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Gegeben sei eine Menge M und eine zweistellige Abbildung

: M x M M. Wir benutzen meist die Infix-Schreibweise:
(m, m) = m m und bezeichnen als zweistelligen Operator.

(M, ) heißt Monoid, falls folgendes gilt:

- ist assoziativ, d.h., es gilt m (m m) = (m m) m
für alle m, m, m M.
- Es gibt ein neutrales Element e M, für das gilt:
e m = m e = m für alle m M.

Wir denieren = 0, 1, ..., n - 1 mit folgender Addition +
und Multiplikation . Seien k, Z, dann gilt:

k + = (k + ) mod n
k = (k ) mod n

(,+) und (, ) sind Monoide
(mit neutralen Elementen 0 bzw. 1)

Modulo-Gesetze
(a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n
(a b) mod n = ((a mod n) (b mod n)) mod n
mod n = mod n

Ein Monoid mit neutralem Element e heißt Gruppe, wenn zusätzlich zu den Monoid-Eigenschaften noch folgendes gilt:

Für jedes gibt es ein mit .
Dabei heißt das Inverse von .
heißt kommutative Gruppe (oder abelsche Gruppe), falls außerdem für alle gilt.

Bemerkung: In jeder Gruppe gilt nicht nur , sondern auch für alle .

Nein.

Erläuterung s. Vorlesung.