Was versteht man unter einer Nullstelle?
Nenne passend zu diesem Begriff drei gleichwertige Aufgabenstellungen .
Nenne passend zu diesem Begriff drei gleichwertige Aufgabenstellungen .
Nullstellen einer Funktion sind die Zahlen, die beim Einsetzten in die Funktion den y-Wert 0 ergeben 
.
Aufgabenstellung 1:
Finde die Nullstellen der Funktion f.
Aufgabenstellung 2:
Finde alle Stellen, bei denen das Schaubild der Funktion f die x-Achse schneidet oder berührt.
Aufgabenstellung 3:
Löse die Geichung f(x)=0.
.Aufgabenstellung 1:
Finde die Nullstellen der Funktion f.
Aufgabenstellung 2:
Finde alle Stellen, bei denen das Schaubild der Funktion f die x-Achse schneidet oder berührt.
Aufgabenstellung 3:
Löse die Geichung f(x)=0.
Tags: Begriffe, Nullstelle
Quelle:
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Wie geht man bei der Nullstellensuche vor?
Welchen wichtigen Satz verwendet man hierbei?
Welchen wichtigen Satz verwendet man hierbei?
Versuche den Funktionsterm als Produkt zu schreiben.
1. Möglichst x oder x-Potenzen ausklammern.
2. Biquadratische Gleichungen durch Substitution lösen.
3. Die Summe bei Quadratische Gleichungen mit binomischen
Formeln in ein Produkt umwandeln.
4. (Polynomdivision ist nicht mehr Lehrplanstoff in Baden-Württem-
berg).
Wir überlegen bei der Nullstellensuche, für welche Zahlen die einzelnen Faktoren null ergeben. Hierbei verwenden wir den
Satz:
Ein Produkt ist genau dann null, wenn (mindestens) einer der Faktoren null ergibt.
Bemerkungen:
kann niemals null ergeben.
1. Möglichst x oder x-Potenzen ausklammern.
2. Biquadratische Gleichungen durch Substitution lösen.
3. Die Summe bei Quadratische Gleichungen mit binomischen
Formeln in ein Produkt umwandeln.
4. (Polynomdivision ist nicht mehr Lehrplanstoff in Baden-Württem-
berg).
Wir überlegen bei der Nullstellensuche, für welche Zahlen die einzelnen Faktoren null ergeben. Hierbei verwenden wir den
Satz:
Ein Produkt ist genau dann null, wenn (mindestens) einer der Faktoren null ergibt.
Bemerkungen:
kann niemals null ergeben.Tags: Nullstelle, Produktform
Quelle:
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Welche Eigenschaft hat die Funktion 
?
?Die Funktion besitzt eine einfache Nullstelle bei 
und 
, eine doppelte Nullstelle bei 
und eine dreifache Nullstelle bei 
.
Das Schaubild schneidet die x-Achse bei den einfachen Nullstellen (lokal nährungsweise wie eine Gerade), es berührt die x-Achse bei der doppelten Nullstellen (näherungsweise wie eine Parabel) und schneidet die x-Achse in einem Sattelpunkt (auch Terassenpunkt) bei der dreifachen Nullstelle (lokal wie einer Parabel dritter Ordnung).
und , eine doppelte Nullstelle bei und eine dreifache Nullstelle bei .Das Schaubild schneidet die x-Achse bei den einfachen Nullstellen (lokal nährungsweise wie eine Gerade), es berührt die x-Achse bei der doppelten Nullstellen (näherungsweise wie eine Parabel) und schneidet die x-Achse in einem Sattelpunkt (auch Terassenpunkt) bei der dreifachen Nullstelle (lokal wie einer Parabel dritter Ordnung).
Tags: Funktion, Nullstelle, Produktform, Sattelpunkt, Terassenpunkt
Quelle:
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Finde eine Funktion deren Schaubild an der Stelle und die x-Achse durchschneidet, an der Stelle 
die x-Achse berührt und die y-Achse im Punkt (0/6) schneidet.
und die x-Achse durchschneidet, an der Stelle die x-Achse berührt und die y-Achse im Punkt (0/6) schneidet.Für die Lösung dieser Aufgabe benötigt man nicht unbedingt die Differenzialrechnung.
Die einfache Nullstelle liefert den Faktor
, die doppelte Nullstelle (bei x=1) entsprechend 
. Hieraus ergibt sich eine (Hilfs-)Funktion 
, die wir so in y-Richtung strecken, dass das Schaubild der gestreckten Funktion durch (0/6) verläuft. 
Aus (0/6) folgt:
also
.
(Bei f(x) handelt es sich um eine ganzrationale Funktion, aber eine Darstellung in Summenform ist nicht gefordert! Kontrolliere das Ergebnis mit dem GTR/CAS.)
Die einfache Nullstelle liefert den Faktor
, die doppelte Nullstelle (bei x=1) entsprechend . Hieraus ergibt sich eine (Hilfs-)Funktion , die wir so in y-Richtung strecken, dass das Schaubild der gestreckten Funktion durch (0/6) verläuft. Aus (0/6) folgt:
also
.(Bei f(x) handelt es sich um eine ganzrationale Funktion, aber eine Darstellung in Summenform ist nicht gefordert! Kontrolliere das Ergebnis mit dem GTR/CAS.)
Tags: Funktion, ganzrational, Nullstelle, Produktform, Streckung
Quelle:
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Warum hat eine ganzrationale Funktion vom Grad n höchstens n Nullstellen?
Jede Nullstelle 
einer ganzrationalen Funktion erzeugt in der Produktform einen Linearfaktor der Form 
.
Gäbe es mehr als n Nullstellen, könnte man die Funktion in der Produktdarstellung mit mehr als n Linearfaktoren darstellen. Beim Ausmultiplizieren wäre hierbei die größte x-Potenz größer als n. Das kann nicht sein.
Beachte: Es gibt natürlich ganzrationale Funktionen vom Grad n mit weniger als n Nullstellen.
Beispiel:
hat gar keine Nullstelle.
einer ganzrationalen Funktion erzeugt in der Produktform einen Linearfaktor der Form . Gäbe es mehr als n Nullstellen, könnte man die Funktion in der Produktdarstellung mit mehr als n Linearfaktoren darstellen. Beim Ausmultiplizieren wäre hierbei die größte x-Potenz größer als n. Das kann nicht sein.
Beachte: Es gibt natürlich ganzrationale Funktionen vom Grad n mit weniger als n Nullstellen.
Beispiel:
hat gar keine Nullstelle.Tags: ganzrational, Grad, Nullstelle
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Kartensatzinfo:
Autor: www.mathematik-bw.de
Oberthema: Mathematik
Thema: 10. Klasse
Schule / Uni: Clara-Schumann-Gymnasium
Ort: Lahr
Veröffentlicht: 23.12.2009
Schlagwörter Karten:
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