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– Einfaktorielle Versuchspläne
– Einzelvergleiche (Kontraste) und Post-Hoc-Tests
– Zweifaktorielle Versuchspläne – Haupteffekte & Wechselwirkungen
– Simultaner Vergleich von 2 Gruppen zu 2 Zeitpunkten (klassisches Design der Interventionsforschung) – abhängige Messungen
– (Ausblick auf) Kovarianzanalyse

• Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) erlaubt simultanen Vergleich von k ≥ 2 Mittelwerten
• „Erweiterung“ des t-Test für k > 2 Gruppen

Warum keine drei t-Tests (Depressive vs. Remittierte; Depressive vs. Gesunde; Remittierte vs. Gesunde) ?
Problem der Alphafehler-Kumulierung Jeder statistische Test hat (selbstgewählte) Irrtumswahrscheinlichkeit Alphafehler/Fehler 1. Art (meistens: α = 0.05)
Der gemeinsame Fehler (familywise error) ist fast dreimal höher als der nominell gewählte. Die Zuwachsrate steigt mit Anzahl der Gruppen und Vergleiche stark an.

Für den simultanen Vergleich mehrerer Gruppenmittelwerte ist ANOVA somit das geeignete Analyseinstrument
– Kontrolliert den familywise error
– Ist aber nicht so konservativ wie alternative Prozeduren

Warum keine drei t-Tests (Depressive vs. Remittierte; Depressive vs. Gesunde; Remittierte vs. Gesunde) ?

Problem der Alphafehler-Kumulierung
Jeder statistische Test hat (selbstgewählte) Irrtumswahrscheinlichkeit: Alphafehler/Fehler 1. Art (meistens: α = 0.05)
Wenn die in Wirklichkeit gilt, wird sie (dennoch) in (nur) 5 von 100 Fällen verworfen (bei α = 0.05)

Der Alphafehler von drei t-Tests zusammen ist somit sicherlich größer als jener bloß eines (t-)Tests - Nur:Wie groß ?

Annahme: Ergebnisse der t-Tests voneinander statistisch unabhängig
Wahrscheinlichkeit für einen Alphafehler bei einem Test ist gleich α


Statistische Unabhängigkeit - Multiplikationstheorem

Gegenwahrscheinlichkeit: in m Tests mindestens einmal die (fälschlicherweise) verwerfen


α = 0.05, k = 3 Gruppen, m = 3 t-Tests

Der gemeinsame Fehler (familywise error) ist fast dreimal höher als der nominell gewählte.
Zuwachsrate steigt mit Anzahl der Gruppen und Vergleiche stark an:

Zudem: nicht alle Tests voneinander unabhängig reales Alpha höher!

Zur Kontrolle des familywise error können Prozeduren wie Bonferroni-Korrektur o. ä. verwendet werden - JEDOCH sehr konservatives Verfahren.

Für den simultanen Vergleich mehrerer Gruppenmittelwerte ist ANOVA somit das geeignete Analyseinstrument
– Kontrolliert den familywise error
– Ist aber nicht so konservativ wie alternative Prozeduren

Darunter versteht man den Fehler der akkumuliert wird wenn ein Test mehrfach auf eine Hypothese angewendet wird.

Warum keine drei t-Tests (Depressive vs. Remittierte; Depressive vs. Gesunde; Remittierte vs. Gesunde) ?
Problem der Alphafehler-Kumulierung
Jeder statistische Test hat (selbstgewählte) Irrtumswahrscheinlichkeit - Alphafehler/Fehler 1. Art (meistens: α = 0.05)

Beispiel:
α = 0.05, k = 3 Gruppen, m = 3 t-Tests

Der gemeinsame Fehler (familywise error) ist fast dreimal höher als der nominell gewählte.

Zur Kontrolle des familywise error können Prozeduren wie Bonferroni-Korrektur o. ä. verwendet werden.

Zur Kontrolle des familywise error können Prozeduren wie Bonferroni-Korrektur o. ä. verwendet werden.


Nachteil: Sehr konservatives Vorgehen! (Verwerfen der H0 wird u. U. unverhältnismäßig schwierig; k = 3, α = 0.05: α* = 0.017)

Für den simultanen Vergleich mehrerer Gruppenmittelwerte ist ANOVA somit das geeignete Analyseinstrument
– Kontrolliert den familywise error
– Ist aber nicht so konservativ wie alternative Prozeduren

Omnibustest
ANOVA prüft nicht sequentiell die Hypothesen
H0(1): μ1 = μ2 ; H0(2): μ1 = μ3 ; H0(3): μ2 = μ3 sondern
H0: μ1= μ2 = μ3 bzw. allgemein H0: μ1 = μ2 = … = μk

Die H1 wird angenommen, wenn sich zumindest zwei der untersuchten Mittelwerte signifikant voneinander unterscheiden


Test beruht auf einem Vergleich der Varianz der Daten, die durch
systematische Unterschiede bedingt wird (Gruppen), gegenüber der Varianz, die durch den Zufall zustande kommt → „Varianzanalyse“

Ist die Varianz der Gruppenmittelwerte um einen gemeinsamen Mittelwert größer als die Varianz innerhalb der Gruppen?
Beispiel: Depressive (rot) / Remittierte (blau) / Gesunde (grün)

Gruppenmittelwerte um einen gemeinsamen Mittelwert:

Varianz innerhalb der Gruppe:

Interpretation: die Gruppen unterscheiden sich signifikant voneinander
- H0 wird verworfen
- Welche Gruppen zeigen signifikante Unterschiede?
Einzelvergleiche (Kontraste) und Post-Hoc-Tests

• Einzelvergleiche (Kontraste)
• Post-Hoc-Tests

Einzelvergleiche häufig a priori formuliert, d.h. bereits vor Durchführung der Analyse besteht eine Hypothese, welche Mittelwerte sich voneinander unterscheiden sollten (hypothesengeleitetes Vorgehen)

Einzelvergleiche können aber auch a posteriori berechnet werden, ebenso wie Post-Hoc-Tests zur Datenexploration benutzt werden können (exploratives Vorgehen)

Einzelvergleiche = Kontraste

Erlauben spezifische Gruppenvergleiche und auch gerichtete Hypothesen z.B.: Gesunde und Remittierte haben niedrigere Werte im BDI-II als akut Depressive

Rechnerische Durchführung durch Festlegung von Linearkombinationen bzw. gewichteter Summen der Gruppenmittelwerte

• Orthogonale (= unabhängige) und nicht-orthogonale Kontraste möglich
• Allgemein:

Zwei Kontraste sind orthogonal, wenn die Summe der Produkte ihrer Koeffizienten Null ist:

Beispiel SPSS:

(Die Kontrast-Koeffizienten sind die Gewichtung. Wenn zwei Gruppen den gleichen Kontrast-Koeffizienten haben, dann werden diese zusammengelegt und gegen die andere verglichen.
Kontrast 2: Depressive sind nicht relevant – deshalb haben sie das Gewicht 0
Ergebnis der Kontrasttests ist

• Gesunde und Remittierte unterscheiden sich signifikant von Depressiven; einseitige Testung → p-Wert kann noch halbiert werden (t-Verteilung!)
• Gesunde unterscheiden sich auch signifikant von Remittierten; keine a priori Hypothese → Beibehalten des 2-seitigen p-Wertes aus SPSS

Kontraste können für sequentielle Vergleiche von Gruppenmittelwerten verwendet werden.

• Ausschluss jeweils einer Gruppe in nachfolgenden Kontrasttests (Kontrastkoeffizient = 0)
• stellt sicher, dass alle Kontraste orthogonal (= unabhängig) sind

Einseitige oder zweiseitige Testung in Kontrasten richtet sich nach dem Vorhandensein gerichteter Hypothesen

ONEWAY ANOVA (ganz oben)
man sieht die Varianzanalyse - die Mittelwertsunterschiede sind hochsignifikant.

Die Kontrast-Koeffizienten sind die Gewichtung. Wenn zwei Gruppen den gleichen Kontrast-Koeffizienten haben, dann werden diese zusammengelegt und gegen die andere verglichen.
Kontrast 2: Depressive sind nicht relevant – deshalb haben sie das Gewicht 0

1. Kontrast: frei wählbar (mit allen Gruppen)
2. Kontrast: eine Gruppe muss rausfallen, damit man ein orthogonales Ergebnis erhält.

Der Kontrast wird formal mit der t-Verteilung geprüft.

Ergebnis der Kontrasttests ist

• t-Verteilung: 13,56 bei 104 Freiheitsgrade (hoch signifikant):
Gesunde und Remittierte unterscheiden sich signifikant von Depressiven; einseitige Testung → p-Wert kann noch halbiert werden (t-Verteilung!)
• t-Verteilung: -4,07 bei 104 Freiheitsgraden (hoch signifikant):
Gesunde unterscheiden sich auch signifikant von Remittierten; keine a priori Hypothese → Beibehalten des 2-seitigen p-Wertes aus SPSS

(Doppelte Ergebnisdarstellung:
Varianzen sind gleich und Varianzen sind nicht gleich... also es wird berechnet unter der Annahme, dass die Varianzen gleich sind
Voraussetzung für Varianzanalyse
- Varianzen innerhalb der einzelnen Gruppen müssen homogen sein.
- Wenn die Varianzen nicht gleich sind, rechnet SPSS tlw. eine Korrektur indem sie die Freiheitsgrade reduziert (dF) (Siehe Folie Einfaktorielle Versuchspläne 20)

Normalerweise betrachtet man den 1. Bereich (Varianzen gleich).

Kontraste können orthogonal oder nicht-orthogonal sein: Kontraste die orthogonal sind, bezeichnet das es Tests sind die statistisch unabhängig sind.

Zwei Kontraste sind orthogonal, wenn die Summe der Produkte ihrer Koeffizienten Null ist:
(es können numerisch beliebige Werte gewählt werden, solange sie null ergeben)


Abhängig davon wieviele Gruppen man definiert hat, kann eine bestimmte Anzahl an orthogonalen Kontrasten definiert werden (k-1 orthogonale Kontraste) (k=Anzahl der Gruppen)

Beispiel: 3 Gruppen = 2 orthogonale Kontraste (man kann auch andere Kontraste formulieren, diese sind aber dann nicht orthogonal)

Polynomiale Kontraste: Trends/Reihung/ordinaler Funktion von Gruppen (linear, quadratisch, kubisch)

Polynomiale Kontraste sind zueinander alle orthogonal.

Nur nützlich, wenn Gruppen sinnvolle und nicht beliebige Ordnung aufweisen (a-priori Ordnung muss bekannt sein).

Außerdem setzen polynomiale Kontraste das Prinzip Äquidistanz der Faktorstufen voraus (Gruppierungsvariable müsste ebenso intervallskaliert sein).
(dh. Die Depressiven sind von den Remittierten gleich weit entfernt sind wie die Gesunden von den Remittierten)

Polynomiale Kontraste können auch durch eigene Gewichtsetzung berechnet werden (Beispiel für linearen und quadratischen Kontrast).

Bei einem Freiheitsgrad (df=1) korrelieren F- und t-Test miteinander.

Polynomiale Kontraste werden immer zweiseitig getestet! (Bei dieser Testung ist also keine "Seitigkeit" verbunden)

Lineare Trend: es gibt eine ansteigende/absteigender Trend vor.
Auch in der grafischen Darstellung ist ein absteigender Trend sichtbar - dieser scheint linear zu sein, könnte ev. aber auch quadratisch sein.

Jetzt wurde noch eine weitere Auswertung durchgeführt (quadratisch):

Gruppenmittelwerte weisen nicht nur linearen Trend auf (p < .001), sondern auch quadratischen (p = .001)

Inhaltlich bedeutet dies hier, dass die Gruppenmittelwerte der Gesunden und Remittierten offenbar näher beieinander liegen, als jene der Remittierten und Depressiven (d.h. es existiert anscheinend keine Äquidistanz)

Weitere (wählbare) Kontraste in der SPSS Prozedur ‚Allgemeines Lineares Modell‘.
Neben den polynomialen Kontrasten oder den selber wählbaren Kontrasten gibt es folgende:

(3 Kontraste sind nicht orthogonal)

• Einfacher Kontrast häufig verwendet eine Referenzgruppe wird mit allen anderen Gruppen verglichen
Anmerkung: die Referenzgruppe die getestet werden möchte muss in SPSS zu Beginn oder am Ende kodiert sein.Es wird immer die gleiche Referenzgruppe genommen die mit den anderen Gruppen jeweils verglichen wird.Ist vor allem bei Versuchs-Kontrollgruppen-Designs.
• Differenz und Helmert im Prinzip gleiche Prozedur – einmal „von oben nach unten“ (Differenz), das andere Mal von „unten nach oben“ (Helmert)
Differenz: Jeder Mittelwert der Gruppe wird mit dem Mittelwert der vorhergehenden Gruppe verglichen
• Wiederholt eignet sich, um sequenziell alle paarweisen Mittelwertsunterschiede zu testen
Gruppe1 mit Gruppe 2, Gruppe 2 und Gruppe 3, Gruppe 3 mit Gruppe 4

Niveau ist abhängig von der Kodierung der Gruppe.

Ergebnis:

• Die Depressiven unterscheiden sich von den Remittierten signifikant.
• Die Depressiven unterscheiden sich von den Gesunden signifikant.

Differenz (orthogonale Kontraste):

• Zuerst Vergleich Gruppe 2 (Remittierte) mit 1 (Depressive)
• Dann Vergleich Gruppe 3 vs. 1+2

Ergebnis:

• Die Depressiven unterscheiden sich von den Remittierten signifikant.
• Die Depressiven unterscheiden sich von den Gesunden signifikant.

Helmert (orthogonale Kontraste):

• Zuerst Vergleich Gruppe 1 (Depressive) vs. 2+3
• Dann Vergleich Gruppe 2 vs. 3

Ergebnis:

• Die Depressiven unterscheiden sich von den Remittierten signifikant.
• Die Depressiven unterscheiden sich von den Gesunden signifikant.

Wiederholt eignet sich, um sequenziell alle paarweisen Mittelwertsunterschiede zu testen (Gruppe1 mit Gruppe 2, Gruppe 2 und Gruppe 3, Gruppe 3 mit Gruppe 4)
Ergebnis:

• Die Depressiven unterscheiden sich von den Remittierten signifikant.
• Die Depressiven unterscheiden sich von den Gesunden signifikant.

(Welche Gruppen unterscheiden sich voneinander - von der Zielsetzung gleich wie die Einzelvergleiche/Kontraste)

• Erlauben explorative Untersuchung, welche Gruppen sich nach signifikanten Omnibustest der ANOVA voneinander unterscheiden; vergleichen alle Paare von Gruppen miteinander (nicht-orthogonal)
• Nicht zur Testung von a priori Hypothesen, sondern zur Datenexploration
• Nur zweiseitige Tests ggf. geringere Testmacht als Einzelvergleiche/Kontraste
bei Einzelvergleichen/Kontrasten erfolgt die ein-/zweiseitige Testung mittels der Betrachtung des p-Werts
• SPSS bietet Vielzahl (18!) an unterschiedlichen Post-Hoc-Testverfahren an - es ist nicht sofort klar welcher verwendet werden soll
Unterschiede in der Art der Kontrolle des familywise error (Typ-I-Fehler), der Testmacht (Typ-II-Fehler) und der Robustheit gegenüber Voraussetzungsverletzungen

a) wenn Idealbedingungen der ANOVA zutreffen:
Q nach Ryan-Einot-Gabriel-Welsh
Tukey („Tukey‘s Honestly Significant Difference [HSD]“)
hohe Testmacht

b) Unterschiedliche Anzahl an Testpersonen (z.B. „doppelt so groß“) und Varianzen homogen:
Gabriel

c) Start unterschiedliche Anzahl an Testpersonen (z.B. „fünffach so groß“) und homogene Varianzen:
GT2 nach Hochberg

d) Inhomogene Varianzen:
Games-Howell

Durchführung von 2 Arten der Post-Hoc-Tests:
- Q nach R-E-G-W und
- Gabriel (da leicht unterschiedliche n)

Mehrfachvergleiche = Gabriel
- Alle werden paarweise Verglichen
- Für jeden Vergleich wird das Signifikanzniveau angegeben.

Homogene Untergruppen: für Gabriel + Q nach REGW
Bestimmung homogener Untergruppen gemäß REGW-Q und Gabriel-Prozedur;
Jede Spalte unterscheidet sich von den anderen signifikant (p < .05); Bei mehr als einer Gruppe in einer Spalte gibt „Signifikanz“ das p des jeweiligen Gruppenunterschieds an (wenn p < .05 neue Spalte)

- Tabellarische Darstellung welche Gruppen sich signifikant voneinander unterscheiden (Alle Gruppen unterscheiden sich signifikant voneinander)
- Da die Zahlen aller Gruppen in einer eigenen Spalte sind unterscheiden sich alle Gruppen voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,05.
Die Signifikanz ist immer 1. Die Signifikanz wird nur nicht 1 wenn mehrere Gruppen in einer Spalte sind (eine Gruppe unterscheidet sich von sich selbst gar nicht) und kann in diesem Fall ignoriert werden.

Hier noch ein Beispiel - wenn die Daten nicht alle voneinander signifikant unterschiedlich sind:

Annahmen und Voraussetzungen der Varianzanalyse
Gültigkeit und Durchführung der einfaktoriellen ANOVA sind an vier Voraussetzungen gebunden:

1. Die abhängige Variable hat metrische Skaleneigenschaften (Intervallskala, Rationalskala)
2. Die Gruppen sind voneinander unabhängig
Es gibt keine Gruppe in der eine Person zweimal vorkommt
3. Die Varianzen der untersuchten Gruppen sind homogen
Varianz muss in den einzelnen Gruppen ungefähr gleich sein - Soll sich in der Varianzhomogenität zeigen
4. Die Daten sind innerhalb der Gruppen normalverteilt

Gleiche Voraussetzungen wie t-Test !
Voraussetzungen müssen vor der Durchführung geprüft werden – bei Nicht-Zutreffen u. U. anderes Testverfahren (z.B. nicht-parametrisch)

Werden Voraussetzungen nicht erfüllt kann man auf nicht-parametrische Verfahren zurückgreifen oder eventuell trotzdem auf parametrische Verfahren wenn einzelne Voraussetzungen nicht erfüllt sind (Robustheit).

Formales Modell der einfaktoriellen ANOVA

• Gesamtmittelwert und Effekt der Gruppe sind bloße Konstanten (feste Effekte [fixed effects]; Fehler haben Erwartungswert 0)
Fixed effects model: man geht von fixen Effekten in einer Gruppe aus (d.h. jede Person variiert in einer Gruppe gleich – bzw. ist ein unterschiedliches Verhalten im Fehler abgebildet)
• Fehler haben einen Erwartungswert von 0 – d.h. es wird davon ausgegangen, dass der Fehler über alle Personen hinweg in der Gruppe 0 ist, sich die Fehler also ausgleichen.
• Streuungen in der Gruppe kommen NUR durch den Fehler zustande – deshalb muss eine Varianzhomogenität gegeben sein, damit sich diese Effekt ausgleichen.
Fehler müssen sich in allen Gruppen gleich (Varianzhomogenität/Homoskedastizität) und normal verteilen
• Prüfung der Normalverteilung durch Kolmogorov-Smirnov- oder Shapiro-Wilk-Test (vgl. t-Test)

Prüfung der Normalverteilung durch Kolmogorov-Smirnov- oder Shapiro-Wilk-Test
(Notwendig als Voraussetzung z.B. für die einfaktorielle ANOVA, t-Test,...)


BDI-II-Scores bei Gesunden nicht normalverteilt (p < .05)
[H0 ist bei Voraussetzungstests „Wunschhypothese“ und soll beibehalten werden]

Box-Plots:
Verteilung bei Gesunden deutlich asymmetrisch (mehr niedrige als hohe Werte)
Keine Ausreißer

• H0: Die Verteilung ist normalverteilt. H1: Die Verteilung ist nicht normalverteilt.
• D.h. man hofft auf ein nicht signifikantes Ergebnis. Bei den Gesunden ist das Ergebnis aber signifikant – d.h. die Gesunden sind nicht normalverteilt.
• Inhaltliche Info: Durch die Art der Messung tritt der Effekt (nicht normalverteilt) auf, da nach Symptomen gefragt wird und wenn man keine Symptome hat gibt man 0 an. Aber man kann nicht weniger als 0 angeben. Deshalb ist der Verteilung eher einseitig.

Prüfung der Varianzhomogenität durch Levene-Test (= Pendant des F-Test bei k > 2 Gruppen)


p > .05, also kann Varianzhomogenität angenommen werden;
[H0 ist „Wunschhypothese“ und soll beibehalten werden]

H0 – die Varianzen sind homogen.

ANOVA ist ein robustes Verfahren, d.h. im Allgemeinen haben einzelne Voraussetzungsverletzungen keinen allzu großen Einfluss auf Ergebnis der Hypothesentestung.

a) Bei gleichen Stichprobengrößen sind Abweichungen von Normalverteilung oder der Varianzhomogenität häufig vernachlässigbar.

b) V. a. bei ungleichen ns können Abweichungen jedoch größeren Einfluss ausüben

• keine ausreichende Kontrolle von Typ-I- und Typ-II-Fehlerraten
• u. U. Ausweichen auf nicht-parametrische Tests

c) Wenn Varianzen nicht homogen

• robuster F-Test: Korrektur nach Brown-Forsythe oder Welch
• Korrigieren Freiheitsgrade des Fehlers (dfInnerhalb) und beruhen auf alternativer Berechnung der Quadratsummen

zu b) + c) Beide Prozeduren wirksam in der Kontrolle des Typ-I-Fehlers, Welch kontrolliert i. A. aber den Typ-II-Fehler besser (höhere Testmacht; vgl.
Field, 2009)


Da die ANOVA ein robustes Verfahren ist – kann die ANOVA bei diesem Beispiel trotzdem angewendet werden, auch wenn bei einer Gruppe die Normalverteilung nicht gegeben ist.
Dies ist auch abhängig  von der Stichprobengröße.
Wenn man nicht sicher ist – kann man das nicht-parametrische Verfahren anwenden und dann mit dem Ergebnis der parametrischen Verfahren zu vergleichen. Sind die Ergebnisse gleich/ähnlich so kann das parametrische Verfahren verwendet werden.

Eine Voraussetzung für die Durchführung der einfaktoriellen ANOVA ist die Varianzhomogenität.
Wenn Varianzen nicht homogen:

• robuster F-Test: Korrektur nach Brown-Forsythe oder Welch
• Korrigieren Freiheitsgrade des Fehlers (dfInnerhalb) und beruhen auf alternativer Berechnung der Quadratsummen

Aufruf in SPSS:

Ergebnis:

oben: Tabelle zur Varianzanalyse
unten: df1 = 2 Freiheitsgrade (3 Gruppen - 1)
df2 wurde von 104 nach unten korrigiert - es hat sich nicht viel geändert, da die Varianzen homogen waren

Mehrfaktorielle ANOVAs testen

• Haupteffekte (Effekte einzelner Faktoren unabhängig von allen anderen Faktoren) und
• Wechselwirkungen (Effekte spezifischer Faktorstufenkombinationen)

Im Folgenden wird der Spezialfall (einfachste Fall) der zweifaktoriellen ANOVA mit jeweils zwei Stufen pro Faktor behandelt.

Allgemein ist der Anzahl der Faktoren und ihrer Stufen (im Prinzip) bei ausreichend großen Stichproben keine Grenze gesetzt.

Drei F-Tests (einer je Haupteffekt, einer für die Wechselwirkung)

3 Nullhypothesen (Folie 3)

• Ersten zwei Hypothesen: Es gibt keinen Unterschied zwischen den Mittelwerten – untersucht ob die Gruppen gleich oder ungleich sind jeweils für die Faktoren
• Wechselwirkung (Effekte die über additive Effekte hinausgeht): Der Mittelwert in einer Faktorstufenkombination: Mittelwert Faktor 1 + Mittelwert Faktor 2 - Gesamtmittelwert (Die Formel/H0 beschreibt, dass es nur einen additiven Effekt gibt)

Wechselwirkung liegt dann vor, wenn der Effekt verschiedener Faktorstufenkombinationen nicht additiv ist

Beispiel
Zeigen sich Geschlechts-Unterschiede in Trait-Angst (STAI) in gleicher Weise, unabhängig vom Vorliegen einer Angststörung?


Beispiel – 2 Faktoren: Geschlecht (männlich und weiblich), Population (normal, Angststörung)
Folie 5: Haupteffekte sind signifikant (Geschlechtsunterschiede sind signifikant und Gruppenunterschiede sind signifikant), aber Wechselwirkung ist nicht signifikant.
Folie 7: 2 Nahezu parallele Linien – deshalb keine Wechselwirkung

Beispiel: Zeigen sich Geschlechts-Unterschiede in Trait-Angst (STAI) in gleicher Weise, unabhängig vom Vorliegen einer Angststörung?

2 Faktoren: Geschlecht (männlich und weiblich), Population (normal, Angststörung)

• Haupteffekte Geschlecht und Gruppe jeweils signifikant (p < .05);
• Wechselwirkung Geschlecht*Gruppe nicht signifikant (p = .808)
• [NV in allen 4 Gruppen gegeben (Shapiro-Wilk-Tests, ps ≥ .450)]

SPSS-Ausdruck zeigt: Haupteffekte sind signifikant (Geschlechtsunterschiede sind signifikant und Gruppenunterschiede sind signifikant), aber Wechselwirkung ist nicht signifikant.
Folie 7: 2 Nahezu parallele Linien – deshalb keine Wechselwirkung

Diagramm verdeutlicht, dass Effekte additiv sind - es liegt keine Wechselwirkung vor;

Effekt des Geschlechts ist über beide Stufen von Gruppe gleich.

Ebenso ist der Effekt von Gruppe über beide Geschlechter gleich.

..... Parallele Linien, keine Wechselwirkung

Ist die Wechselwirkung signifikant, kann dies Einfluss auf die Interpretierbarkeit gleichzeitig signifikanter Haupteffekte haben

Kann mittels mehrfacher Profilplots geklärt werden Klassifikation ordinaler, hybrider und disordinaler Interaktionen

• Ein Profilplot, wo für Faktor A über Faktor B separate Linien gezogen werden
• Ein zweiter, wo für Faktor B über Faktor A separate Linien gezogen werden

Von der Klassifikation dieser Profilplots ist abhängig, ob signifikante Haupteffekte interpretiert werden dürfen

• Ordinale Interaktion: beide Haupteffekte interpretierbar
• Hypride Interaktion: nur ein Haupteffekt interpretierbar
• Disordinale Interaktion: kein Haupteffekt interpretierbar

Mehrfaktorielle Untersuchungen
Interpretation von Wechselwirkungen wird komplexer und
anspruchsvoller bei

• mehr als zwei Stufen pro Faktor
• mehr als zwei Faktoren (nicht nur einfache Interaktionen, sondern auch zweifache und dreifache, etc.)

Mittels Kontrasttests kann dann ermittelt werden, wo Wechselwirkungen liegen (simple effects analysis; in SPSS nur via Syntax)
Simple effects analysis prüft Gruppenunterschiede in einem Faktor für jede einzelne Stufe des/eines anderen Faktors.

Alternativ können auch Konfidenzintervalle herangezogen werden.

Linienzüge zeigen in beiden Diagrammen gleiche Trends (steigend) .... dann sind beide Haupteffekte (wenn signifikant) interpretierbar (a1 < a2, b1 < b2), Wechselwirkung wirkt quasi „verstärkend“ auf Haupteffekte ein (die Differenz b1-b2 ist in a1 kleiner als in a2)

Beide Linien folgen dem GLEICHEN Trend (die Wechselwirkung wirkt verstärkend)  - Haupteffekte dürfen als bedeutsam interpretiert werden.

Linienzüge zeigen im linken Diagramm (Faktor A) gegenläufige Trends, überkreuzte, aber immer noch gleichsinnige Linienzüge im rechten Diagramm (Faktor B)

...  nur Haupteffekt B (wenn signifikant) interpretierbar (b1 < b2), aber a1 > a2 in b1 und a1 < a2 in b2

GEGENLÄUFIGE Trends (Faktor A) und GLEICHSINNIGE Trends (Faktor B)  - Haupteffekt (wenn vorhanden) darf bei Faktor A nicht interpretiert werden; für Faktor B darf der Haupteffekt noch immer interpretiert werden

Linienzüge in beiden Diagrammen überkreuzt - kein Haupteffekt (wenn signifikant) ist für sich genommen interpretierbar

beide Trends sind GEGENLÄUFIG - Beide Haupteffekte dürfen nicht interpretiert werden, da es keinen Haupteffekt gibt, sondern nur auf die Faktorenstufen in Kombination ankommt.

Mittels Kontrasttests kann bei mehrfaktorieller ANOVA ermittelt werden, wo Wechselwirkungen liegen (simple effects analysis).

Simple effects analysis prüft Gruppenunterschiede in einem Faktor für jede einzelne Stufe des/eines anderen Faktors.

• Definiert ein ALM (allgemeines lineares Modell - GLM) mit der abhängigen Variable STAI_trait und den Faktoren Geschlecht und Gruppe
• Spezifikation der simple effects analysis: TABLES(…) definiert die beiden Faktoren, die getestet werden sollen; COMPARE(Geschlecht) gibt an, dass der Effekt des Geschlechts innerhalb der Stufen des anderen Faktors (Gruppe) untersucht werden soll

Ergebnis

Paarweise Vergleiche:
Test auf Geschlechtsunterschiede innerhalb der Stufen: nicht signifikant bei Gesunden, signifikant bei Angststörung

CAVE: Wechselwirkung war nicht signifikant (p = .808 - aus Vorwissen/anderer Tabelle)

• Unterschied in Signifikanz bei Gesunden und Angststörung wird nicht interpretiert (Wechselwirkung)
• Haupteffekt des Geschlechtes wird interpretiert (p = .010)

Verwendung der Konfidenzintervalle (KIs)

Die Konfidenzintervalle überlappen sich.

Auch hier CAVE: Innerhalb von Gruppe überlappen sich hier die KIs von Frauen und Männern .... doch kein Haupteffekt Geschlecht ?
Doch! Test des Haupteffekts geht über alle Stufen der anderen Faktoren mehr Testmacht als KIs!

Simple effects analysis oder KIs nur dann heranziehen, wenn die
Wechselwirkung in der ANOVA signifikant ausfiel.

Dieser zeigt eine NV-Testung über alle Faktorstufenkombinationen (bei einem zweifaktoriellen Design)

(Für alle Gruppen gilt die Normalverteilung - keine signifikanten Ergebnisse)

Kontraste (voreingestellte) und Post-Hoc-Tests können ebenso wie in einfaktorieller ANOVA verwendet werden.

Sie testen in der factorial ANOVA ebenso Hypothesen jeweils über einen Faktor und lassen die anderen Faktoren unberücksichtigt.

• kann inadäquat sein, wenn Wechselwirkungen vorliegen
• simple effect analysis wird dann benötigt

Kontraste und Post-Hoc-Test können auch angewendet werden – jedoch wird immer nur ein Faktor berücksichtigt (und andere Faktoren werden nicht berücksichtigt). Dies kann also nur sinnvoll verwendet werden wenn es keine Wechselwirkungen zwischen den Faktoren gibt. Wenn es Wechselwirkungen gibt kann es zu verzerrten Ergebnissen kommen.

• Abhängige Daten in psychologischer und insbesondere klinischer Forschung häufig
• Alle Interventionsstudien analysieren im Prinzip abhängige Daten (Prä-/Postvergleiche [Datenerhebungen vor und nach Interventionen])
• Abhängige Daten entstehen allgemein
– durch Messwiederholung– durch Parallelisierung (matched samples)– bei Untersuchung natürlicher Paare (z.B. Geschwister, Ehepaare)
• Verwendung abhängiger Daten verringert i. A. Zufallsfehler ... Testmacht steigt durch Elimination interindividueller Unterschiede (bei Messwiederholungen: „Jede Vpn ist ihre eigene Kontrolle“)

Was sind abhängige Daten?

• Längsschnittstudie: Z.B. Daten die von der gleichen Person zu unterschiedlichen Zeitpunkten erhoben wurden.
• Parallelisierung: Wenn man Personen sucht die vergleichbar sind. Man ordnet Personen einander zu und erhält dadurch abhängige Daten
• Natürliche Paare von Personen – z.B. Geschwister, Eltern, Ehepaar

Vorteil abhängiger Daten: verringert den Zufallsfehler. Dadurch steigt die Testmacht (eher signifikantes Ergebnis)

Einfachster Fall abhängiger Daten: 2 Messungen t-Test für abhängige Stichproben

Einfachster Fall abhängiger Daten:
2 Messungen ... t-Test für abhängige Stichproben

Test untersucht nicht wie im Fall unabhängiger Stichproben, ob sich die Mittelwerte zweier Verteilungen voneinander unterscheiden, sondern ob der Mittelwert der Differenz aller Messwertpaare ungleich 0 ist.

Abhängiger t-Test ist Test über die


Beispiel: (angelehnt an Keller et al., 2000)
Gibt es einen kombinierten Effekt bei einer Behandlung von Psychopharmaka und therapeutischer (Verhaltenstherapie – CBT) Behandlung.
Effekt einer kognitiv-behavioralen Depressionsbehandlung (CBT)
N = 56 depressive Patienten vor und nach der 12-wöchigen Behandlung

Test untersucht nicht wie im Fall unabhängiger Stichproben, ob sich die Mittelwerte zweier Verteilungen voneinander unterscheiden, sondern ob der Mittelwert der Differenz aller Messwertpaare ungleich 0 ist.

Abhängiger t-Test ist Test über die

Voraussetzungen:

1. Metrische Daten (Intervall-, Rationalskala)
2. Abhängige Messungen
3. Normalverteilung der Differenzen di

• t-Test abhängiger Stichproben: Normalverteilung muss innerhalb der berechneten  Differenzen vorhanden sein
• t-Test unabhängiger Stichproben: Normalverteilung muss in jeder der beiden Gruppen vorliegen

Beispiel: (angelehnt an Keller et al., 2000)
Effekt einer kognitiv-behavioralen Depressionsbehandlung (CBT)
N = 56 depressive Patienten vor und nach der 12-wöchigen Behandlung

Gibt es einen kombinierten Effekt bei einer Behandlung von Psychopharmaka und therapeutischer (Verhaltenstherapie – CBT) Behandlung.


Ausdruck zeigt t-Test mit abhängigen Daten: Intervention hochsignifikant wirksam
(H0 war: Differenzen unterscheiden sich nicht)

- Korrelation: Personen mit hohen Werten zu Beginn hatten auch am Ende hohe Werte.
- t-Test: t = 13, 658, Df = 55 – ist statistisch signifikant.

t-Test abhängiger Stichproben: Normalverteilung muss innerhalb der berechneten  Differenzen vorhanden sein

Zur Überprüfung der Voraussetzungen (NV) muss neue Variable berechnet werden - Messwertdifferenzen !!!

Für diese neue Variable muss die Normalverteilung überprüft werden: Diff als abhängige Variable wählen.

In ANOVA kann Einfluss sowohl unabhängiger als auch abhängiger Faktoren (simultan) untersucht werden.

„Klassisches“ Design der Interventionsforschung .... mixed design; mixed ANOVA

• Ein Zwischensubjektfaktor (unabhängig; z.B. Versuchs- und Kontrollgruppe)
• Ein Innersubjektfaktor (abhängig; z.B. Prä-/Postmessung)

„Klassischer“ Anwendungsfall wird im Folgenden behandelt (2 Stufen im Zwischensubjektfaktor, 2 Stufen im Innersubjektfaktor)
In mixed ANOVA wird zwischen zwei Fehlertermen, zwei Quellen der Fehlervarianz, unterschieden:

• unsystematische Variabilität innerhalb der Stufen des unabhängigen Faktors
• unsystematische Variabilität innerhalb der Stufen des abhängigen Faktors

Wechselwirkung zwischen unabhängigem und abhängigem Faktor kann getestet werden
- Residuum: Fehlerterm der intraindividuellen Variabilität, konfundiert mit Interaktionseffekten (jede Vpn × jede Stufe des abhängigen Faktors)

F-Test für ZSF anhand der Varianzschätzung durch QSFehler, für ISF und Wechselwirkung anhand jener von QSRes.

Beispiel:
Wirkung von CBT im Vergleich zu CBT + Antidepressivum in Depressionsbehandlung (RCT: Randomized Controlled Trial)

Simple Effekts analysis – Anwendung mit mixed design ANOVA
Hat jede einzelne Behandlungsart für sich auch zu einem  Rückgang der Depression geführt?

• 1. Zeile: Definiert ein ALM (allgemeine lineare Modell) mit der abhängigen Variablen HRSD_baseline und HRSD_post_treatment (= Stufen des abhängigen Faktors) und dem unabhängigen Faktor Behandlung
• 2. Zeile: Definiert, dass der abhängige (= Messwiederholungs-)Faktor Zeit heißt und 2 Stufen hat
• 3. Zeile: Spezifikation der simple effects analysis: TABLES(…) definiert die beiden Faktoren, die getestet werden sollen; COMPARE(Behandlung) gibt an, dass der Effekt der Behandlung innerhalb der Stufen des anderen Faktors (Zeit) untersucht werden soll

Test auf Behandlungsunterschiede innerhalb der Stufen:

• nicht signifikant zur Baseline, signifikant nach der Behandlung
• Da Wechselwirkung signifikant (p < .001), wird dies nun interpretiert
- Patienten unterschieden sich nicht zur Baseline (p = .057)- Nach der Behandlung hatte jedoch die Gruppe CBT + Med niedrigere Werte als Gruppe CBT (p < .001)

Durchführung einer 2. simple effects analysis
mit Bezug auf die Zeit (COMPARE(Zeit)).

Test der jeweiligen Behandlungseffekte: beide Behandlungen führen zu einem signifikanten Rückgang der Depressivität


Interpretation:

• Beide Treatments waren wirksam in der Behandlung der Depression (Haupteffekt Zeit, p < .001; gleichermaßen signifikante Effekte in der simple effects analysis)
• Die Wirksamkeit der Treatments unterschied sich jedoch (Wechselwirkung, p < .001)
• Während zur Baseline beide Behandlungsgruppen vergleichbar hinsichtlich ihrer Depressivität waren (simple effects analysis; Zeitpunkt 1: p = .057), hatten die Patienten der Gruppe CBT + Med nach Beendigung der Behandlung
niedrigere Werte als die Patienten der Gruppe CBT (Zeitpunkt 2: p < .001)

Multivariate Normalverteilung (innerhalb der Stufen des
unabhängigen Faktors):
kann mit SPSS nicht direkt geprüft werden

Näherungsweise durch Überprüfung der univariaten NV (jede Gruppe in jeder abhängigen Messung) bei Geltung der multivariaten NV ist auch jede Variable univariat normalverteilt (Umkehrschluss gilt jedoch nicht !!!)

(Sphärizität ist eine Voraussetzung für die mixed ANOVA)

Sphärizität (= Zirkularität):

• Mauchly-Test (wenn p > .05 ... Sphärizität gegeben)
• Annahme, dass die Varianzen der Differenzen aller Paare von abhängigen Messungen gleich sind
(bedeutet, dass die einzelnen Varianzen und Kovarianzen gleich sind.)

Erübrigt sich für den Fall bloß zweier abhängiger Messungen

Wenn man nur 2 abhängige Messungen hat, dann gibt es nur 1 Differenz (die ist natürlich mit sich selbst identisch) und deshalb muss bei 2 Messungen keine Sphärizität überprüft werden.

Was tun bei Verletzung? (Mauchly-Test signifikant)
... Greenhouse-Geisser- und Huynh-Feldt-Korrekturen: Bestimmung eines Faktors Epsilon zur Korrektur der Freiheitsgrade der F-Tests (Kontrolle der Typ-I-Fehlerrate)

• Greenhouse-Geisser konservativer (sicherere Variante)
• Huynh-Feldt progressiver

Wenn Korrekturen zu unterschiedlichen Ergebnissen bzgl. Verwerfung der H0 führen - ggf. Bildung eines Mittelwerts der jeweiligen p-Werte (Field, 2009, S. 476f.)


(Mixed ANOVA wie alle ANOVAs robustes Verfahren)
Sphärizität generell wichtige Voraussetzung - Empfehlung: wenn verletzt, Korrektur notwendig (ansonsten zu hohe Typ-I-Fehlerrate)

Wenn Sphärizität nicht gegeben ist, dann kann man auch eine MANOVA (multivariate ANOVA) berechnen. (wird von SPSS automatisch ausgegeben)

• Dafür darf der Box-M-Test nicht signifikant sein um die MANOVA durchzuführen: Varianz-Kovarianz-Matrizen müssen über die unabhängigen Gruppen gleich sein (p > .05)
• Nachteil: MANOVA hat im Allgemeinen eine geringere Testmacht als die mixed design ANOVA

Wie im Fall korrelativer Analysen (partielle Korrelation), kann auch im Fall der ANOVA für Dritt(Stör-)variablen kontrolliert werden
.... Kovarianzanalyse (analysis of covariance = ANCOVA)
= Varianzanalyse über die Residuen nach Entfernung des Einflusses der Störvariable auf die abhängige Variable

Ziel: Bereinigung der Daten von Störvariablen - Verkleinerung der Fehlervarianz - Erhöhung der Testmacht

Kovarianzanalyse

• Abhängige Variable wird auf die Störvariable regrediert. Alles was nicht durch die Störvariable vorhergesagt wird, wird mittels der Varianzanalyse betrachtet (Varianzanalyse auf Residuen)
• Störvariable – nicht gemessen / wenn gemessen wird diese Kontrollvariable genannt

ANCOVA vergleicht dann die Messwerte zwischen den Gruppen zum 2. Zeitpunkt (Endpunkt) unter Berücksichtigung der 1. Messung (Baseline) als Kovariate
- Hat mehr Testmacht als mixed design ANOVA

• Störvariable = Merkmal, das nicht miterhoben (= kontrolliert) wurde, aber die abhängige Variable (potentiell) beeinflusst
• Kontrollvariable = Störvariable, die gemessen (miterhoben) wurde und die nun im Rahmen der Analyse kontrolliert werden kann

Notwendig für die Kovarianzanalyse (analysis of covariance = ANCOVA) = Varianzanalyse über die Residuen nach Entfernung des Einflusses der Störvariable auf die abhängige Variable

Ziel: Bereinigung der Daten von Störvariablen Verkleinerung der Fehlervarianz Erhöhung der Testmacht

Für die Auswertung von RCTs mit zwei Messzeitpunkten und 2 oder mehr Gruppen wird allgemein ANCOVA empfohlen (vgl. Van Breukelen, 2006)

• ANCOVA vergleicht dann die Messwerte zwischen den Gruppen zum 2. Zeitpunkt (Endpunkt) unter Berücksichtigung der 1. Messung (Baseline) als Kovariate
• Hat mehr Testmacht als mixed design ANOVA

In unserem Beispiel sollte eigentlich nicht die mixed design ANOVA verwendet werden, sondern ANCOVA, da diese mehr Testmacht hat.

Varianzanalytische Designs zählen zu den wichtigsten Auswertungsmethoden der gesamten Statistik

• Erlauben die Untersuchung vielfältiger Fragestellungen
• Hohe Flexibilität in der Anwendung
• Allgemeines lineares Modell (ALM) hat jedoch Einschränkungen (Verteilungsannahmen, Homoskedastizität, Linearität, …)
• Erweiterungen des allgemeinen linearen Modells (ALM):
- Generalized Linear Model (GLM[GenLin]: Verteilung der abhängigen Variable kann anders als normal sein; Linearität der UV nicht zwingend notwendig)- Generalized Linear Mixed Model (GLMM/GEE: Erweiterung fester Effekte um zufällige; Modellierung unterschiedlichster abhängiger Datenstrukturen (z.B. Verletzung der Sphärizität möglich))

-Test vergleicht beobachtete Häufigkeiten mit erwarteten (bei Zutreffen der H0: „Die beiden Merkmale sind voneinander unabhängig“)

Erwartete Häufigkeiten eij ergeben sich aus den Randverteilungen unter Verwendung des Multiplikationstheorems (unabhängige Ereignisse)


(Die erste Formel zeigt, dass jeder Wert mit dem erwarteten Wert verglichen wird. / Die 2. Zeile zeigt die eigentlich, verkürzte Formel.)

• Teststatistik folgt asymptotisch einer -Verteilung mit einem Freiheitsgrad (df = 1; allgemein: df = [#Spalten − 1] × [# Zeilen − 1])
• Test wird einseitig durchgeführt, ist aber i. A. mit ungerichteter Alternativhypothese verbunden
(nur große Abweichungen der beobachteten von den erwarteten Werten sprechen für die Alternativhypothese; vgl. ANOVA)
• Kritischer -Wert (ungerichtete Hypothese, α = 0.05, df = 1) = 3.84

Voraussetzungen:

• Unabhängigkeit (kein Objekt findet sich in mehr als einer Zelle)
• Erwartete Häufigkeiten sind nicht zu klein (alle e > 5)
notwendig da dies ein asymptotischer Test/nicht-parametrischer Test ist)

-Test ist ein nicht-parametrischer Test (Daten müssen z.B. nicht normalverteilt sein)

Allerdings: Berechnungsformel (zurückgehend auf Karl Pearson) basiert auf der Approximation der eigentlichen Testverteilung (hypergeometrische Verteilung) durch die Normalverteilung
(zur Erinnerung: das Quadrat einer standardnormalverteilten Variable z ist χ2-verteilt: z2 ~ χ2, mit df = 1)
.... damit Approximation korrekt ist, dürfen erwartete Werte nicht zu klein sein !

Exakter Test durch Fisher-Yates-Test (Fisher‘s exact test).

Exakter Test durch Fisher-Yates-Test (Fisher‘s exact test)

• Verwendet direkt die hypergeometrische Verteilung und basiert auf der Permutation der Zellenhäufigkeiten bei gleichbleibenden Randhäufigkeiten
• Insbesondere für (sehr) kleine Stichproben geeignet !
• Kommt ohne die Voraussetzung e > 5 aus

(-Test hat die Voraussetzung, dass die erwartete Häufigkeiten nicht zu klein sind (alle e > 5) - damit die Approximation korrekt ist)

Kontinuitätskorrektur (Yates-Korrektur):
Häufigkeiten sind diskret, die χ2-Verteilung jedoch stetig - Korrektur der Berechnungsformel


Korrektur erbringt meist jedoch keine grundsätzlich verbesserte
Anpassung an die χ2-Verteilung (vgl. Adler, 1951)

• Empfohlen nur, wenn N £ 60
• Führt i. A. zu konservativeren Ergebnissen

Formal kann mittels der Analyse von 4-Felder-Tafeln auch die Differenz von Prozentwerten aus unabhängigen Stichproben überprüft werden
- z.B. Vergleich der Prävalenz eines Merkmals (vorhanden/nicht vorhanden) in unterschiedlichen Stichproben

Anteile (Prozentwerte) können zeilen- und spaltenweise aus 4-Felder- Tafel abgeleitet und darin abgebildet werden:



Ob Prozentwerte unterschiedlich sind, kann mittels χ2-Test geprüft werden
-  Hier ist auch Testung einer gerichteten Alternativhypothese möglich
(z.B. H1: „Prävalenz in Stichprobe 1 ist größer als in Stichprobe 2“)

Wie funktioniert Testung gerichteter Hypothese in der Theorie:
Statt kritischen Wert für df = 1 und α = 0.05, jenen für α = 0.10 nehmen (vgl. Bortz, 2005, S. 157)

• kritischer χ2-Wert = 2.71 statt 3.84
• mehr Testmacht

(in SPSS:

• p-Wert halbieren,
• α verdoppeln oder
• einseitigen p-Wert des Fisher-Tests heranziehen)

(nur möglich bei 4-Felder-Tafel - zur Erinnerung: das Quadrat einer standardnormalverteilten Variable z ist χ2-verteilt: z2 ~ χ2,
mit df = 1)

• Testung gerichteter Hypothese nur möglich bei df = 1 !!!
• Bei einem Freiheitsgrad ist χ2-Verteilung die Verteilung einer quadrierten standardnormalverteilten Variable:
- Symmetrie-Eigenschaften der Normalverteilung können hier eingesetzt werden für einseitige Testungen

Anders formuliert als Unterschiedshypothese:
Ist die Prävalenz familiärer Vorbelastung höher in Fällen mit früherem Beginn?
7-12 Jahre: 5/(5 + 6) = 0.45  45%
13-18 Jahre: 5/(5 + 24) = 0.17  17%

Ergebnis zu dieser Fragestellung:
Besteht zwischen familiärer Belastung und dem Manifestationsalter juveniler Epilepsie ein Zusammenhang?


Kontinuitätskorrektur ist konservativer (höherer p-Wert). Man muss sich überlegen welchen Test man heranzieht.

In der letzten Zeile steht noch dass nicht in allen Zellen die Häufigkeit größer als 5 sind (ev. Sample zu klein):
Nicht alle e > 5 !

• exakten Test heranziehen
• kein signifikantes Ergebnis

In welcher Zelle ist e < 5 ?

Zeigt welches Sample zu klein ist um die Voraussetzungen für die -basierte Analyse von 4-Felder-Tafeln zu erfüllen.

Man sollte sich an einem exakten Test orientieren.

Phi-Koeffizient: Produkt-Moment-Korrelation über zwei dichotome Merkmale


Vorzeichen nur dann von Bedeutung, wenn Merkmale ordinal - (monotoner Zusammenhang)
Wenn es nur nominal skalierte Merkmale sind, so verzichtet man auf ein Vorzeichen (man hat dann nur positive Werte) = atoner Zusammenhang.

rφ hat prinzipiell Eigenschaften eines Korrelationskoeffizienten
(Wertebereich −1 bis +1)

Cave: praktisch ist Wertebereich durch Randverteilungen eingeschränkt - maximaler Zusammenhang |rφ max | < 1 (nur bei gleichen Randverteilungen keine Einschränkungen)


Randverteilung muss gleich sein – damit phi-Koeffizient zw. 0 und 1 liegt. Die Verteilung darf schief sein, jedoch muss sie gleich schief sein.
- Bei einer ungleich schiefen Verteilung wie im 2. Beispiel kann der phi-Koeffizient maximal 0,429 werden. D.h. es gibt kein gutes Kriterium mehr um bei der Interpretation festzulegen ob ein Zusammenhang gut oder weniger gut ist.

Cave: praktisch ist Wertebereich durch Randverteilungen eingeschränkt - maximaler Zusammenhang |rφ max | < 1 (nur bei gleichen Randverteilungen keine Einschränkungen)

Randverteilung muss gleich sein – damit phi-Koeffizient zw. 0 und 1 liegt. Die Verteilung darf schief sein, jedoch muss sie gleich schief sein.
- Bei einer ungleich schiefen Verteilung wie im 2. Beispiel kann der phi-Koeffizient maximal 0,429 werden. D.h. es gibt kein gutes Kriterium mehr um bei der Interpretation festzulegen ob ein Zusammenhang gut oder weniger gut ist.

Einschränkung des Wertebereichs kein eigentliches Spezifikum von rφ
//Dies gibt es bei allen Korrelationskoeffizienten - jedoch tritt vor allem bei 4-Felder-Korrelation der Effekt extrem stark auf.

Gilt ebenso für Produkt-Moment-Korrelation metrischer Variablen, wenn diese nicht gleiche Verteilungen aufweisen (Carroll, 1961)

• Formeln für rφ max finden sich z.B. in Bortz, Lienert & Böhnke (2008, S. 327ff.)
• Korrektur wird jedoch nicht empfohlen rφ ist Maß des linearen
Zusammenhangs kann nur bei gleicher Randverteilung maximal sein
• Korrigiertes rφ kein Maß mehr des (rein) linearen Zusammenhangs

Signifikanztestung von rφ ergibt sich über χ2-Test
... Testmacht des χ2-Tests ebenso bei ungleichen Randverteilungen eingeschränkt

Phi-Korrelationskoeffizient


Für diese Tafel gilt:
rφ max = .5 


rφ* = .291/.5 = .582
Korrigiertes rφ doppelt so hoch wie nicht-korrigiertes!
Wir würden den Zusammenhang zur Hälfte unterschätzen, wenn man nur die 4-Felder-Tafel berücksichtigt.
(Stattdessen kann z.b. das odds-ratio verwendet werden)

Odds Ratio: OR; Chancenverhältnis, Quotenverhältnis, Kreuzproduktquotient
Chance ≠ Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlich a = a/(a+b)
Chance a:b (a wird direkt mit b verglichen ohne Bezug auf eine Grundgesamtheit)

• insbesondere in klinischer Forschung vielverwendet
• Generell für etliche statistische Tests und Methoden von Bedeutung (z.B. logistische Regression)
• OR ist ein symmetrisches Maß des Zusammenhangs für 4-Felder-Tafeln

a/b und c/d bezeichnen Chancen (z.B. 1:3) - OR ist Verhältnis dieser Chancen
(Wie hoch ist die Chance a/b zu beobachten im Verhältnis zu c/d?)

Symmetrisch bedeutet, dass X und Y vertauscht werden können, OR bleibt aber ident

ebenso ein symmetrisches Maß, Risk Ratio (siehe später) aber nicht

Weitere Eigenschaft: werden Zeilen oder Spalten vertauscht, wird der Kehrwert (= OR‘) des OR bestimmt

OR hat einen Wertebereich von 0 bis unendlich, kann nur positiv sein

Interpretation

• OR = 1: kein Zusammenhang vorhanden, Chancen sind gleichgroß, unterscheiden sich nicht (a/b = c/d)
• OR > 1: in Gruppe x = 1 sind die Chancen für y = 1 größer als in Gruppe x = 0 (a/b > c/d)
• OR < 1: in Gruppe x = 1 sind die Chancen für y = 1 kleiner als in Gruppe x = 0 (a/b < c/d)

ORs werden auch logarithmiert verwendet log OR (natürlicher Logarithmus) Wertebereich -∞ und +∞, log OR = 0 kein Zusammenhang

Beispiel

• Chancen einer frühen Manifestation bei familiärer Belastung 5:5 (oder 1:1)
• Chancen einer frühen Manifestation bei keiner Belastung 6:24
• Chancen bei familiärer Belastung 4-fach erhöht:

a)
Chancen einer frühen Manifestation bei familiärer Belastung 5:5 (oder 1:1)

b) Chancen einer frühen Manifestation bei keiner Belastung 6:24

c) Chancen bei familiärer Belastung 4-fach erhöht:

Odds-ratio für folgendes Beispiel inkl. Konfidenzintervall:


Zeigt das Odds ratio mit 4 an: Chancen bei familiärer Belastung 4-fach erhöht


Konfidenzintervall des OR inkludiert auch den Wert 1 (1=kein Zusammenhang vorhanden, Chancen sind gleichgroß)
- kein signifikant erhöhtes Quotenverhältnis;
Test der Signifikanz kann i. A. auch über χ2-Test erfolgen

Relatives Risiko (RR; relative risk, risk ratio) wie Odds Ratio wichtiger Kennwert in klinischer Forschung

RR gibt Auskunft darüber, ob das Vorhandensein eines (Risiko-) Faktors die Wahrscheinlichkeit (!= Chancen !!!) für ein bestimmtes (erwünschtes oder unerwünschtes) Outcome erhöht oder erniedrigt

• RR hat nicht die vielen rechnerischen günstigen Eigenschaften des OR
• Ist nicht symmetrisch und Vertauschen von Zeilen oder Spalten führt nicht zur Berechnung des Kehrwerts des Koeffizienten
•   Inhaltlich macht Anwendung des RR zudem nur in longitudinalen Studiendesigns (Längsschnittstudien) Sinn:
– Kohortenstudien und– RCTs
• Fragestellungen zur Inzidenz (Auftreten eines definierten Ereignisses während eines definierten Beobachtungszeitraums)
- Der Risikofaktor liegt bei den Vpn von Anfang an vor
• In bloßen Querschnittsstudien (Fall-Kontroll-Studien, Ein-Punkt-Erhebungen bzw. retrospektive Studien) ist Inzidenz nicht erhebbar.

Typische Fragestellungen für Anwendung des RR:

• Longitudinale Studien zum Auftreten (Inzidenz) von Erkrankungen in Abhängigkeit vom Vorhandensein definierter Risikofaktoren
• Vergleich zweier Behandlungsmethoden (clinical trial)

Typische Fragestellungen für Anwendung des RR:

• Longitudinale Studien zum Auftreten (Inzidenz) von Erkrankungen in Abhängigkeit vom Vorhandensein definierter Risikofaktoren
• Vergleich zweier Behandlungsmethoden (clinical trial)

(In nicht longitudinalen Studien darf kein RR erhoben werden, da man keinen Zeitverlauf hat)

RR hat einen Wertebereich von 0 bis unendlich, kann nur positiv sein

• RR = 1: keine Änderung der Inzidenz des definierten Outcomes durch Risikofaktor
P(Krankheit+|Risiko+) = P(Krankheit+|Risiko−)(Kein Zusammenhang)
• RR > 1: Risikofaktor erhöht Inzidenz des definierten Outcomes
P(Krankheit+|Risiko+) > P(Krankheit+|Risiko−)(Unterschied zwischen 2 Gruppen - Vorhandensein des Risikofaktors erhöht die Inzidenz der Krankheit)
• RR < 1: Risikofaktor erniedrigt Inzidenz des definierten Outcomes
P(Krankheit+|Risiko+) < P(Krankheit+|Risiko−)(Hier spricht man dann nicht von Risikofaktoren, sondern von protektiven Faktoren)

für seltene Ereignisse ist OR ein approximativer Schätzer des RR


(also kann man den RR schätzen obwohl man keinen longitudinale Studie hat - wird manchmal in der angewandten Forschung verwendet)

(OR = Chance // Risk ratio = Auftrittswahrscheinlichkeit)

• Sensitivität und Spezifität weitere Kennwerte, die sich in 4-Felder-Tafeln darstellen und aus 4-Felder-Tafeln folgern lassen
• Wichtig für diagnostische Tests: Medizin, (klinische) Psychologie, etc.
• Sensitivität = Wahrscheinlichkeit, dass Test einen positiven Fall erkennt - bedingte Wahrscheinlichkeit: P(Test +|Krankheit +)
(Krankheit liegt vor und der Test erkennt es)
• Spezifität = Wahrscheinlichkeit, dass Test einen negativen Fall erkennt bedingte Wahrscheinlichkeit: P(Test −|Krankheit −)
(Krankheit liegt nicht vor und der Test sagt dass die Antwort nicht vor liegt)
• Stehen im Zusammenhang mit Typ-I- (falsch-positive Fälle) und Typ-II Fehlerraten (falsch-negative Fälle) diagnostischer Tests
• Für Erhebung von Sensitivität und Spezifität, muss wahrer Status (Krankheit + oder −) bekannt sein Vergleich mit Gold Standard
(Man muss wissen ob eine Krankheit vorliegt oder nicht - z.B. durch etabliertes, aufwändiges Verfahren)
• Häufiger Anwendungsfall: Erhebung der Güte eines Screenings gegenüber einem längeren, aufwändigeren etablierten Verfahren

Sensitivität und Spezifität wichtige Kennwerte eines diagnostischen Tests je nach Anwendungsfall wichtig, ob eine hohe Sensitivität oder eine hohe Spezifität gegeben sein sollte

Sensitivität und Spezifität sind nicht von Prävalenz der Erkrankung abhängig  - es ist eine Eigenschaften des Tests

PPV (positiver Vorhersagewert) und NPV (negative Vorhersagewert) sind stark prävalenzabhängig.

• D.h. ob man der Aussage eines Tests trauen kann (Zuverlässigkeit), hängt nicht nur von Sensitivität und Spezifität ab, sondern auch von der Prävalenz des untersuchten Merkmals

Wie wahrscheinlich ist es, dass ein positives Testergebnis auf ein tatsächlich vorliegende Krankheit hinweist.

In der Anwendung (klinische Diagnostik) ist man an der bedingten Wahrscheinlichkeit interessiert, dass die Krankheit vorliegt, wenn der Test positiv ausfällt



PPV und NPV stark prävalenzabhängig.

• D.h. ob man der Aussage eines Tests trauen kann (Zuverlässigkeit), hängt nicht nur von Sensitivität und Spezifität ab, sondern auch von der Prävalenz des untersuchten Merkmals

Wenn Prävalenz niedrig:

• negatives Ergebnis sehr zuverlässiger Indikator, dass Krankheit −;
• positives Testergebnis allerdings schlechter Indikator, dass Krankheit +

(Anmerkung: bei der Prüfung muss nichts berechnet werden)

Standardisierte und unstandardisierte Effektgrößen

Unstandardisierte Effektgrößen sind Maße, die eine unmittelbare inhaltliche Bedeutsamkeit und Interpretation haben, z.B.

• Anzahl an Zigaretten, die im Schnitt pro Tag geraucht werden
• Krankenstandstage pro Jahr, die durchschnittlich auf einer bestimmte Erkrankung zurückgeführt werden können
• Gewichtsverlust in kg, der durch ein bestimmtes Diäts- und
Aktivitätsprogramm im Schnitt erzielt werden kann

Maße für unstandardisierte Effektgrößen z.B.

• Differenz von Gruppenmittelwerten (raw mean difference)
• Unstandardisierte Regressionskoeffizienten

Standardisierte Effektgrößen i. A. vor allem dann von Bedeutung, wenn zugrundeliegendes Maß keine unmittelbare Interpretation gestattet, z.B. Summenwerte in psychologischen Tests und Fragebögen

• Summenwert u. a. abhängig von Anzahl der Items und Anzahl der Abstufungen, die zur Beantwortung eines Items vorhanden sind
• Zwei Instrumente, die dasselbe gleich gut erfassen, haben durch Unterschiede in Itemanzahl und Itemabstufungen Unterschiede in ihrer Skalierung
• Skalierungsunterschiede sind artifiziell; sagen nichts über Unterschiede in der eigentlich gemessenen Eigenschaft aus

Standardisierte Effektgrößen erlauben Vergleich von Ergebnissen mit Instrumenten, die unterschiedliche Skalierung haben - Unterschiede werden durch Standardisierung kompensiert

Anwendung von Effektmaßen (standardisiert, unstandardisiert) vor allem auch in meta-analytischer Forschung (= Integration von Forschungsergebnissen unterschiedlicher Studien zur selben Forschungsfrage)

Häufig verwendete standardisierte Maße

• Cohens d (und andere Maße der d-Familie)
• Produkt-Moment-Korrelation r (und andere Maße der r-Familie)
• Eta2 (und andere Maße der Varianzaufklärung)
• Odds Ratio und Risk Ratio (und davon abgeleitete Kennwerte)

Standardisierte Effektgröße

• Cohens d relevant für alle Mittelwertsvergleiche zwischen zwei
(unabhängigen oder abhängigen) Gruppen
• Kann aus Gruppenmittelwerten, Standardabweichungen und ns oder aus der t-Statistik des t-Test berechnet werden (wird nicht von SPSS ausgegeben)

Cohens d gibt den Abstand zweier Verteilungen in Einheiten ihrer
gemeinsamen Standardabweichung an

Annahmen: Normalverteilung, Homogenität der Varianzen (t-Test !!!)

Annahmen: Normalverteilung, Homogenität der Varianzen (t-Test !!!)

Cohens d gibt den Abstand zweier Verteilungen in Einheiten ihrer
gemeinsamen Standardabweichung an

Faustregeln und Richtlinien zur Einschätzung der Größe eines Effekts (Cohen, 1988)

Standardabweichung wird auf das gleiche Maß gebracht und diese werden dann verglichen.

Analyse (t-Test für abhängige Daten) hat gezeigt, dass Veränderung hochsignifikant war – Größe des Effekts?
- Unserer Effekt war signifikant – aber wie groß ist denn der Effekt?
- Korrelation von 0,66 – Pre- und Post-Testwerte
- T-Wert und N wird zur Berechnung noch benötigt.


Dann muss die Berechnung des Cohens d manuell durchgeführt werden (in SPSS ist das Cohens d nicht implementiert.)


1,83 – sehr großer Effekt / auch 1,51 ist noch ein sehr großer Effekt.
Um keine Über – oder Unterschätzungen von Effekten zu haben, sollte die Formel mit den unabhängigen Designs verwendet werden.

Wenn r > .5, ist d der Differenzwerte größer als d in Metrik unabhängiger Stichproben (bei r = .5 idente Ergebnisse; ansonsten kleiner)

Beispiel:


In Messwiederholungsdesigns sollte d in der Metrik unabhängiger Stichproben berechnet werden (vgl. Dunlap et al., 1996) ansonsten droht Über- oder Unterschätzung von Effekten und Vergleiche mit Untersuchungen mit unabhängigen Designs (VG vs. KG) werden erschwert

Neben Cohens d existieren noch weitere verwandte Indizes, die ähnlich berechnet werden: z.B. Hedges g, Glass Δ.
- Cohens d vermutlich am meisten verwendet

r kann zudem in Cohens d umgerechnet werden und umgekehrt

Korrelative Herangehensweise und die Analyse von Mittelwertsunterschieden im allgemeinen linearen Modell (ALM) eigentlich dasselbe

(Hintergrund: Korrelationen (Zusammenhangshypothese) können als Mittelwertsunterschiede (Unterschiedshypothese) formuliert werden und umgekehrt)

Faustregeln und Richtlinien zur Einschätzung der Größe eines Effekts: Cohen (1988), Lipsey und Wilson (2001)

• Lipsey und Wilson (2001) argumentieren, dass Angaben Cohens nicht korrekt - Umrechnung von d nach r ergibt Benchmarks von .10, .24, .37
• Um konsistent zu sein, können auch schon kleinere Koeffizienten als von Cohen angenommen für mittlere und große Effekte stehen

Für mehrfaktorielle Designs wird auch das partielle Eta2 verwendet:

• Partielles Eta2 ist ein Maß der Varianzaufklärung unter Kontrolle (Herauspartialisierung) des Einflusses aller anderen Faktoren in der Gesamtvariabilität
• Wird von SPSS ausgegeben
• In einfaktoriellen Designs gilt: Eta2 = partielles Eta2
• In mehrfaktoriellen Designs gilt meist: Eta2 < partielles Eta2
• Interpretation als Maß der Varianzaufklärung bei partiellem Eta2 problematisch
- Addiert man in mehrfaktoriellen Designs die partiellen Eta2 aller Faktoren und Wechselwirkungen kann die Summe > 1 (Varianzaufklärung > 100%) sein- Faktoren erklären scheinbar mehr Varianz als vorhanden ist
• Empfehlung, statt partiellem Eta2 lediglich Eta2 zu benutzen und zu berichten, da dies weniger verzerrt - Berechnung mit der Hand

In mixed design ANOVA gibt es zwei Fehlerterme (QSFehler für ZSF, QSRes für ISF und Wechselwirkung)

Berechnung von (partiellem) Eta2 getrennt für unabhängigen und abhängigen Faktor

• Eta2 ein deskriptives Maß
• Statt Eta2 (= erklärte Varianz in der Stichprobe) wird deshalb häufiger auch vorgeschlagen, ω2 (Omega2 = Schätzer der erklärten Varianz in der Population) zu berechnen

Einerseits direkt über die entsprechenden QS (polynomiale Kontraste)


Andererseits auch über t- oder F-Werte der Kontrasttests (vgl. Field, 2009, S. 390, S. 532)


Quadrieren des oben erhaltenen Wertes erlaubt Angabe der erklärten Varianz (Cave: = in diesem Fall !)

Effektstärken: Wie groß sind Effekte der Kontraste (Depressive vs. Remittierte & Gesunde, Remittierte vs. Gesunde; polynomiale Kontraste)?

Der Faktor Gruppe erklärt 65% der Gesamtvarianz
Im einfaktoriellen Design gilt: partielles Eta2 = Eta2.

(gewichtete QS verwenden)
Linearer Term: Eta2 = 12082.501 / 19673.514 = .61
Quadratischer Term: Eta2 = 734.649 / 19673.514 = .04

Der Anteil der linearen Komponente ist 61%, jener der quadratischen 4% ergibt zusammen die 65% Varianzaufklärung des Faktors.

Polynomiale Komponenten sind orthogonal ... daher addieren sie sich zu Gesamteffekt des Faktors (dies sieht man im SPSS Ausdruck)

Betrachtet werden Eta2 als auch Cohens d.

Zu 1. SPSS Ausdruck - Tests der Innersubjekteffekte:
Partielles Eta2: addiert sich nicht auf 100% (> 100%) !
Zeit 87% der Varianz, Wechselwirkung 32%
Eta2 :
QSTotal_Innersubjekt = QSZeit + QSZeit * Behandlung + QSFehler(Zeit) = 11873.699
Zeit 82%, Wechselwirkung 6% (Wenn man auf die Partialisierung verzichtet hat man nur mehr ein Fünftel des Effekts!)

Zu 2. SPSS Ausdruck - Tests der Zwischensubjekteffekte:
Partielles Eta2: Behandlung 3% der Varianz
Eta2 :
QSTotal_Zwischensubjekt = QSBehandlung + QSFehler = 6012.600
Behandlung 3%
Partielles Eta2 und Eta2 sind hier wieder ident (nur ein Faktor in den Zwischensubjekteffekten)

Cohens d (berechnet mittels t-Tests):
Um die Effektivität der beiden Behandlungsarten im Pre-Post zu betrachten. Cohens d ist anschaulicher als Eta.

• Baseline-Testung CBT vs. CBT + Med: d = -0.37 (p = .057)
• Post-Testung CBT vs. CBT + Med: d = 0.78 (p < .001)
• CBT Prä/Post: d = 1.51 (p < .001) (Starker Effekt)
• CBT + Med Prä/Post: d = 2.74 (p < .001) (fast um 3-fache Standardabweichung besseres Ergebnis)

Effekt Prä/Post in CBT + Med deutlich größer als in CBT allein

Hintergrund - Berechnung NNT:


Inhaltliche Interpretation:

• Bereits ab 3 Patienten, die mit CBT + Med (Behandlung A) behandelt werden, profitiert schon ein Patient mehr von dieser Behandlung, verglichen mit der reinen CBT-Behandlung (Behandlung B) großer Effekt der Behandlung A gegenüber B (NNT sehr klein)
• Generell hängt Interpretation der NNT von der Art der Störung oder Erkrankung und den verglichenen Behandlungen ab (vgl. McQuay & Moore, 1997)
• NNT ist damit deskriptive Maßzahl für den Vergleich zweier spezifischer Methoden im Hinblick auf ein spezifisches interessierendes Ereignis (Outcome) nicht uneingeschränkt über beliebige Untersuchungen vergleichbar!

Effektstärken können auf unterschiedliche Art veranschaulicht werden, um deren Interpretation zu erleichtern.

Für Cohens d z.B.

•    Binomial Effect Size Display (BESD; Rosenthal & Rubin, 1982)*<div style="padding-left:5px;">Nonoverlap und Overlap</div>*   Perzentilvergleiche

Nonoverlap = Angabe in Prozent, wie stark Verteilungen nicht überlappen

•    Großer Effekt - Nonoverlap groß - Verteilungen überlappen wenig*   Kleiner Effekt - Nonoverlap klein - Verteilungen überlappen stark

Perzentilvergleiche

(z.B. 0,7 Perzeptil: großer Effekt: Im Schnitt geht es einem Behandelten besser als 3/4 der unbehandelten Personen.)

Spezifizierung der Größe von Effekten wichtig für die Planung (prospektiv) und zur Einschätzung der methodischen Güte (post hoc) von Studien - Festlegung eines N, das zum statistisch signifikanten Nachweis eines Effekts bestimmter Größe benötigt wird.

Zusammenhang zwischen den einzelnen Parameter.

Kennt man 3 der 4 Parameter (oder legt sie  fest), kann der 4. berechnet werden.

Festgelegt werden zur Ermittlung von N

• Signifikanzniveau (plus Entscheidung: einseitig/zweiseitig)
• Testmacht
• Effektgröße

Signifikanzniveau wird festgelegt basierend auf der Hypothese. (Häufig: 1% oder 5%)

Testmacht

• Wahrscheinlichkeit, dass H0 verworfen wird, wenn sie nicht gilt
•   = 1 − β; β = Fehler 2. Art = Wahrscheinlichkeit, dass H0 nicht verworfen wird, obwohl sie in der Population nicht gilt
• Testmacht wird üblicherweise mit .80 festgelegt
(vgl. Cohen, 1988: α : β = 1 : 4; wenn α = .05 β = .20 1 − β = .80)

Größe des Effekts kann üblicherweise

• inhaltlich begründet festgelegt werden
• aus Vorstudien erschlossen werden
• anhand konventioneller Cutoffs festgelegt werden (z.B. Cutoffs von Cohen):
z.B. im Rahmen der Forschung zu psychologischen Interventionen ist die Annahme eines großen Behandlungseffektes (d » 0.8) häufig angemessen

Festlegung der Effektgröße macht aus einer ansonsten unspezifischen H1 eine spezifische H1.

Um eine spezifische H1 bestmöglich (d.h. mit bekannter Power) zu testen, kann ein optimaler Stichprobenumfang bestimmt werden hilfreich für die Planung jeder empirischen Studie.

Bestimmung optimaler Stichprobenumfänge mithilfe von Tabellen (z.B. Bortz & Döring, 2002) oder Formeln (z.B. Bortz, 2008)

• Direkt anwendbar für alle möglichen Analysearten (z.B. t-Test, ANOVA, Korrelation, Regression, etc.)
• Empfehlenswertes frei verfügbares Programm: G*Power

α = .05 einseitig / Testmacht 1 − β = .80

Benötigtes n pro Gruppe, um einen Effekt gewählter Größe mit einer Testmacht von 80% und bei einseitiger Testung mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von 5% statistisch signifikant nachweisen zu können.

Wechselseitige Zusammenhänge zwischen N, Power, Effektgröße und Signifikanzniveau veranschaulichen noch ein weiteres Phänomen:
Mit steigendem N wird jede beliebige H0 mit Sicherheit verworfen

• Ist Stichprobe groß genug, kann jeder beliebig kleine Effekt signifikant werden
• Andererseits: selbst wenn ein Effekt existiert, kann die Stichprobe schlicht zu klein sein, um Signifikanz erreichen zu können underpowered study
• Verwerfen der H0 bedeutet nicht unbedingt, dass ein bedeutsamer Effekt gefunden wurde
• Beibehalten der H0 bedeutet nicht unbedingt, dass kein Effekt existiert

Veranschaulichung Zusammenhang N und p
Bsp.: Mittelwertsvergleich, t-Test für unabhängige Stichproben
M1= 100, M2 = 105, SDpooled = 25
...kleiner Effekt (d = 0.2)


Ist inhaltliche Interpretation, dass Effekt von d = 0.2 im gegebenen Fall bedeutsam, dann sind Studien dieser Größe schlicht zu klein und underpowered, um ihn zu belegen.

Unterste zwei Zeilen:
Ist inhaltliche Interpretation, dass Effekt von d = 0.2 im gegebenen Fall unbedeutend, dann erbringen Studien dieser Größe irrelevante signifikante Ergebnisse.

Selbst wenn ein Effekt existiert, kann die Stichprobe schlicht zu klein sein, um Signifikanz erreichen zu können ... underpowered study:
Beibehalten der H0 bedeutet nicht unbedingt, dass kein Effekt existiert.

Verwendung von Effektgrößen hilft

• inhaltlich unbedeutende Effekte (trotz ihrer möglichen Signifikanz) als solche zu erkennen
• Hinweise auf das Vorliegen hypothesenkonformer Effekte zu erhalten, selbst wenn Studie möglicherweise underpowered war (nicht-signifikantes Ergebnis)

Wichtig: Eine Einschätzung von Effektgrößen ist keine willkürliche, sondern soll empirisch betrieben werden (gut begründen)

Bei Fixierung von Signifikanzniveau, Effektgröße und N kann Power einer Studie berechnet werden
- Aussagen dazu, ob eine Untersuchung mit gegebenem N genug Power besitzt, um einen angenommenen Effekt nachweisen zu können

Hohe Power für empirische Untersuchungen eminent wichtig – wozu überhaupt eine Untersuchung machen, wenn keine reelle Chance für den Erhalt eines verwertbaren (= statistisch bedeutsamen) Ergebnisses besteht?

Power ist nicht nur an N gebunden.

Power lässt sich ebenso durch Studiendesign vergrößern

• Vergrößerung zu untersuchender Effekte
- Untersuchung homogener Samples – dadurch werden zufällige Varianzen kleiner und die Mittelwertsunterschiede größer- Matching und Parallelisierung: Varianzen werden hier reduziert. – Effekt wird vergrößert- Untersuchung von Extremgruppen: innerhalb der beiden Gruppen sind diese homogen.- Erhöhung der Dosis: mehr oder längere Interventionen- Outcomes untersuchen, die am direktesten das interessierende Konstrukt abbilden/repräsentieren
• Reduzierung des Messfehlers
- Messinstrumente mit kleinem Messfehler verwenden, d.h. Instrumente mit nachgewiesen hoher Reliabilität
• (Erhöhung von α)
wird man eher nicht erhöhen, da auch der Fehler 2. Art erhöht  (Verwerfen der H0 obwohl die H0 gilt) wird

Poweranalysen (a priori Berechnungen der Stichprobengröße) sind in moderner klinischer Forschung Standard - (obligatorischer) Teil von Studienprotokollen und Anträgen für
Forschungsförderung.

Erhebungsmethoden in der empirischen Forschung und klinischen
Psychologie nicht auf Selbstberichte (z.B. standardisierte Fragebögen) beschränkt.
Fremdbeurteilungen durch i. d. R. geschulte Rater stellen eine weitere wichtige Informationsquelle dar, z.B.:

• Beim Stellen von Diagnosen
• Für die klinische Einschätzung von Schweregraden (z.B. HRSD)
• Allgemein zur Einschätzung der Ausprägung beliebiger Merkmale

Analog zur Messgüte bei Fragebogenverfahren (Validität, Reliabilität, etc.) stellt sich auch bei Fremdbeurteilungen die Frage nach deren Güte

INTERRATERRELIABILITÄT
Kommen zwei (oder mehr) Beurteiler unabhängig voneinander zur
gleichen Einschätzung/Diagnose ?

INTERRATERRELIABILITÄT
Kommen zwei (oder mehr) Beurteiler unabhängig voneinander zur
gleichen Einschätzung/Diagnose ?
(notwendig bei Fremdbeurteilungen)

Interraterreliabilität liefert Aussagen hinsichtlich

• Genauigkeit von Urteilen
• Objektivität (sind Urteile unabhängig von der Person des jeweiligen Raters?)

Urteile sollten davon unabhängig sein, wer sie vergeben hat
(vgl. Wirtz & Caspar, 2002, S. 15)

• (prinzipielle) Austauschbarkeit der Rater
• Urteile eines Raters ausreichend
• Urteile spiegeln „wahre Merkmalsausprägung“ (klassische Testtheorie) reliabel wider

Erfassung und Untersuchung der Interraterreliabilität setzt voraus, dass

• mindestens zwei Rater
• Urteile zu denselben Objekten abgegeben haben

Interraterreliabilität kann dann mithilfe von Maßen der Beurteilerübereinstimmung berechnet werden.

Unterscheidung gemäß Skalenniveau und anhand der jeweils
verwendeten Definition von Übereinstimmung

• nominale/ordinale Skalen: Konkordanz
• metrische Skalen: Reliabilität i. e. S.

Konkordanz bezieht sich i. A. auf die (absolute) Gleichheit von Urteilen,
Reliabilität auf die Ähnlichkeit (relative Gleichheit) von Urteilen.

(Interraterreliabilität - Beurteilerübereinstimmung)

Konkordanz bezieht sich i. A. auf die (absolute) Gleichheit von Urteilen,
Reliabilität auf die Ähnlichkeit (relative Gleichheit) von Urteilen.
(Gut = Sehr gut  / Genügend != Sehr gut)

Diagnostik in der klinischen Psychologie basiert häufig auf der Anwendung strukturierter klinischer Interviews

Operationalisierte und standardisierte Diagnostik psychischer Störungen

• Objektiv (Standardisierung, Raterschulung)
•   Valide (operationalisierte Diagnostik nach ICD-10 und/oder DSM-IV)

Aber: Werden spezifische Diagnosen von unterschiedlichen Ratern nach Durchführung des Interviews übereinstimmend vergeben ?

Nicht-Übereinstimmungen i. A. erwartbar

• Ebene der Operationalisierung (z.B. unpräzise Diagnosekriterien)
• Ebene des Durchführenden (z.B. Symptomgewichtung, Anwendungsfehler)
• Ebene des Interviewten (z.B. unterschiedliche Offenheit)

DIPS (Diagnostisches Interview bei psychischen Störungen; Schneider & Margraf, 2005):   Erlaubt die standardisierte Diagnostik einer Anzahl definierter Störungsbilder nach ICD-10 und DSM-IV-TR

Angaben zur Konkordanz (in Bezug auf Lebenszeitdiagnosen) geschulter Rater im Manual (N = 237 Patienten)

Einfachste Möglichkeit der Konkordanzbestimmung

(Also 13% nicht übereinstimmende Resultate)

• Prozentuale Übereinstimmung einfaches und anschauliches Maß
• Allerdings: aus statistischer Sicht ist auch dann mit Übereinstimmungen zu rechnen, wenn Rater Urteile völlig zufällig vergeben (vgl. Analyse von Vier-Felder-Tafeln, χ2-Tests)
• Zufällige Übereinstimmungen werden in prozentualer Übereinstimmung nicht berücksichtigt und können somit zu einer Überschätzung der Konkordanz führen
... man kann jetzt folgendes verwenden: Cohens Kappa

Beispiel: 2 Rater und wie sie Major Depression diagnostiziert haben


Kappa = .73, p < .001 (einseitig)
Spricht ein Kappa von .73 für eine gute Konkordanz? - Ja.

Cutoffs für Kappa (Fleiss, 1981) – Signifikanz vorausgesetzt


Allerdings: Wertebereich und Ausprägung des Koeffizienten von einer Anzahl an Faktoren beeinflusst, die nicht Konkordanz selbst betreffen .... erschwert Interpretation von Kappa und verringert den Nutzen von Cutoffs

Kappa beeinflusst durch

• Randverteilungen (vgl. Phi-Koeffizient)
• Anzahl der Kategorien und der Besetzung von Zellen
• Prävalenz des untersuchten Merkmals

Effekte gehen in gleiche Richtung .... i. A. Unterschätzung der Konkordanz

Wertebereich und Ausprägung des Koeffizienten von einer Anzahl an Faktoren beeinflusst, die nicht Konkordanz selbst betreffen ... erschwert Interpretation von Kappa und verringert den Nutzen von Cutoffs

Kappa beeinflusst durch

• Randverteilungen (vgl. Phi-Koeffizient)
.... i. A. Unterschätzung der Konkordanz bei ungleichen Randverteilungen
• Anzahl der Kategorien und der Besetzung von Zellen
(Asendorpf & Wallbott, 1978)- geringe Anzahl an Beurteilungskategorien und/oder nur geringe Zellbesetzungen .... Unterschätzung der Konkordanz(Je weniger Kategorien oder geringe Werte in den Zellen (kleiner als 5) desto weniger Konkordanz)
• Prävalenz des untersuchten Merkmals
(Feinstein & Cicchetti, 1990; Spitznagel & Helzer, 1985)bei niedriger Prävalenz (ca. < 10% in der Stichprobe) ... Unterschätzung der Konkordanz

Effekte gehen in gleiche Richtung i. A. .... Unterschätzung der Konkordanz

Berechnung des gewichteten Kappa (weighted Kappa;
Cohen, 1968)
Kappa verrechnet alle Nicht-Übereinstimmungen gleich schwer, kann unangemessen sein, wenn Merkmale z.B. ordinal skaliert sind

Fleiss‘ Kappa

• Liegen Urteile von mehr als 2 Ratern vor und ist man an deren Übereinstimmung interessiert
• Mittlere Konkordanz aller Rater über alle Objekte
• Inhaltlich kann Fleiss‘ Kappa analog zu Cohens Kappa interpretiert werden, Gewichtung ist aber nicht möglich

Probleme des Kappa-Koeffizienten führten auch zur Empfehlung der Verwendung anderer Koeffizienten

• Für dichotome Ratingsskalen und 2 Rater z.B. Odds Ratio oder Yules Y (vgl. Wirtz & Caspar, 2002)
• Für metrische Ratingskalen ist insbesondere die Intraklassenkorrelation (ICC) ein gebräuchliches Maß zur Bestimmung der Interraterreliabilität
- Maß der Varianzaufklärung (Wertebereich 0 bis 1)- Für 2 oder mehr Rater geeignet- Erlaubt Bestimmung der absoluten oder der relativen Gleichheit von UrteilenIn SPSS (Analysieren > Skalieren > Reliabilitätsanalyse …) ausreichend implementiert

Parametrische Verfahren (z.B. F-Test, t-Test, ANOVA) wichtigste statistische Methoden der empirischen Forschung - aber haben Voraussetzungen

• Parametrische Verfahren eignen sich aber nicht für alle Daten
- Skalenniveau der abhängige Variable (AV) muss metrisch sein
• Stellen Anforderungen an die Verteilung und einzelne Parameter der Daten („parametrische Verfahren“); typischerweise:
- Normalverteilung- Varianzhomogenität
• Voraussetzungsverletzungen können Typ-I- und Typ-II-Fehlerhäufigkeiten beeinflussen

Nicht-parametrische Verfahren sind hingegen i. d. R. voraussetzungsärmer

• Benötigen nicht unbedingt metrische Daten
• Kommen häufig ohne Annahmen zur Verteilung aus
• Mathematische Grundlage nicht-parametrischer Verfahren aber heterogen und uneinheitlich (kein „allgemeines lineares Modell“ für nicht-parametrischen Verfahren)
• Häufig wird Ranginformation der Daten verwendet

Effizienz

• Bei Zutreffen ihrer Voraussetzungen haben parametrische Verfahren i. A. eine größere Effizienz - höhere Testmacht (p-Werte kleiner)
• Treffen Voraussetzungen nicht zu nicht-parametrische Methoden i. d. R. effizienter

Messniveau

• Metrisches Messniveau für parametrische Tests
• für alle anderen Skalenniveaus muss nicht-parametrisch getestet werden

Mathematisch-statistische Voraussetzungen

• Parametrische Verfahren stellen immer Voraussetzungen an die Verteilung der Daten
• Nicht-parametrische Verfahren benötigen ebenso öfter stetige Variablen und häufig auch die Homogenität der Populationsverteilungen

- Prüfung der Voraussetzungen für parametrische Tests jedoch häufig problematisch
- Erfolgt i. d. R. anhand der Stichprobe
- Voraussetzungen beziehen sich aber eigentlich auf Populationscharakteristika

Prüfung der Voraussetzungen für parametrische Tests jedoch häufig problematisch:  Erfolgt i. d. R. anhand der Stichprobe,  Voraussetzungen beziehen sich aber eigentlich auf Populationscharakteristika

Probleme von Voraussetzungstests

•   beruhen meist ebenso auf parametrischen Voraussetzungen
z.B. F-Test zur Überprüfung der Homogenität von Varianzen beruht auf der Annahme der Normalverteilung der Daten
• ' Stichprobengröße (vgl. Kapitel zu Effektgrößen)
- kleines N - geringe Testmacht - Verletzungen werden u. U. nicht erkannt- großes N - hohe Testmacht - bereits unbedeutende Abweichungen werden auffällig

Werden kleine Stichproben untersucht, können Voraussetzungen parametrischer Verfahren häufig nur ungenügend untersucht werden
Autoren wie Bortz und Lienert (2008, S. 59) plädieren deshalb dafür, bei kleineren Stichproben (N < 30) grundsätzlich nicht-parametrisch zu testen

Zentrales Grenzwerttheorem
Besagt, dass z.B. Mittelwerte sich ab etwa N = 30 normalverteilen, unabhängig von eigentlicher Verteilung der Messwerte - trägt zur Robustheit parametrischer Verfahren bei

Generell lässt sich folgern, dass, wenn nur kleine Stichproben (N < 30) untersucht werden können (vgl. Bortz & Lienert, 2008, S. 52)

• Nicht-parametrisch getestet werden sollte
• Möglichst große Effekte untersucht werden sollten
• Signifikante Ergebnisse i. d. R. auch auf große Effekte schließen lassen - Replikation wichtig !

Zentrales Grenzwerttheorem
Besagt, dass z.B. Mittelwerte sich ab etwa N = 30 normalverteilen, unabhängig von eigentlicher Verteilung der Messwerte - trägt zur Robustheit parametrischer Verfahren bei.

Bei größeren Stichproben (N > 30) sind insbesondere Verteilungsannahmen für parametrische Tests häufig vernachlässigbar.

Generell lässt sich folgern, dass, wenn nur kleine Stichproben (N < 30) untersucht werden können (vgl. Bortz & Lienert, 2008, S. 52)

• Nicht-parametrisch getestet werden sollte
• Möglichst große Effekte untersucht werden sollten
• Signifikante Ergebnisse i. d. R. auch auf große Effekte schließen lassen - Replikation wichtig !

Größerer Nachteil nicht-parametrischer Verfahren:
Nicht jeder parametrische Test hat eine nicht-parametrische Entsprechung
Multivariate (mehr als eine AV) und multifaktorielle Designs (mehr als eine UV) häufig nicht nicht-parametrisch testbar.

In der Praxis:

• Transformation der Daten, damit Verteilungsannahmen eher zutreffen (Log-/Wurzel-/Power-Transformationen, Box-Cox-Transformationen)
• Verwendung parametrischer Methoden, die nicht Normalverteilung oder Varianzhomogenität benötigen (z.B. linear mixed models, generalized mixed models)

Weiterer Nachteil nicht-parametrischer Verfahren:

• Effektstärken undefiniert
• p-Werte müssen (bei händischer Berechnung) bei kleinem N aus Tabellen abgelesen werden, da sie auf Permutationen und nicht auf definierten Prüfverteilungen (z.B. t-Verteilung) beruhen

Jedoch weisen die meisten nicht-parametrischen Tests asymptotische Eigenschaften auf

• wenn N genügend groß, folgen Teststatistiken definierten Verteilungen z.B. Standardnormalverteilung, χ2-Verteilung
• Dadurch können Power- und Effektstärkenberechnungen approximativ durchgeführt werden (vgl. Bortz & Lienert, 2008, S. 48f.)

Nicht-parametrische Verfahren / 2 unabhängige Stichproben

Mediantest prüft 2 unabhängige Stichproben auf Unterschiede in ihrer zentralen Tendenz (ist – neben U-Test – eine nicht-parametrische Entsprechung zum t-Test für unabhängige Stichproben)

H0: Die beiden Stichproben stammen aus Populationen mit gleichem Median

Verwendet Ranginformation der Daten geeignet für (originär)
ordinalskalierte und metrische abhängige Variablen

Mediantest ist i. A. der schwächste nicht-parametrische Test zur Untersuchung von Lageunterschieden.
Allerdings: sehr robust gegenüber Ausreißern, macht keinerlei Annahmen zur Form oder Homogenität der Verteilung in den Stichproben

Mediantest prüft 2 unabhängige Stichproben auf Unterschiede in ihrer zentralen Tendenz

Prinzip:

• Für beide Stichproben wird ein gemeinsamer Median bestimmt
• Auszählen, wie viele Messwerte in den jeweiligen Stichproben über und unter diesem Wert liegen
• Durchführen eines Vier-Felder-Tests (exakt oder asymptotisch)

Gruppe A und B unterscheiden sich signifikant hinsichtlich ihrer zentralen Tendenz

• Fällt bei ungeradzahligem N = N1 + N2 ein Messwert genau auf den gemeinsamen Median, kann dieser Messwert exkludiert werden
• Ansonsten kann auch ein Paramediantest durchgeführt werden - Dichotomisierung nahe am Median, um zu verhindern, dass Messwerte mit dem Trennwert identisch sind (vgl. Bortz & Lienert, 2008, S. 137)
• In SPSS wird eine Aufteilung in die Gruppen > Median und Median vorgenommen

• Mediantest kann auch einseitig durchgeführt werden (beim Vergleich zweier Stichproben, df = 1) - Halbierung des p-Wertes
• Kann auch sehr einfach für den Vergleich von k > 2 Gruppen erweitert werden
- keine Vier-Felder-Tafel, sondern k × 2 -Kontingenztafel
• Mediantest findet sich deshalb in SPSS unter Verfahren zum Vergleich von mehr als 2 Stichproben

Mediantest prüft 2 unabhängige Stichproben auf Unterschiede in ihrer zentralen Tendenz

Nicht-parametrische Verfahren / 2 unabhängige Stichproben

U-Test (Mann & Whitney, 1947; auch Wilcoxon-Rangsummentest [Wilcoxon, 1945] genannt) ist das nicht-parametrische Pendant zum t-Test für unabhängige Stichproben

• Prüft zwei unabhängige Verteilungen auf Unterschiede hinsichtlich ihrer zentralen Tendenz
• H0: Die beiden Stichproben stammen aus formgleich (homomer) verteilten Populationen mit gleichem Median
• U-Test macht Annahme, dass die Form beider Verteilungen gleich ist (Unterschied zum Mediantest! Verteilungen müssen aber nicht symmetrisch oder gar normal sein)
• Verwendet Ranginformation der Daten geeignet für (originär) ordinalskalierte und metrische abhängige Variablen

Prinzip des U-Tests:

• Die Messwerte beider Stichproben werden in eine gemeinsame Rangreihe gebracht (kleine Messwerte = niedrige Ränge)
• Rangsumme (U-Test) bzw. mittleren Rangplatz (Wilcoxon- Rangsummentest) pro Gruppe bestimmen
• Bestimmung der statistischen Größe U anhand der Rangsummen
bzw. von W anhand der mittleren Ränge- inferenzstatistische Absicherung

Rational: Wenn sich die Stichproben nicht in ihrer zentralen Tendenz (Median) unterscheiden, unterscheiden sie sich auch nicht in ihren mittleren Rängen

• Exakter Test für N1 ≤ N2 ≤ 20 Tabellen in Lehrbüchern bei händischer Berechnung
• Asymptotischer Test für größere Stichproben

Unser Beispiel: U = 10, exakter Test, zweiseitig: p = .081 /einseitig: p = .041

U-Test hat höhere Testmacht – wenn seine Voraussetzungen zutreffen – als Mediantest (nutzt mehr Information aus den Daten).

U-Test verliert an Macht und Gültigkeit, wenn (vgl. Bortz & Lienert, 2008)

• Ausreißer vorliegen
• Stichproben ungleich groß sind
• Daten in kleinerer Stichprobe mehr streuen als in größerer
• Boden- oder Deckeneffekte vorliegen

... in diesen Fällen eher Mediantest verwenden

Das Vorliegen von Bindungen beeinträchtigt ebenso die Prüfgröße U - Bindungen sollten für Signifikanztestung berücksichtigt werden

Das Vorliegen von Bindungen beeinträchtigt die Prüfgröße U  - Bindungen sollten für Signifikanztestung berücksichtigt werden

Bindungen treten auf, wenn gleichgroße Messwerte vorliegen - Messwerte „teilen“ sich dann Rangplätze

Alle drei Messwerte haben gleichen Rang (da gleichgroß)
Die Plätze 7, 8 und 9 werden für sie vergeben

Bindungskorrektur verkleinert Varianzschätzung () der Prüfgröße U - Korrektur führt eher zur Verwerfung der H0 (vgl. Bortz & Lienert, 2008, S. 146)

Für U-Test existiert keine eigenständige Definition einer Effektgröße

Allerdings:

• Berechnung und Angabe des sog. relativen Effekts mithilfe der mittleren Rangsummen (Mann & Whitney, 1947)

• Maßzahl der stochastischen Tendenz
interpretierbar als Wahrscheinlichkeit, dass eine Person aus Gruppe 2 einen höherer Wert als eine Person aus Gruppe 1 hat
• Weitere Möglichkeit über asymptotische Eigenschaften von U:
Verteilung von U kann mithilfe von z-Verteilung (Standardnormalverteilung) approximiert werden - approximative Bestimmung der Effektgröße r

Nicht-parametrische Verfahren: U-Test

Tabelle Ränge:
Angabe der mittleren Ränge und Rangsummen
Blick auf mittlere Ränge erlaubt Überprüfung, in welcher Gruppe niedrigere/höhere Werte vorlagen

Statistik für Test
Äquivalente Teststatistiken U und W, z- und p-Werte


Relativer Effekt interpretierbar als:
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person aus Gruppe B einen höheren Wert als eine Person aus Gruppe A hat, beträgt (gerundet) nur 21%.

Approximatives Effektmaß deutet auf einen großen Effekt (| r | > .40) hin

Mediantest lässt sich auch für k > 2 Stichproben einsetzen
H0: Die k Stichproben stammen aus Populationen mit gleichem Median

• Alternativhypothese hier nur ungerichtet möglich (Omnibustest, vgl. einfaktorielle ANOVA)
• Grundlage ist keine Vier-Felder-Tafel, sondern eine k × 2-Tafel

Nicht-parametrische Verfahren / k > 2 unabhängige Stichproben: Mediantest

Testergebnis:
Gemeinsamer Median = 10

• signifikanter Unterschied im Test über alle drei Gruppen; stärkere Wirkung von Präparaten A und B gegenüber C (aus Kontingenztafel gefolgert)
• ANOVA: p = .122 nicht signifikant
• Exakter Test notwendig, da in allen 6 Zellen die erwarteten Häufigkeiten < 5 sind!

Kruskal-Wallis-Test (H-Test; Kruskal & Wallis, 1952) ist Verallgemeinerung der Prinzipien des U-Test für k > 2 Stichproben
„klassisches“ Pendant der einfaktoriellen ANOVA

H0: Die k Stichproben stammen aus formgleich (homomer) verteilten Populationen mit gleichem Median

H-Test beruht ebenso auf Berechnung von Rangsummen und mittleren Rängen wie U-Test und Wilcoxon-Rangsummentest

Teststatistik H (bei größeren Stichproben) χ2-verteilt, mit df = k − 1

• Ebenso wie für U-Test gibt es eine Bindungskorrektur - vergrößert Wert der Teststatistik, führt eher zur Verwerfung der H0
• Alternativhypothese des H-Tests nur ungerichtet (Omnibustest)
• Bei kleinen Stichproben exakter Test, ansonsten asymptotischer Test
- Asymptotischer Test hinreichend genau, wenn kleinste Stichprobe > 5
• Mediantest kann (ebenso wie im Fall k = 2) auch im Fall k > 2 mächtiger sein als H-Test; i. A. hat H-Test aber mehr Macht (mehr Information)

Analog zu U-Test lassen sich relative Effekte berechnen

Stochastische Tendenz, dass Personen der j-ten Gruppe höhere Werte als durchschnittlich alle anderen Gruppen erzielten

Welche Gruppen sich bei signifikantem Omnibustest signifikant
voneinander unterscheiden, kann im H-Test (analog zur ANOVA) mittels Kontrasten und Post-Hoc-Prozeduren untersucht werden.

Familywise error wird implizit (Kontraste) oder explizit (Post-Hoc-Tests) kontrolliert.

Kontraste
Berechnung der kritischen Differenzen

Durch Verwendung von wird eine implizite Fehlerkontrolle angewandt - familywise error bleibt auf gewähltem α-Niveau


Post-Hoc-Tests:
2 äquivalente Methoden:

• Testung aller interessierenden (!) Vergleiche mittels U-Tests
• Bestimmung der kritischen Differenzen nach Siegel und Castellan (1988)

Explizite Fehlerkontrolle: Bonferroni-Korrektur als einfachste Methode:

• Werden alle k Gruppen miteinander verglichen, kann α* sehr niedrig und die Testung damit sehr konservativ werden !
• A priori Auswahl und Beschränkung auf jene Vergleiche, die von Interesse sind - m‘ (= Anzahl dieser Vergleiche) ist dann kleiner als m und Testung damit weniger konservativ

Kritische Differenzen nach Siegel und Castellan mit expliziter
Fehlerkontrolle

• ist kritischer z-Wert von α* - kann aus Tabellen abgelesen werden
• Vorgehen ist äquivalent zur Anwendung sequentieller U-Tests

Größe der kritischen Differenzen (implizite/explizite Fehlerkontrolle) abhängig von der Größe der verglichenen Stichproben (= Nj)

Sind Stichproben nicht gleich groß, müssen für jeden Vergleich unterschiedliche kritische Differenzen bestimmt werden

Ränge:
Mittlere Ränge: niedrigste bei den Gesunden, höchste bei den Depressiven

Statistik für Test
Testergebnis signifikant  -  p < .001
Zum Vergleich:
Mediantest ebenso signifikant (p < .001), geringere Testmacht zeigt sich aber in niedrigerem χ2-Wert (χ2 = 58.65, df = 2)

Gesunde haben die niedrigste Wahrscheinlichkeit höhere Werte als alle anderen aufzuweisen, Depressive haben die höchste Wahrscheinlichkeit

Ähnlich wie in ANOVA kann auch nicht-parametrisch das Vorhandensein eines (monotonen) Trends untersucht werden - Jonckheere-Terpstra-Test

Test „funktioniert“ ähnlich wie H-Test (ist ebenso ein Omnibustest;
gleiche H0):

• H0: Die k Stichproben stammen aus formgleich (homomer) verteilten Populationen mit gleichem Median
•   Allerdings wird auch eine Rangordnung in der unabhängigen Variable angenommen
- Testrational entspricht einem additiven Verfahren einseitiger U-Tests
• H1: Die Mediane der k Stichproben folgen einer schwach monotonen Rangordnung:
(an zumindest einer Stelle muss das „“ durch ein „“ ersetzbar sein)

• Anwendung des Jonckheere-Terpstra-Test setzt voraus, dass schon a priori Annahmen zur Rangreihung der unabhängigen Variable vorliegen (wie in ANOVA)
- Prüfung dieser Annahme, keine a posteriori Bestätigung !
• Verfahren führt (asymptotisch, wenn N groß genug) zu einer z-verteilten Prüfstatistik
• Für Testung in SPSS muss die unabhängige Variable so kodiert sein, dass sie der zu testenden Rangreihung entspricht (analog in ANOVA)

Nicht-parametrische Verfahren / 2 abhängige Stichproben:

McNemar-Test (McNemar, 1947) ist einfachstes nicht-parametrisches Verfahren zur Untersuchung dichotomer Merkmale in 2 abhängigen Stichproben (Test zweier abhängiger prozentualer Anteile)
-  Häufigkeitentest, χ2-Test (basiert auf einer 4-Felder-Tafel)

Anwendung des McNemar-Test richtet sich nach dem Vorliegen abhängiger Datenstrukturen:

• Ein Merkmal wird mehrfach gemessen (Veränderungsmessung)
• Zwei Stichproben werden parallelisiert (matched samples) -Aussagen dazu, ob ein Merkmal in einer Stichprobe häufiger vorhanden ist, als in der anderen
• Vergleich der Zuwachsraten von zwei Merkmalen in einer Stichprobe: verändern sich zwei Merkmale mit unterschiedlicher Häufigkeit durch z.B. eine Behandlung?

Nicht-parametrische Verfahren / 2 abhängige Stichproben

Prinzip (Veränderungshypothese):

• Wenn sich nichts geändert hat, sollten sich in den Zellen b und c keine Unterschiede zeigen (Zellen a und d tragen keine Information !)

• Erwartungswerte dieser Zellen:
• Inferenzstatistische Untersuchung über Vergleich dieser Erwartungswerte mit den beobachteten Werten in Zellen b und c

Voraussetzungen (vgl. χ2-Tests in Kontingenztafeln)

• Untersuchungsobjekte müssen eindeutig in das 4-Felder-Schema eingeordnet werden können
• Die erwarteten Häufigkeiten der Felder b und c sind > 5 (asymptotischer Test!)

Falls Voraussetzung des asymptotischen Tests nicht gegeben ist, kann Binomialtest (= exakter Test) verwendet werden (mit Parametern p = .5 und N = b + c)

Wie für 4-Felder-Test kann auch eine Kontinuitätskorrektur verwendet werden konservativere Testung.

Kreuztabelle:
Kreuztabelle mit den absoluten Häufigkeiten

Tabelle Chi-Quadrat-Test:
Exakter Test (= Binomialtest) wird durchgeführt
p = .008 (2-seitig) p = .004 (1-seitig)
= signifikantes Ergebnis - Es zeigt sich eine eindeutige Verringerung der Auftrittshäufigkeit eines metabolischen Syndroms.

Voraussetzung für McNemar-Test: Die erwarteten Häufigkeiten der Felder b und c sind > 5 (asymptotischer Test!)
Falls Voraussetzung des asymptotischen Tests nicht gegeben ist, kann Binomialtest (= exakter Test) verwendet werden.

Problematisch kann es sein, wenn viele Nulldifferenzen vorliegen

• Ausschließen aus der Testung begünstigt tendenziell die
Verwerfung der H0
• Alternativ kann die Hälfte der Nulldifferenzen ein positives, die andere Hälfte ein negatives Vorzeichen erhalten und in die Testung inkludiert werden

(Nicht parametrische Verfahren / 2 abhängige Stichproben: Vorzeichentest )
Tabelle Häufigkeiten:

• 53 Patienten zeigten eine Verbesserung
(T2 < T1 „Negative Differenzen“)
• 3 Patienten zeigten eine Verschlechterung
(T2 > T1 „Positive Differenzen“)
• 0 Patienten blieben gleich („Bindungen“)

Tabelle Statistik für Tests:
Asymptotischer Test (N groß genug) wird durchgeführt
p < .001 (2-seitig) p < .001 (1-seitig)

(nicht parametrische Verfahren: 2 abhängige Stichproben)

Wilcoxon-Test (Wilcoxon, 1945; auch Vorzeichenrangtest genannt) das Pendant des t-Tests für abhängige Stichproben

•   Geeignet nur für metrische Daten
• H0: Die beiden abhängigen Stichproben stammen aus Verteilungen mit gleichem Median

Prinzip des Tests:

• Bildung der Differenzen di der Messwertepaare
• Rangreihung der absoluten Differenzen
• Notieren, ob Differenz positiv (+) oder negativ (−) [oder Null (0)]
• Bestimmung der positiven und negativen Rangsummen (vgl. U-Test) - Inferenzstatistische Absicherung

Beispiel:

Rangsummen:
T(+) = 49
T(−) = 17

Exakter Test für N ≤ 50 Tabellen in Lehrbüchern

Asymptotischer Test für größere Stichproben

Unser Beispiel:
T = 17, exakter Test,
zweiseitig: p = .175
einseitig: p = .087

Wie für U-Test gibt es eine Bindungskorrektur (vgl. Bortz & Lienert, 2008, S. 196), wenn gleiche Differenzwerte vorliegen Anwendung der Korrektur führt eher zur Verwerfung der H0

Fälle mit Nulldifferenzen können ebenso wie beim Vorzeichentest

• ausgeschlossen werden (begünstigt tendenziell Verwerfung der H0)
• oder erhalten generell den Rang (p + 1)/2
(p = Anzahl der Nulldifferenzen; vgl. Bortz & Lienert, 2008, S. 196)

• Wilcoxon-Test i. A. effizienter als Vorzeichentest (verwendet mehr Information aus den Daten)
• i. A. robust gegenüber Dispersionsunterschieden in den abhängigen Messungen
(Unterschiede in Streuungen haben keine großen Auswirkungen.)
• Allerdings:
─ Hohes Messniveau Voraussetzung des Tests─ Differenzen der Messungen müssen auf einer Intervallskala liegen - metrisches Messniveau erforderlich─ Unterschiede in der Dispersion können u. U. auch Testmachtschmälern - Vorzeichentest kann dann effizienter sein !
• Asymptotische Eigenschaften des Tests können zur Bestimmung einer approximativen Effektgröße wie im U-Test verwendet werden Verwendung des z-Wertes unter Heranziehung der Formel beim U-Test

(Nicht-parametrische Verfahren / k > 2 abhängige Stichproben)
Friedman-Test (Friedman, 1937; auch Rangvarianzanalyse genannt) das nichtparametrische Pendant zur einfaktoriellen abhängigen ANOVA

• H0: Die k abhängigen Stichproben stammen aus Verteilungen mit gleichem Median
• Geeignet für (originär) ordinalskalierte und metrische Daten
• Prinzip des Tests:
- Rangreihung der Messungen innerhalb jeder Beobachtungseinheit- Bestimmung der Rangsummen (vgl. U-Test) je Messung - Inferenzstatistische Absicherung

Beispiel:

Wenn sich die abhängigen Messungen nicht in ihren Rangsummen unterscheiden, unterscheiden sie sich auch nicht in ihrer zentralen Tendenz (Median).

• Teststatistik asymptotisch χ2-verteilt, mit df = k − 1 (vgl. Kruskal-Wallis-Test)

• Beispiel führt zu χ2 = 2.57, df = 2, p = .276 (asympt.), p = .305 (exakt)
(2,57 – ist nicht signifikant – vielleicht ist die Stichprobe zu klein bzw. die Unterschiede zu klein.)
• Bindungskorrektur möglich (vgl. Bortz & Lienert, 2008, S. 205) - führt eher zur Verwerfung der H0
• Alternativhypothese des Friedman-Tests nur ungerichtet (Omnibustest)
• Bei kleinen Stichproben exakter Test

Kontraste

• Wie im Fall des Kruskal-Wallis-Test Berechnung kritischer Differenzen der mittleren Rangsummen

• Durch Verwendung des kritischen Wertes wird eine implizite
Fehlerkontrolle angewandt familywise error bleibt auf gewähltemα-Niveau

Post-Hoc-Tests

• Kritische Differenzen mit expliziter Fehlerkontrolle

• zα* ist kritischer z-Wert von α* (= Bonferroni-korrigiertes α)  kann aus Tabellen abgelesen werden
• Vorgehen ist laut Field (2009) (im Wesentlichen) äquivalent zur
Anwendung sequentieller Wilcoxon-Tests - stimmt nur bedingt, Voraussetzungen des Friedman- und des Wilcoxon-Tests sind nicht ident !

Beispiel: (vgl. Wilkinson-Tough et al., 2009)
Fallserie zur Untersuchung der Wirkung einer Mindfulness-basierten Therapiemethode bei Patienten mit Zwangsgedanken 7 Patienten, die im Rahmen eines A-B-C-Designs zunächst eine Phase ohne Behandlung (Phase A; 2 Wochen; Baseline), dann eine Phase in der sie angeleitet und selbständig Progressive Muskelrelaxation anwandten (Phase B; 2-3 Wochen; PMR) und eine Phase in der sie schließlich 6 wöchentliche einstündige Therapieeinheiten mit Psychoedukation und Mindfulness-basierter Psychotherapie erhielten (Phase C; 6 Wochen; Mindfulness). Die Patienten wurden aufgefordert, die in den Therapiephasen gelernten Übungen selbständig weiterzuführen. Zwei Monate nach Ende von Phase C wurde eine Katamnese durchgeführt.

Primäres Outcomemaß: YBOCS (Yale-Brown Obsessive-Compulsive Scale; Werte > 15 klinisch relevant)

• Kontraste: eine kritische Differenz für alle Einzelvergleiche
kritischer χ2-Wert (α = .05, df = 3): 7.81
• Post-Hoc-Tests: Wilcoxon-Tests, α* = .05/3 = .017
• Effektstärken: anhand der z-Werte der Wilcoxon-Tests (sehr approximativ!!!)

Ausgabe mittlerer Ränge (oben)
Nach der Mindfulness-Intervention sind die Werte am niedrigsten;
die höchstenWerte liegen zu Beginn vor (Baseline)

Tabelle Statistik für Test
Die H0 wird verworfen, p < .001 (asymptotischer Test)