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Leite die Funktion zum Schaubild ab und setzte die Ableitungsfunktion mit der gegebenen Steigung gleich. Die Gleichung besitzt eine oder mehrere Lösungen, je nachdem, ob es eine oder mehrere Tangenten mit der geforderten Steigung gibt.
Jede Lösung entspricht dem x-Wert eines Berührpunktes. Den zugehörigen y-Wert erhält man durch Einsetzen des x-Wertes in f(x).

Durch Verschiebung der Ursprungsgeraden mit der geforderten Steigung in x- und y-Richtung erhalten wir die Tangentengleichung:


                           

Bemerkungen:
Beim Schaubild der Kehrwertfunktion gibt es für alle Steigungen außer m=0 zwei Tangenten.
Bei Parabeln gerader Ordnung gibt es zu jeder Steigung genau eine Lösung.
Bei ganzrationalen Funktionen mit einem Grad > 2 kann es mehrere Lösungen geben.

Aus der Bedingung folgt die (Achsen-)Sym­me­trie des Schaubildes von f zur y-Achse
Beachte, dass man die entsprechende Funktion als "gerade" bezeichnet - nicht aber das Schaubild!
Beispiele:
- Jede konstante Funktion
-  Potenzfunktionen mit  gerader, ganzzahligen Hochzahl:
  
- Jede ganzrationale Funktion  mit ausschließlich geraden
   "x-Potenzen" .
  
  
- Die Kosinusfunktion mit beliebigem
   .
- Die Nullfunktion . (Einzige Funktion die sowohl
  gerade, als auch ungerade ist.)

Bemerkungen:
In Worten bedeutet die obige Gleichung: "Betrachtet man
auf der x-Achse eine Zahl und ihre Gegenzahl, so sind auch die entsprechenden y-Werte identisch."
Gerade Zahlen haben immer die Form eines Produkt aus einer natürlichen Zahl mit 2.

Aus der Bedingung folgt die Punktsym­me­trie des Schaubildes von f zum Ur­sprung
Beachte, dass man die entsprechende Funktion als "ungerade" bezeichnet - nicht aber das Schaubild!
Beispiele:
- Jede Proportionalität oder
   allg. Potenzfktn. mit ungerader, ganzzahliger Hochzahl
   .
   Hierzu zählt auch die Kehrwertfunktion  
- Jede ganzrationale Funktion  mit ausschließlich ungeraden
   "x-Potenzen"
   
  
- Die Sinusfunktion mit beliebigem
   .
- Die Nullfunktion . (Einzige Funktion die sowohl
  gerade, als auch ungerade ist.)

Bemerkungen:
In Worten bedeutet die obige Gleichung: "Betrachtet man
auf der x-Achse eine Zahl und ihre Gegenzahl, so sind auch die entsprechenden y-Werte jeweils Zahl und Gegenzahl."
Ungerade Zahlen haben immer die Form eines Produkt aus einer natürlichen Zahl mit 2 abzüglich oder zuzüglich 1.

Für die Lösung dieser Aufgabe benötigt man nicht unbedingt die Differenzialrechnung.
Die einfache Nullstelle liefert den Faktor , die doppelte Nullstelle (bei x=1) entsprechend . Hieraus ergibt sich eine (Hilfs-)Funktion , die wir so in y-Richtung strecken, dass das Schaubild der gestreckten Funktion durch (0/6) verläuft.

Aus (0/6) folgt:
also .



(Bei f(x) handelt es sich um eine ganzrationale Funktion, aber eine Darstellung in Summenform ist nicht gefordert! Kontrolliere das Ergebnis mit dem GTR/CAS.)

Jede Nullstelle   einer ganzrationalen Funktion erzeugt in der Produktform einen Linearfaktor der Form .
Gäbe es mehr als n Nullstellen, könnte man die Funktion in der Produktdarstellung mit mehr als n Linearfaktoren darstellen. Beim Ausmultiplizieren wäre hierbei die größte x-Potenz größer als n. Das kann nicht sein.

Beachte: Es gibt natürlich ganzrationale Funktionen vom Grad n mit weniger als n Nullstellen.
Beispiel: hat gar keine Nullstelle.