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Die Koordinaten des Streckenmittelpunktes sind die "Durchschnitte" der jeweiligen Eckkoordinaten.

mit:
   und   .

Der Schwerpunkt S eines Dreiecks errechnet sich als "physikalischer Mittelpunkt" (Besondere Punkte im Dreieck) analog:

mit:
   und   .

Mit Hilfe der Tangensbeziehung am rechtwinkligen Dreieck folgt aus dem Steigungsdreieck für den Steigungswinkel .

Bei einer Geraden mit der Steigung eins ist das Verhältnis aus Hochwert zu Rechtswert bei jedem Steigungsdreieck 1. Der Steigungswinkel ist hierbei Basiswinkel eines rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecks und somit gleich 45°.

Steigungswinkel können Werte zwischen -90° und +90° annehmen. (Bei +/-90° ist die Geradensteigung nicht definiert, da die Gerade parallel zur y-Achse verläuft - der Rechtswert bei allen Steigungsdreiecken ist hier 0!)

(Lässt man keine negativen Steigungswinkel zu, liegen die Steigungswinkel zwischen 0° und 180°, wobei die Steigungen der Geraden ab 90° negativ verlaufen.)

Liegt der y-Wert des rechten Punktes unterhalb des y-Wertes des linken, dann "fällt die Gerade an". Der Steigungswinkel (und die Steigung) ist in diesen Fällen negativ.

Erstelle zunächst eine Skizze!
Bestimme die Steigungswinkel zu jeder einzelnen Geraden und errechne hieraus den Wert für die Steigungswinkel beider Geraden.
Beachte, dass man je nach Lage der Geraden die Steigungswinkel addieren bzw. voneinander subtrahieren muss. Aus diesem Grund ist bei dieser Aufgabenstellung eine Skizze unbedingt zu empfehlen.

Linktipp: Landesbildungsserver Baden-Württemberg

Antwort
Schaubild der Kehrwertfunktion heißt Hyperbel: blau
Schaubild der Quadratfunktion (heißt Nomalparabel): rot
Schaubild der Wurzelfunktion: grün

Eine Antiproportionalität ist eine „gestreckte“ Kehrwertfunktion. Das Verdoppeln des x-Wertes bewirkt stets eine Halbierung des entsprechenden Funktionswertes.

Linktipp: Die wichtigsten Funktionen mit ihren Schaubildern

Man wählt zu einer Stelle eine „Nachbarstelle“ und bildet mit den zugehörigen Funktionswerten den so genannten Differenzenquotienten

Durch Ausklammern von h im Zähler und durch Kürzen mit h (bzw. geschicktes Umformen) wird der Bruch „reif für den Grenz­über­gang“: .

Nur wenn die Funktionsvariable (x) eine Zeit beschreibt, spricht man von momentaner Änderungsrate. In allen anderen Fällen sagt man lokale Änderungsrate.

Geometrisch entspricht dieser Grenzübergang dem Übergang von einer Sekante zur Tangenten.

Linktipp: Von der Sekanten zur Tangenten

Da die Kreisfläche nicht von der Zeit abhängt, handelt es sich um eine lokale ÄndR.
Bestandsfunktion:
Differenzenquotient:


Der Differenzenquotient ist nun "reif für den Grenzübergang", denn nach dem Kürzen mit h kann der Nenner nicht mehr null werden.



Hieraus folgt für die lokale ÄndR und für die lokale ÄndR .

Die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x ist über den Grenzwert des Differenzenquotienten definiert:

Kürzen mit h und Durchführung des Grenzübergangs führt zum Ergebnis: 

Achtung: Häufige Rechenfehler beim Aufstellen des Differenzenquotienten, da Minusklammern auftreten, sobald die Funktion aus einer Summe oder Differenz besteht.

  (HN im Zähler ist )




Kürzen mit h und Durchführung des Grenzübergangs führt zum Ergebnis: 

Achtung: Beachte, dass das Minuszeichen in der dritten Zeile auf wirkt. Hierdurch kommt das Minus im Ergebnis zustande.

  (Wurzel im Zähler verschwinden durch "geschicktes" Erweitern)




Kürzen mit h und Durchführung des Grenzübergangs führt zum Ergebnis: 

Achtung: Beim "geschickten" Erweitern wurde die dritte binomische Formel ausgenutzt.
und

Aus der Bedingung folgt die (Achsen-)Sym­me­trie des Schaubildes von f zur y-Achse
Beachte, dass man die entsprechende Funktion als "gerade" bezeichnet - nicht aber das Schaubild!
Beispiele:
- Jede konstante Funktion
-  Potenzfunktionen mit  gerader, ganzzahligen Hochzahl:
  
- Jede ganzrationale Funktion  mit ausschließlich geraden
   "x-Potenzen" .
  
  
- Die Kosinusfunktion mit beliebigem
   .
- Die Nullfunktion . (Einzige Funktion die sowohl
  gerade, als auch ungerade ist.)

Bemerkungen:
In Worten bedeutet die obige Gleichung: "Betrachtet man
auf der x-Achse eine Zahl und ihre Gegenzahl, so sind auch die entsprechenden y-Werte identisch."
Gerade Zahlen haben immer die Form eines Produkt aus einer natürlichen Zahl mit 2.

Aus der Bedingung folgt die Punktsym­me­trie des Schaubildes von f zum Ur­sprung
Beachte, dass man die entsprechende Funktion als "ungerade" bezeichnet - nicht aber das Schaubild!
Beispiele:
- Jede Proportionalität oder
   allg. Potenzfktn. mit ungerader, ganzzahliger Hochzahl
   .
   Hierzu zählt auch die Kehrwertfunktion  
- Jede ganzrationale Funktion  mit ausschließlich ungeraden
   "x-Potenzen"
   
  
- Die Sinusfunktion mit beliebigem
   .
- Die Nullfunktion . (Einzige Funktion die sowohl
  gerade, als auch ungerade ist.)

Bemerkungen:
In Worten bedeutet die obige Gleichung: "Betrachtet man
auf der x-Achse eine Zahl und ihre Gegenzahl, so sind auch die entsprechenden y-Werte jeweils Zahl und Gegenzahl."
Ungerade Zahlen haben immer die Form eines Produkt aus einer natürlichen Zahl mit 2 abzüglich oder zuzüglich 1.

Nullstellen einer Funktion sind die Zahlen, die beim Einsetzten in die Funktion den y-Wert 0 ergeben .

Aufgabenstellung 1:
Finde die Nullstellen der Funktion f.

Aufgabenstellung 2:
Finde alle Stellen, bei denen das Schaubild der Funktion f die x-Achse schneidet oder berührt.

Aufgabenstellung 3:
Löse die Geichung f(x)=0.

Hochpunkte, Tiefpunkte und die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

Wenn die Ableitungsfunktion f' negative Werte besitzt, bedeutet das für die Stammfunktion f, dass die y-Werte abnehmen (zugehöriges Schaubild fällt) - bei positiven Werten von f' nehmen die y-Werte von f zu (Schaubild von f steigt).
Damit bedeutet ein VZ-Wechsel bei f' von Minus nach Plus, dass hier bei f ein ein Übergang von abnehmenden nach zunehmenden y-Werten stattfindet - dies überführt eine Minimalstelle.
Bei einer Maximalstelle ist es umgekehrt.
Betrachte hierzu auch das YouTube-Video Hinreichende Bedingung für Extremstelle

Bei einem Sattelpunkt (auch Terassenpunkt) muss an der entsprechenden Stelle die Ableitungsfunktion f' den Wert null besitzten (Sattelpunkte haben waagerechte Tangenten),  rechts und links von muss f' entweder nur positive Werte oder nur negative Werte besitzten.
Jede dieser zwei Bedingungen ist notwendig für einen Sattelpunkt - nur wenn beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind, können wir an dieser Stelle sicher auf einen Sattelpunkt schließen - sie sind hierfür hinreichend.

Ebenfalls hinreichend für einen Sattelpunkt an der Stelle ist die Bedingung, dass sowohl als auch gilt.