischem Roulette diffus oder spiegelnd weiterverfolg.
• Beim indirekten Licht Photon Maps auswerten bzw. Spiegel weiterverfolgen

3. Final Gathering mit Photon Mapping

• Wenige Strahlen durch ein Pixel
• Für jeden Schnittpunkt:
   - Direktes Licht berechnen (viele Samples)   - Caustic Map auswerten   - Halbraum durch viele Strahlen abtasten, wobei die     Photon Maps ausgewertet werden   - Spiegelung rekursiv weiterverfolgen   - Alle Anteile gemäß BRDF gewichten