Wie bestimmt man die momentane/lokale Änderungsrate einer Funktion f an einer Stelle x (mit der h-Methode)?
Man wählt zu einer Stelle 
eine „Nachbarstelle“ 
und bildet mit den zugehörigen Funktionswerten 
den so genannten Differenzenquotienten 
Durch Ausklammern von h im Zähler und durch Kürzen mit h (bzw. geschicktes Umformen) wird der Bruch „reif für den Grenzübergang“:
.
Nur wenn die Funktionsvariable (x) eine Zeit beschreibt, spricht man von momentaner Änderungsrate. In allen anderen Fällen sagt man lokale Änderungsrate.
Geometrisch entspricht dieser Grenzübergang dem Übergang von einer Sekante zur Tangenten.
Linktipp: Von der Sekanten zur Tangenten
eine „Nachbarstelle“ und bildet mit den zugehörigen Funktionswerten den so genannten Differenzenquotienten Durch Ausklammern von h im Zähler und durch Kürzen mit h (bzw. geschicktes Umformen) wird der Bruch „reif für den Grenzübergang“:
.Nur wenn die Funktionsvariable (x) eine Zeit beschreibt, spricht man von momentaner Änderungsrate. In allen anderen Fällen sagt man lokale Änderungsrate.
Geometrisch entspricht dieser Grenzübergang dem Übergang von einer Sekante zur Tangenten.
Linktipp: Von der Sekanten zur Tangenten
Tags: Ableitung, Ableitungsfunktion, Änderungsrate, Begriffe, Differenzenquotient, h-Methode
Quelle:
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Bestimme die Änderungsrate der Kreisfläche an der Stelle r=4 cm. Handelt es sich um eine lokale oder momentane ÄndR?
Wie groß ist die Änderungsrate an der Stelle r=10 cm?
Wie groß ist die Änderungsrate an der Stelle r=10 cm?
Da die Kreisfläche nicht von der Zeit abhängt, handelt es sich um eine lokale ÄndR.
Bestandsfunktion:
Differenzenquotient:
Der Differenzenquotient ist nun "reif für den Grenzübergang", denn nach dem Kürzen mit h kann der Nenner nicht mehr null werden.
Hieraus folgt für
die lokale ÄndR 
und für 
die lokale ÄndR 
.
Bestandsfunktion:
Differenzenquotient:
Der Differenzenquotient ist nun "reif für den Grenzübergang", denn nach dem Kürzen mit h kann der Nenner nicht mehr null werden.
Hieraus folgt für
die lokale ÄndR und für die lokale ÄndR .Tags: Ableitung, Ableitungsfunktion, Änderungsrate, Begriffe, Differenzenquotient, h-Methode
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Wie ist die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x definiert?
Die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x ist über den Grenzwert des Differenzenquotienten definiert:
Tags: Ableitung, Ableitungsfunktion, Begriffe, Differenzenquotient, h-Methode
Quelle:
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Zeige mit der Definition der Ableitung, dass die Ableitungsfunktion von 
gleich 
ist.
gleich ist.
Kürzen mit h und Durchführung des Grenzübergangs führt zum Ergebnis:
Achtung: Häufige Rechenfehler beim Aufstellen des Differenzenquotienten, da Minusklammern auftreten, sobald die Funktion aus einer Summe oder Differenz besteht.
Tags: Ableitung, Ableitungsfunktion, Begriffe, h-Methode
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Zeige mit der Definition der Ableitung, dass die Ableitungsfunktion von 
gleich 
ist.
gleich ist.
(HN im Zähler ist 
)
Kürzen mit h und Durchführung des Grenzübergangs führt zum Ergebnis:
Achtung: Beachte, dass das Minuszeichen in der dritten Zeile auf
wirkt. Hierdurch kommt das Minus im Ergebnis zustande.Tags: Ableitung, Ableitungsfunktion, Begriffe, h-Methode
Quelle:
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Zeige mit der Definition der Ableitung, dass die Ableitungsfunktion von 
gleich 
ist.
gleich ist.
(Wurzel im Zähler verschwinden durch "geschicktes" Erweitern)
Kürzen mit h und Durchführung des Grenzübergangs führt zum Ergebnis:
Achtung: Beim "geschickten" Erweitern wurde die dritte binomische Formel ausgenutzt.
und
Tags: Ableitung, Ableitungsfunktion, Begriffe, h-Methode
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Kartensatzinfo:
Autor: www.mathematik-bw.de
Oberthema: Mathematik
Thema: 10. Klasse
Schule / Uni: Clara-Schumann-Gymnasium
Ort: Lahr
Veröffentlicht: 23.12.2009
Schlagwörter Karten:
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