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Parametrische Verfahren (z.B. F-Test, t-Test, ANOVA) wichtigste statistische Methoden der empirischen Forschung - aber haben Voraussetzungen

• Parametrische Verfahren eignen sich aber nicht für alle Daten
- Skalenniveau der abhängige Variable (AV) muss metrisch sein
• Stellen Anforderungen an die Verteilung und einzelne Parameter der Daten („parametrische Verfahren“); typischerweise:
- Normalverteilung- Varianzhomogenität
• Voraussetzungsverletzungen können Typ-I- und Typ-II-Fehlerhäufigkeiten beeinflussen

Nicht-parametrische Verfahren sind hingegen i. d. R. voraussetzungsärmer

• Benötigen nicht unbedingt metrische Daten
• Kommen häufig ohne Annahmen zur Verteilung aus
• Mathematische Grundlage nicht-parametrischer Verfahren aber heterogen und uneinheitlich (kein „allgemeines lineares Modell“ für nicht-parametrischen Verfahren)
• Häufig wird Ranginformation der Daten verwendet

Effizienz

• Bei Zutreffen ihrer Voraussetzungen haben parametrische Verfahren i. A. eine größere Effizienz - höhere Testmacht (p-Werte kleiner)
• Treffen Voraussetzungen nicht zu nicht-parametrische Methoden i. d. R. effizienter

Messniveau

• Metrisches Messniveau für parametrische Tests
• für alle anderen Skalenniveaus muss nicht-parametrisch getestet werden

Mathematisch-statistische Voraussetzungen

• Parametrische Verfahren stellen immer Voraussetzungen an die Verteilung der Daten
• Nicht-parametrische Verfahren benötigen ebenso öfter stetige Variablen und häufig auch die Homogenität der Populationsverteilungen

- Prüfung der Voraussetzungen für parametrische Tests jedoch häufig problematisch
- Erfolgt i. d. R. anhand der Stichprobe
- Voraussetzungen beziehen sich aber eigentlich auf Populationscharakteristika

Prüfung der Voraussetzungen für parametrische Tests jedoch häufig problematisch:  Erfolgt i. d. R. anhand der Stichprobe,  Voraussetzungen beziehen sich aber eigentlich auf Populationscharakteristika

Probleme von Voraussetzungstests

•   beruhen meist ebenso auf parametrischen Voraussetzungen
z.B. F-Test zur Überprüfung der Homogenität von Varianzen beruht auf der Annahme der Normalverteilung der Daten
• ' Stichprobengröße (vgl. Kapitel zu Effektgrößen)
- kleines N - geringe Testmacht - Verletzungen werden u. U. nicht erkannt- großes N - hohe Testmacht - bereits unbedeutende Abweichungen werden auffällig

Werden kleine Stichproben untersucht, können Voraussetzungen parametrischer Verfahren häufig nur ungenügend untersucht werden
Autoren wie Bortz und Lienert (2008, S. 59) plädieren deshalb dafür, bei kleineren Stichproben (N < 30) grundsätzlich nicht-parametrisch zu testen

Zentrales Grenzwerttheorem
Besagt, dass z.B. Mittelwerte sich ab etwa N = 30 normalverteilen, unabhängig von eigentlicher Verteilung der Messwerte - trägt zur Robustheit parametrischer Verfahren bei

Generell lässt sich folgern, dass, wenn nur kleine Stichproben (N < 30) untersucht werden können (vgl. Bortz & Lienert, 2008, S. 52)

• Nicht-parametrisch getestet werden sollte
• Möglichst große Effekte untersucht werden sollten
• Signifikante Ergebnisse i. d. R. auch auf große Effekte schließen lassen - Replikation wichtig !

Zentrales Grenzwerttheorem
Besagt, dass z.B. Mittelwerte sich ab etwa N = 30 normalverteilen, unabhängig von eigentlicher Verteilung der Messwerte - trägt zur Robustheit parametrischer Verfahren bei.

Bei größeren Stichproben (N > 30) sind insbesondere Verteilungsannahmen für parametrische Tests häufig vernachlässigbar.

Generell lässt sich folgern, dass, wenn nur kleine Stichproben (N < 30) untersucht werden können (vgl. Bortz & Lienert, 2008, S. 52)

• Nicht-parametrisch getestet werden sollte
• Möglichst große Effekte untersucht werden sollten
• Signifikante Ergebnisse i. d. R. auch auf große Effekte schließen lassen - Replikation wichtig !

Größerer Nachteil nicht-parametrischer Verfahren:
Nicht jeder parametrische Test hat eine nicht-parametrische Entsprechung
Multivariate (mehr als eine AV) und multifaktorielle Designs (mehr als eine UV) häufig nicht nicht-parametrisch testbar.

In der Praxis:

• Transformation der Daten, damit Verteilungsannahmen eher zutreffen (Log-/Wurzel-/Power-Transformationen, Box-Cox-Transformationen)
• Verwendung parametrischer Methoden, die nicht Normalverteilung oder Varianzhomogenität benötigen (z.B. linear mixed models, generalized mixed models)

Weiterer Nachteil nicht-parametrischer Verfahren:

• Effektstärken undefiniert
• p-Werte müssen (bei händischer Berechnung) bei kleinem N aus Tabellen abgelesen werden, da sie auf Permutationen und nicht auf definierten Prüfverteilungen (z.B. t-Verteilung) beruhen

Jedoch weisen die meisten nicht-parametrischen Tests asymptotische Eigenschaften auf

• wenn N genügend groß, folgen Teststatistiken definierten Verteilungen z.B. Standardnormalverteilung, χ2-Verteilung
• Dadurch können Power- und Effektstärkenberechnungen approximativ durchgeführt werden (vgl. Bortz & Lienert, 2008, S. 48f.)

Nicht-parametrische Verfahren / 2 unabhängige Stichproben

Mediantest prüft 2 unabhängige Stichproben auf Unterschiede in ihrer zentralen Tendenz (ist – neben U-Test – eine nicht-parametrische Entsprechung zum t-Test für unabhängige Stichproben)

H0: Die beiden Stichproben stammen aus Populationen mit gleichem Median

Verwendet Ranginformation der Daten geeignet für (originär)
ordinalskalierte und metrische abhängige Variablen

Mediantest ist i. A. der schwächste nicht-parametrische Test zur Untersuchung von Lageunterschieden.
Allerdings: sehr robust gegenüber Ausreißern, macht keinerlei Annahmen zur Form oder Homogenität der Verteilung in den Stichproben

Mediantest prüft 2 unabhängige Stichproben auf Unterschiede in ihrer zentralen Tendenz

Prinzip:

• Für beide Stichproben wird ein gemeinsamer Median bestimmt
• Auszählen, wie viele Messwerte in den jeweiligen Stichproben über und unter diesem Wert liegen
• Durchführen eines Vier-Felder-Tests (exakt oder asymptotisch)

Gruppe A und B unterscheiden sich signifikant hinsichtlich ihrer zentralen Tendenz

• Fällt bei ungeradzahligem N = N1 + N2 ein Messwert genau auf den gemeinsamen Median, kann dieser Messwert exkludiert werden
• Ansonsten kann auch ein Paramediantest durchgeführt werden - Dichotomisierung nahe am Median, um zu verhindern, dass Messwerte mit dem Trennwert identisch sind (vgl. Bortz & Lienert, 2008, S. 137)
• In SPSS wird eine Aufteilung in die Gruppen > Median und Median vorgenommen

• Mediantest kann auch einseitig durchgeführt werden (beim Vergleich zweier Stichproben, df = 1) - Halbierung des p-Wertes
• Kann auch sehr einfach für den Vergleich von k > 2 Gruppen erweitert werden
- keine Vier-Felder-Tafel, sondern k × 2 -Kontingenztafel
• Mediantest findet sich deshalb in SPSS unter Verfahren zum Vergleich von mehr als 2 Stichproben

Mediantest prüft 2 unabhängige Stichproben auf Unterschiede in ihrer zentralen Tendenz

Nicht-parametrische Verfahren / 2 unabhängige Stichproben

U-Test (Mann & Whitney, 1947; auch Wilcoxon-Rangsummentest [Wilcoxon, 1945] genannt) ist das nicht-parametrische Pendant zum t-Test für unabhängige Stichproben

• Prüft zwei unabhängige Verteilungen auf Unterschiede hinsichtlich ihrer zentralen Tendenz
• H0: Die beiden Stichproben stammen aus formgleich (homomer) verteilten Populationen mit gleichem Median
• U-Test macht Annahme, dass die Form beider Verteilungen gleich ist (Unterschied zum Mediantest! Verteilungen müssen aber nicht symmetrisch oder gar normal sein)
• Verwendet Ranginformation der Daten geeignet für (originär) ordinalskalierte und metrische abhängige Variablen

Prinzip des U-Tests:

• Die Messwerte beider Stichproben werden in eine gemeinsame Rangreihe gebracht (kleine Messwerte = niedrige Ränge)
• Rangsumme (U-Test) bzw. mittleren Rangplatz (Wilcoxon- Rangsummentest) pro Gruppe bestimmen
• Bestimmung der statistischen Größe U anhand der Rangsummen
bzw. von W anhand der mittleren Ränge- inferenzstatistische Absicherung

Rational: Wenn sich die Stichproben nicht in ihrer zentralen Tendenz (Median) unterscheiden, unterscheiden sie sich auch nicht in ihren mittleren Rängen

• Exakter Test für N1 ≤ N2 ≤ 20 Tabellen in Lehrbüchern bei händischer Berechnung
• Asymptotischer Test für größere Stichproben

Unser Beispiel: U = 10, exakter Test, zweiseitig: p = .081 /einseitig: p = .041

U-Test hat höhere Testmacht – wenn seine Voraussetzungen zutreffen – als Mediantest (nutzt mehr Information aus den Daten).

U-Test verliert an Macht und Gültigkeit, wenn (vgl. Bortz & Lienert, 2008)

• Ausreißer vorliegen
• Stichproben ungleich groß sind
• Daten in kleinerer Stichprobe mehr streuen als in größerer
• Boden- oder Deckeneffekte vorliegen

... in diesen Fällen eher Mediantest verwenden

Das Vorliegen von Bindungen beeinträchtigt ebenso die Prüfgröße U - Bindungen sollten für Signifikanztestung berücksichtigt werden

Das Vorliegen von Bindungen beeinträchtigt die Prüfgröße U  - Bindungen sollten für Signifikanztestung berücksichtigt werden

Bindungen treten auf, wenn gleichgroße Messwerte vorliegen - Messwerte „teilen“ sich dann Rangplätze

Alle drei Messwerte haben gleichen Rang (da gleichgroß)
Die Plätze 7, 8 und 9 werden für sie vergeben

Bindungskorrektur verkleinert Varianzschätzung () der Prüfgröße U - Korrektur führt eher zur Verwerfung der H0 (vgl. Bortz & Lienert, 2008, S. 146)

Für U-Test existiert keine eigenständige Definition einer Effektgröße

Allerdings:

• Berechnung und Angabe des sog. relativen Effekts mithilfe der mittleren Rangsummen (Mann & Whitney, 1947)

• Maßzahl der stochastischen Tendenz
interpretierbar als Wahrscheinlichkeit, dass eine Person aus Gruppe 2 einen höherer Wert als eine Person aus Gruppe 1 hat
• Weitere Möglichkeit über asymptotische Eigenschaften von U:
Verteilung von U kann mithilfe von z-Verteilung (Standardnormalverteilung) approximiert werden - approximative Bestimmung der Effektgröße r

Nicht-parametrische Verfahren: U-Test

Tabelle Ränge:
Angabe der mittleren Ränge und Rangsummen
Blick auf mittlere Ränge erlaubt Überprüfung, in welcher Gruppe niedrigere/höhere Werte vorlagen

Statistik für Test
Äquivalente Teststatistiken U und W, z- und p-Werte


Relativer Effekt interpretierbar als:
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person aus Gruppe B einen höheren Wert als eine Person aus Gruppe A hat, beträgt (gerundet) nur 21%.

Approximatives Effektmaß deutet auf einen großen Effekt (| r | > .40) hin

Mediantest lässt sich auch für k > 2 Stichproben einsetzen
H0: Die k Stichproben stammen aus Populationen mit gleichem Median

• Alternativhypothese hier nur ungerichtet möglich (Omnibustest, vgl. einfaktorielle ANOVA)
• Grundlage ist keine Vier-Felder-Tafel, sondern eine k × 2-Tafel

Nicht-parametrische Verfahren / k > 2 unabhängige Stichproben: Mediantest

Testergebnis:
Gemeinsamer Median = 10

• signifikanter Unterschied im Test über alle drei Gruppen; stärkere Wirkung von Präparaten A und B gegenüber C (aus Kontingenztafel gefolgert)
• ANOVA: p = .122 nicht signifikant
• Exakter Test notwendig, da in allen 6 Zellen die erwarteten Häufigkeiten < 5 sind!

Kruskal-Wallis-Test (H-Test; Kruskal & Wallis, 1952) ist Verallgemeinerung der Prinzipien des U-Test für k > 2 Stichproben
„klassisches“ Pendant der einfaktoriellen ANOVA

H0: Die k Stichproben stammen aus formgleich (homomer) verteilten Populationen mit gleichem Median

H-Test beruht ebenso auf Berechnung von Rangsummen und mittleren Rängen wie U-Test und Wilcoxon-Rangsummentest

Teststatistik H (bei größeren Stichproben) χ2-verteilt, mit df = k − 1

• Ebenso wie für U-Test gibt es eine Bindungskorrektur - vergrößert Wert der Teststatistik, führt eher zur Verwerfung der H0
• Alternativhypothese des H-Tests nur ungerichtet (Omnibustest)
• Bei kleinen Stichproben exakter Test, ansonsten asymptotischer Test
- Asymptotischer Test hinreichend genau, wenn kleinste Stichprobe > 5
• Mediantest kann (ebenso wie im Fall k = 2) auch im Fall k > 2 mächtiger sein als H-Test; i. A. hat H-Test aber mehr Macht (mehr Information)

Analog zu U-Test lassen sich relative Effekte berechnen

Stochastische Tendenz, dass Personen der j-ten Gruppe höhere Werte als durchschnittlich alle anderen Gruppen erzielten

Welche Gruppen sich bei signifikantem Omnibustest signifikant
voneinander unterscheiden, kann im H-Test (analog zur ANOVA) mittels Kontrasten und Post-Hoc-Prozeduren untersucht werden.

Ränge:
Mittlere Ränge: niedrigste bei den Gesunden, höchste bei den Depressiven

Statistik für Test
Testergebnis signifikant  -  p < .001
Zum Vergleich:
Mediantest ebenso signifikant (p < .001), geringere Testmacht zeigt sich aber in niedrigerem χ2-Wert (χ2 = 58.65, df = 2)

Gesunde haben die niedrigste Wahrscheinlichkeit höhere Werte als alle anderen aufzuweisen, Depressive haben die höchste Wahrscheinlichkeit

Ähnlich wie in ANOVA kann auch nicht-parametrisch das Vorhandensein eines (monotonen) Trends untersucht werden - Jonckheere-Terpstra-Test

Test „funktioniert“ ähnlich wie H-Test (ist ebenso ein Omnibustest;
gleiche H0):

• H0: Die k Stichproben stammen aus formgleich (homomer) verteilten Populationen mit gleichem Median
•   Allerdings wird auch eine Rangordnung in der unabhängigen Variable angenommen
- Testrational entspricht einem additiven Verfahren einseitiger U-Tests
• H1: Die Mediane der k Stichproben folgen einer schwach monotonen Rangordnung:
(an zumindest einer Stelle muss das „“ durch ein „“ ersetzbar sein)

• Anwendung des Jonckheere-Terpstra-Test setzt voraus, dass schon a priori Annahmen zur Rangreihung der unabhängigen Variable vorliegen (wie in ANOVA)
- Prüfung dieser Annahme, keine a posteriori Bestätigung !
• Verfahren führt (asymptotisch, wenn N groß genug) zu einer z-verteilten Prüfstatistik
• Für Testung in SPSS muss die unabhängige Variable so kodiert sein, dass sie der zu testenden Rangreihung entspricht (analog in ANOVA)

Nicht-parametrische Verfahren / 2 abhängige Stichproben:

McNemar-Test (McNemar, 1947) ist einfachstes nicht-parametrisches Verfahren zur Untersuchung dichotomer Merkmale in 2 abhängigen Stichproben (Test zweier abhängiger prozentualer Anteile)
-  Häufigkeitentest, χ2-Test (basiert auf einer 4-Felder-Tafel)

Anwendung des McNemar-Test richtet sich nach dem Vorliegen abhängiger Datenstrukturen:

• Ein Merkmal wird mehrfach gemessen (Veränderungsmessung)
• Zwei Stichproben werden parallelisiert (matched samples) -Aussagen dazu, ob ein Merkmal in einer Stichprobe häufiger vorhanden ist, als in der anderen
• Vergleich der Zuwachsraten von zwei Merkmalen in einer Stichprobe: verändern sich zwei Merkmale mit unterschiedlicher Häufigkeit durch z.B. eine Behandlung?

Nicht-parametrische Verfahren / 2 abhängige Stichproben

Prinzip (Veränderungshypothese):

• Wenn sich nichts geändert hat, sollten sich in den Zellen b und c keine Unterschiede zeigen (Zellen a und d tragen keine Information !)

• Erwartungswerte dieser Zellen:
• Inferenzstatistische Untersuchung über Vergleich dieser Erwartungswerte mit den beobachteten Werten in Zellen b und c

Voraussetzungen (vgl. χ2-Tests in Kontingenztafeln)

• Untersuchungsobjekte müssen eindeutig in das 4-Felder-Schema eingeordnet werden können
• Die erwarteten Häufigkeiten der Felder b und c sind > 5 (asymptotischer Test!)

Falls Voraussetzung des asymptotischen Tests nicht gegeben ist, kann Binomialtest (= exakter Test) verwendet werden (mit Parametern p = .5 und N = b + c)

Wie für 4-Felder-Test kann auch eine Kontinuitätskorrektur verwendet werden konservativere Testung.

Kreuztabelle:
Kreuztabelle mit den absoluten Häufigkeiten

Tabelle Chi-Quadrat-Test:
Exakter Test (= Binomialtest) wird durchgeführt
p = .008 (2-seitig) p = .004 (1-seitig)
= signifikantes Ergebnis - Es zeigt sich eine eindeutige Verringerung der Auftrittshäufigkeit eines metabolischen Syndroms.

Voraussetzung für McNemar-Test: Die erwarteten Häufigkeiten der Felder b und c sind > 5 (asymptotischer Test!)
Falls Voraussetzung des asymptotischen Tests nicht gegeben ist, kann Binomialtest (= exakter Test) verwendet werden.

Problematisch kann es sein, wenn viele Nulldifferenzen vorliegen

• Ausschließen aus der Testung begünstigt tendenziell die
Verwerfung der H0
• Alternativ kann die Hälfte der Nulldifferenzen ein positives, die andere Hälfte ein negatives Vorzeichen erhalten und in die Testung inkludiert werden

(Nicht parametrische Verfahren / 2 abhängige Stichproben: Vorzeichentest )
Tabelle Häufigkeiten:

• 53 Patienten zeigten eine Verbesserung
(T2 < T1 „Negative Differenzen“)
• 3 Patienten zeigten eine Verschlechterung
(T2 > T1 „Positive Differenzen“)
• 0 Patienten blieben gleich („Bindungen“)

Tabelle Statistik für Tests:
Asymptotischer Test (N groß genug) wird durchgeführt
p < .001 (2-seitig) p < .001 (1-seitig)

(nicht parametrische Verfahren: 2 abhängige Stichproben)

Wilcoxon-Test (Wilcoxon, 1945; auch Vorzeichenrangtest genannt) das Pendant des t-Tests für abhängige Stichproben

•   Geeignet nur für metrische Daten
• H0: Die beiden abhängigen Stichproben stammen aus Verteilungen mit gleichem Median

Prinzip des Tests:

• Bildung der Differenzen di der Messwertepaare
• Rangreihung der absoluten Differenzen
• Notieren, ob Differenz positiv (+) oder negativ (−) [oder Null (0)]
• Bestimmung der positiven und negativen Rangsummen (vgl. U-Test) - Inferenzstatistische Absicherung

Beispiel:

Rangsummen:
T(+) = 49
T(−) = 17

Exakter Test für N ≤ 50 Tabellen in Lehrbüchern

Asymptotischer Test für größere Stichproben

Unser Beispiel:
T = 17, exakter Test,
zweiseitig: p = .175
einseitig: p = .087

Wie für U-Test gibt es eine Bindungskorrektur (vgl. Bortz & Lienert, 2008, S. 196), wenn gleiche Differenzwerte vorliegen Anwendung der Korrektur führt eher zur Verwerfung der H0

Fälle mit Nulldifferenzen können ebenso wie beim Vorzeichentest

• ausgeschlossen werden (begünstigt tendenziell Verwerfung der H0)
• oder erhalten generell den Rang (p + 1)/2
(p = Anzahl der Nulldifferenzen; vgl. Bortz & Lienert, 2008, S. 196)

• Wilcoxon-Test i. A. effizienter als Vorzeichentest (verwendet mehr Information aus den Daten)
• i. A. robust gegenüber Dispersionsunterschieden in den abhängigen Messungen
(Unterschiede in Streuungen haben keine großen Auswirkungen.)
• Allerdings:
─ Hohes Messniveau Voraussetzung des Tests─ Differenzen der Messungen müssen auf einer Intervallskala liegen - metrisches Messniveau erforderlich─ Unterschiede in der Dispersion können u. U. auch Testmachtschmälern - Vorzeichentest kann dann effizienter sein !
• Asymptotische Eigenschaften des Tests können zur Bestimmung einer approximativen Effektgröße wie im U-Test verwendet werden Verwendung des z-Wertes unter Heranziehung der Formel beim U-Test

(Nicht-parametrische Verfahren / k > 2 abhängige Stichproben)
Friedman-Test (Friedman, 1937; auch Rangvarianzanalyse genannt) das nichtparametrische Pendant zur einfaktoriellen abhängigen ANOVA

• H0: Die k abhängigen Stichproben stammen aus Verteilungen mit gleichem Median
• Geeignet für (originär) ordinalskalierte und metrische Daten
• Prinzip des Tests:
- Rangreihung der Messungen innerhalb jeder Beobachtungseinheit- Bestimmung der Rangsummen (vgl. U-Test) je Messung - Inferenzstatistische Absicherung

Beispiel:

Wenn sich die abhängigen Messungen nicht in ihren Rangsummen unterscheiden, unterscheiden sie sich auch nicht in ihrer zentralen Tendenz (Median).

• Teststatistik asymptotisch χ2-verteilt, mit df = k − 1 (vgl. Kruskal-Wallis-Test)

• Beispiel führt zu χ2 = 2.57, df = 2, p = .276 (asympt.), p = .305 (exakt)
(2,57 – ist nicht signifikant – vielleicht ist die Stichprobe zu klein bzw. die Unterschiede zu klein.)
• Bindungskorrektur möglich (vgl. Bortz & Lienert, 2008, S. 205) - führt eher zur Verwerfung der H0
• Alternativhypothese des Friedman-Tests nur ungerichtet (Omnibustest)
• Bei kleinen Stichproben exakter Test

Kontraste

• Wie im Fall des Kruskal-Wallis-Test Berechnung kritischer Differenzen der mittleren Rangsummen

• Durch Verwendung des kritischen Wertes wird eine implizite
Fehlerkontrolle angewandt familywise error bleibt auf gewähltemα-Niveau

Post-Hoc-Tests

• Kritische Differenzen mit expliziter Fehlerkontrolle

• zα* ist kritischer z-Wert von α* (= Bonferroni-korrigiertes α)  kann aus Tabellen abgelesen werden
• Vorgehen ist laut Field (2009) (im Wesentlichen) äquivalent zur
Anwendung sequentieller Wilcoxon-Tests - stimmt nur bedingt, Voraussetzungen des Friedman- und des Wilcoxon-Tests sind nicht ident !

Beispiel: (vgl. Wilkinson-Tough et al., 2009)
Fallserie zur Untersuchung der Wirkung einer Mindfulness-basierten Therapiemethode bei Patienten mit Zwangsgedanken 7 Patienten, die im Rahmen eines A-B-C-Designs zunächst eine Phase ohne Behandlung (Phase A; 2 Wochen; Baseline), dann eine Phase in der sie angeleitet und selbständig Progressive Muskelrelaxation anwandten (Phase B; 2-3 Wochen; PMR) und eine Phase in der sie schließlich 6 wöchentliche einstündige Therapieeinheiten mit Psychoedukation und Mindfulness-basierter Psychotherapie erhielten (Phase C; 6 Wochen; Mindfulness). Die Patienten wurden aufgefordert, die in den Therapiephasen gelernten Übungen selbständig weiterzuführen. Zwei Monate nach Ende von Phase C wurde eine Katamnese durchgeführt.

Primäres Outcomemaß: YBOCS (Yale-Brown Obsessive-Compulsive Scale; Werte > 15 klinisch relevant)

• Kontraste: eine kritische Differenz für alle Einzelvergleiche
kritischer χ2-Wert (α = .05, df = 3): 7.81
• Post-Hoc-Tests: Wilcoxon-Tests, α* = .05/3 = .017
• Effektstärken: anhand der z-Werte der Wilcoxon-Tests (sehr approximativ!!!)

Ausgabe mittlerer Ränge (oben)
Nach der Mindfulness-Intervention sind die Werte am niedrigsten;
die höchstenWerte liegen zu Beginn vor (Baseline)

Tabelle Statistik für Test
Die H0 wird verworfen, p < .001 (asymptotischer Test)