Def.: Metrik
Sei
.
Eine Abbildung
heißt Metrik oder Abstand, falls für alle
gilt:
1.
positive Definitheit
2.![](/pool/data/tex/28e1bb8f85d27e2fcc0af0ef9ad1a74d.gif)
Symmetrie
3.![](/pool/data/tex/473436333258e1c26e1650e0f443554d.gif)
Dreiecksungleichung
heißt dann metrischer Raum.
![](/pool/data/tex/12578237afbf001f382fc92e33851f6d.gif)
Eine Abbildung
![](/pool/data/tex/73f618e96aededf6ff9e85af9ca9b4ae.gif)
![](/pool/data/tex/9970992a63b73b11ffcef1b1d9a61b01.gif)
1.
![](/pool/data/tex/8749c68c46ab0f6065beb408742112f8.gif)
positive Definitheit
2.
![](/pool/data/tex/28e1bb8f85d27e2fcc0af0ef9ad1a74d.gif)
Symmetrie
3.
![](/pool/data/tex/473436333258e1c26e1650e0f443554d.gif)
Dreiecksungleichung
![](/pool/data/tex/086beb6a6c8a029942238364e5a8beab.gif)
Def.: konvergente Folge im metrischen Raum
Eine Folge
heißt konvergent gegen
, wenn für alle
ein ![](/pool/data/tex/e74e9715a0b7bcc4043009522e119b0b.gif)
für alle
Folgerung
![](/pool/data/tex/7b48f5f64e8f0bcc60c36bfd48b5940f.gif)
Bemerkung
Konvergenz im
ist äquivalent zur koordinatenweise Konvergenz.
![](/pool/data/tex/6de7ad4acaff152ec64ace9177098709.gif)
![](/pool/data/tex/4202025ca33a0244467654fcec511b07.gif)
![](/pool/data/tex/a1539876afb4dcd1e28692355a058c17.gif)
![](/pool/data/tex/4fdc023891721d9c987ad560173eaeee.gif)
![](/pool/data/tex/e74e9715a0b7bcc4043009522e119b0b.gif)
![](/pool/data/tex/c443a9b84cc3dc293f340b259cdbb2bb.gif)
für alle
![](/pool/data/tex/5edacad87ab38e4787beab5f96e1f09e.gif)
Folgerung
![](/pool/data/tex/7b48f5f64e8f0bcc60c36bfd48b5940f.gif)
Bemerkung
Konvergenz im
![](/pool/data/tex/99e4a2a2b348bd83bd72654d7a4dbaba.gif)
Def.: Punkte von M
Sei
ein metrischer Raum,
.
Ein Punkt
heißt:
innerer Punkt von
, wenn
für ein ![](/pool/data/tex/d74ee6015ea3496d30f5596af4ffdeb0.gif)
äußerer Punkt von
, wenn
für ein ![](/pool/data/tex/d74ee6015ea3496d30f5596af4ffdeb0.gif)
Randpunkt von
, wenn
und
für alle ![](/pool/data/tex/d74ee6015ea3496d30f5596af4ffdeb0.gif)
Häufungspunkt von
, wenn
für alle ![](/pool/data/tex/05c66fd84796028f7d776b9f0f724985.gif)
isolierter Punkt von
, wenn
für ein
.
ist kein Häufungspunkt.
(z.B. für
ist jedes
ein isolierter
Punkt von
)
![](/pool/data/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif)
![](/pool/data/tex/63c879cab893ba7427dcab62f4911843.gif)
Ein Punkt
![](/pool/data/tex/4202025ca33a0244467654fcec511b07.gif)
innerer Punkt von
![](/pool/data/tex/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.gif)
![](/pool/data/tex/1c1f0e870eefc0977f676bb709629594.gif)
![](/pool/data/tex/d74ee6015ea3496d30f5596af4ffdeb0.gif)
äußerer Punkt von
![](/pool/data/tex/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.gif)
![](/pool/data/tex/4c7db07a034e435f011d41dbe56115cd.gif)
![](/pool/data/tex/d74ee6015ea3496d30f5596af4ffdeb0.gif)
Randpunkt von
![](/pool/data/tex/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.gif)
![](/pool/data/tex/a644baa73191a182bdc898256c550dce.gif)
![](/pool/data/tex/8df415cabde304df258f7d870148b2b4.gif)
![](/pool/data/tex/d74ee6015ea3496d30f5596af4ffdeb0.gif)
Häufungspunkt von
![](/pool/data/tex/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.gif)
![](/pool/data/tex/0c39364fb380b40e73ba00ba61e49d6c.gif)
![](/pool/data/tex/05c66fd84796028f7d776b9f0f724985.gif)
isolierter Punkt von
![](/pool/data/tex/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.gif)
![](/pool/data/tex/7d90ee592c3735153a99980040630e4a.gif)
![](/pool/data/tex/d74ee6015ea3496d30f5596af4ffdeb0.gif)
![](/pool/data/tex/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)
(z.B. für
![](/pool/data/tex/e293970e587c9ceb8469e2e50bfe6a5a.gif)
![](/pool/data/tex/ac7c5cd6c2661cbdc323c77db513b2e6.gif)
Punkt von
![](/pool/data/tex/e293970e587c9ceb8469e2e50bfe6a5a.gif)
Def.: Mengen von M
Das Innere
ist die Menge aller inneren Punkte von M.
Das Äußere
ist die Menge aller äußeren Punkte von M.
Der Rand
ist die Menge aller Randpunkte von M.
ist Häufungspunkt von M:
![](/pool/data/tex/6c3119f37442272de080280f6c993f74.gif)
heißt Abschluss oder abgschlossene Hülle von
.
Beispiel
![](/pool/data/tex/fab6aade2af88fdc54165966703850f2.gif)
![](/pool/data/tex/cf98e17993b414c6b90f3268adfce316.gif)
![](/pool/data/tex/85e600933e8c4fd468646af29ab2f236.gif)
Das Äußere
![](/pool/data/tex/ac653777d086d6436e1d02c925ed7625.gif)
Der Rand
![](/pool/data/tex/e89a2ceedc8d45f4439e85b04dea1d2e.gif)
![](/pool/data/tex/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)
![](/pool/data/tex/6c3119f37442272de080280f6c993f74.gif)
![](/pool/data/tex/1272a79c8ff591fdfa166b34d1aef91c.gif)
![](/pool/data/tex/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.gif)
Beispiel
![](/pool/data/tex/fab6aade2af88fdc54165966703850f2.gif)
![](/pool/data/tex/cf98e17993b414c6b90f3268adfce316.gif)
Def.: offen, abgeschlossen, ...
Die Menge
heißt:
offen wenn![](/pool/data/tex/37377ce8fc761e950cf1a28f4a3af4b8.gif)
abgeschlossen wenn![](/pool/data/tex/c67245a3c013cae26232ae469fc1fa15.gif)
dicht in
, wenn ![](/pool/data/tex/98132ea9010a5c6a9dba1aeb6187b7d4.gif)
beschränkt, wenn![](/pool/data/tex/4e1520986002988602a9683ee6d56743.gif)
Beispiel
Für eine dichte Menge:
, d.h.
liegt dicht in ![](/pool/data/tex/07e5a4a56a57f5c874ebf79bb67a0b18.gif)
![](/pool/data/tex/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.gif)
offen wenn
![](/pool/data/tex/37377ce8fc761e950cf1a28f4a3af4b8.gif)
abgeschlossen wenn
![](/pool/data/tex/c67245a3c013cae26232ae469fc1fa15.gif)
dicht in
![](/pool/data/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif)
![](/pool/data/tex/98132ea9010a5c6a9dba1aeb6187b7d4.gif)
beschränkt, wenn
![](/pool/data/tex/4e1520986002988602a9683ee6d56743.gif)
Beispiel
Für eine dichte Menge:
![](/pool/data/tex/92e03c9301d0939fb0a916905e4d87ec.gif)
![](/pool/data/tex/37fd6ce21ba852a585f7f0c65eceb19d.gif)
![](/pool/data/tex/07e5a4a56a57f5c874ebf79bb67a0b18.gif)
Eigeschaften offener Mengen
![](/pool/data/tex/63c879cab893ba7427dcab62f4911843.gif)
![](/pool/data/tex/d1b2196508f5da0f6602bc74b9b263f9.gif)
![](/pool/data/tex/50f459b5ecb20bc2bdb8fefcef483b46.gif)
![](/pool/data/tex/72603dbd3a3a2421a8781ee8230fa3f9.gif)
![](/pool/data/tex/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.gif)
![](/pool/data/tex/d74ee6015ea3496d30f5596af4ffdeb0.gif)
![](/pool/data/tex/8a0ff1058aa341fafc21fe3ef0993b2d.gif)
Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist wieder offen.
Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist wieder offen.
(Der Durchschnitt unendlich vieler Mengen ist aber nicht offen)
Eigenschaften abgeschlossener Mengen
![](/pool/data/tex/63c879cab893ba7427dcab62f4911843.gif)
![](/pool/data/tex/d1b2196508f5da0f6602bc74b9b263f9.gif)
![](/pool/data/tex/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.gif)
![](/pool/data/tex/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.gif)
![](/pool/data/tex/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.gif)
![](/pool/data/tex/447c9175a26aac7e407036d7c3492b61.gif)
![](/pool/data/tex/8a0ff1058aa341fafc21fe3ef0993b2d.gif)
Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist wieder abgeschlossen. Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist wieder abgeschlossen.
Def.: Cauchy-Folge
Sei
ein metrischer Raum. Dann heißt
Cauchy-Folge oder Fundamentalfolge, falls für jedes
ein
existiert mit
für alle
.
Folgerung
1. Jede konvergente Folge aus
ist eine Cauchy-Folge.
2. Jede Cachy-Folge ist beschränkt.
![](/pool/data/tex/997acbbcec4f781a26aaa2fa5299f33c.gif)
![](/pool/data/tex/d169c3711787dd08de8ea3c71861d565.gif)
![](/pool/data/tex/d74ee6015ea3496d30f5596af4ffdeb0.gif)
![](/pool/data/tex/4396b826484e2632eab46bc4baf29ac7.gif)
![](/pool/data/tex/eed533c602347ba73b6e2b43acb6e7a0.gif)
![](/pool/data/tex/5a2e688bf061adb06fc1e4b8bccd280f.gif)
Folgerung
1. Jede konvergente Folge aus
![](/pool/data/tex/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)
2. Jede Cachy-Folge ist beschränkt.
Def.: vollständig
![](/pool/data/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif)
![](/pool/data/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif)
Ein vollständiger normierter Raum heißt auch Banachraum.
Folgerung
![](/pool/data/tex/77a9e6ceef15fb7cf6aaf362d18468ae.gif)
![](/pool/data/tex/7ba07463235f33a6c719d90818718be0.gif)
Satz über Vollständigkeit von ![](/pool/data/tex/1edf5019a31cc4097fc136cb3dcd16db.gif)
![](/pool/data/tex/1edf5019a31cc4097fc136cb3dcd16db.gif)
Der unendlichdimensionale normierte Raum
ist vollständig bezüglich
(Maximum- bzw. Supremumnorm auf
.
Bemerkungen
1. Bezüglich der durch das Skalarprodukt
![](/pool/data/tex/9423872821edcfcfed6e556791fafb1b.gif)
bestimmten Norm ist
nicht vollständig.
2. Konvergenz bezüglich des Maximum heißt auch gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge
im Gegensatz zur punktweisen Konvergenz der Funktionenfolge
von
für jedes
.
![](/pool/data/tex/1edf5019a31cc4097fc136cb3dcd16db.gif)
![](/pool/data/tex/548800fac718e317acbaac299527d251.gif)
(Maximum- bzw. Supremumnorm auf
![](/pool/data/tex/1edf5019a31cc4097fc136cb3dcd16db.gif)
Bemerkungen
1. Bezüglich der durch das Skalarprodukt
![](/pool/data/tex/9423872821edcfcfed6e556791fafb1b.gif)
bestimmten Norm ist
![](/pool/data/tex/1edf5019a31cc4097fc136cb3dcd16db.gif)
2. Konvergenz bezüglich des Maximum heißt auch gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge
![](/pool/data/tex/c146ba4da73578348680d4c2cd4e88dc.gif)
![](/pool/data/tex/c146ba4da73578348680d4c2cd4e88dc.gif)
![](/pool/data/tex/8c27fe732b04727641881617226eaaf2.gif)
für jedes
![](/pool/data/tex/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)
Def.: kompakt
Die Menge
heißt (folgen-)kompakt, wenn jede Folge aus
eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in
besitzt.
Jede kompakte Menge
ist beschränkt und abgeschlossen bezüglich der Metrik
von ![](/pool/data/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif)
![](/pool/data/tex/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.gif)
![](/pool/data/tex/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.gif)
![](/pool/data/tex/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.gif)
Jede kompakte Menge
![](/pool/data/tex/63c879cab893ba7427dcab62f4911843.gif)
![](/pool/data/tex/8277e0910d750195b448797616e091ad.gif)
![](/pool/data/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif)
Satz von Bolzano Weierstraß im ![](/pool/data/tex/77a9e6ceef15fb7cf6aaf362d18468ae.gif)
![](/pool/data/tex/77a9e6ceef15fb7cf6aaf362d18468ae.gif)
Jede beschränkte Menge
des
besitzt einen Häufungspunkt.
![](/pool/data/tex/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.gif)
![](/pool/data/tex/77a9e6ceef15fb7cf6aaf362d18468ae.gif)
Zusammenhang Kompaktheit und Beschränktheit
Im
und
ist die Kompaktheit von
äquivalent zur Beschränktheit. In allgemeinen metrischen Räumen folgt aus Beschränktheit und Abgeschlossenheit nicht die Kompaktheit der Menge.
![](/pool/data/tex/77a9e6ceef15fb7cf6aaf362d18468ae.gif)
![](/pool/data/tex/7ba07463235f33a6c719d90818718be0.gif)
![](/pool/data/tex/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.gif)
Satz über die Stetigkeit der Grenzfunktion
Sei
gleichmäßig konvergent gegen f, so ist
.
![](/pool/data/tex/bd0a70d15e808458759f9e55105d7ebd.gif)
![](/pool/data/tex/06ed7bf54b050200626cc43e0a03a939.gif)
Satz über die Vertauschbarkeit von Integration und Grenzwert
Sei
gleichmäßig konvergent gegen
und
für
.
Dann gilt:
konvergiert gleichmäßig gegen F und
![](/pool/data/tex/d1bda9fc499ae55ee613bd715a570bd2.gif)
(genau dann, wenn
).
![](/pool/data/tex/ed82d05635a68f74308efcbe91c44fee.gif)
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/e26c9f667e8dc87dede3446497b61aae.gif)
für
![](/pool/data/tex/af3c1adca188345d2a91c0d13a891b9f.gif)
Dann gilt:
![](/pool/data/tex/c86ed1e209f3ab62025d40b5d07f1eff.gif)
![](/pool/data/tex/d1bda9fc499ae55ee613bd715a570bd2.gif)
(genau dann, wenn
![](/pool/data/tex/0df97b8cd5db4d6661f6cf0434ce9c64.gif)
Satz über die Vertauschbarkeit von Differentiation und Grenzwertbildung
Sei
und
gleichmäßig konvergent gegen
und
für ein
.
Dann konvergiert
gleichmäßig gegen
,
wobei
.
![](/pool/data/tex/1930ca06db257c637a882637290be2ac.gif)
![](/pool/data/tex/2733ecc5f5dce086360a1e23498a3dc6.gif)
![](/pool/data/tex/b2f5ff47436671b6e533d8dc3614845d.gif)
![](/pool/data/tex/37b70b29988be1b0660fb1633dccba85.gif)
![](/pool/data/tex/27a6acfc8c2bf0a20af1e216e0f4b4ac.gif)
Dann konvergiert
![](/pool/data/tex/c146ba4da73578348680d4c2cd4e88dc.gif)
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
wobei
![](/pool/data/tex/dc8fc3e231e8e2e1d35df96600a903ea.gif)
Def.: gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe
Die Funktionenreihe
heißt gleichmäßig konvergent gegen
, wenn die Funktionenfolge
gleichmäßig gegen
konvergiert
(
).
Majorantenkriterium
Wenn
für alle
gilt und
konvergiert, dann ist
gleichmäßig konvergent auf
.
![](/pool/data/tex/55cfaccb7f0e8204a395e5f97e83bfe6.gif)
heißt gleichmäßig konvergent gegen
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/1152bf29e7e044bfc3d0486c2be92ec4.gif)
gleichmäßig gegen
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
(
![](/pool/data/tex/37f142851826e196b8f164c27d39f5a8.gif)
Majorantenkriterium
Wenn
![](/pool/data/tex/c5fa3a810d274223ff0044c4f15d1f2d.gif)
![](/pool/data/tex/6b5dce2ee4c362ec862ebda839faca90.gif)
![](/pool/data/tex/b64ac3912f7cd93cb8455c87085e2367.gif)
konvergiert, dann ist
![](/pool/data/tex/55cfaccb7f0e8204a395e5f97e83bfe6.gif)
gleichmäßig konvergent auf
![](/pool/data/tex/dd7536794b63bf90eccfd37f9b147d7f.gif)
Def.: Stetigkeit
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/3749c81335a8e871bf9f2db98f164954.gif)
falls für jede Folge
![](/pool/data/tex/6de7ad4acaff152ec64ace9177098709.gif)
![](/pool/data/tex/ec60f35ffc57c4ca72c5b24cb350e3b0.gif)
gilt:
![](/pool/data/tex/62eec6772b29fe902b19ccdea9e4ede7.gif)
(Äquivalent zum
![](/pool/data/tex/ea6706a9bfeb77ad03f30c005be94724.gif)
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif)
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/4202025ca33a0244467654fcec511b07.gif)
![](/pool/data/tex/1acac9370e2c1d43c63560cee12135a4.gif)
Eine bijektive Abbildung
![](/pool/data/tex/8b8a08b3fa6c938ada6dfd602e046cfb.gif)
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/e55e328349414752113c4878dc62303f.gif)
Die Hintereinanderausführung stetiger Funktionen ist wieder stetig.
Def.: zusammenhängende Menge
![](/pool/data/tex/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.gif)
![](/pool/data/tex/38888247dd8665e111386ee908aebc4d.gif)
![](/pool/data/tex/717e40077e498b503a7668dda38e37ac.gif)
![](/pool/data/tex/d7a932aa89507205e7915a227ff8cb3f.gif)
![](/pool/data/tex/e5f70ff0013ee608076cbd9ddb069b2a.gif)
![](/pool/data/tex/7b70a65b3ef2da1aa85a27bd1526aedc.gif)
Eine nichtleere, offene und zusammenhängende Menge heißt Gebiet.
Sei
![](/pool/data/tex/1acac9370e2c1d43c63560cee12135a4.gif)
![](/pool/data/tex/63c879cab893ba7427dcab62f4911843.gif)
![](/pool/data/tex/440168393a6a7e8548ef3d952c5410d8.gif)
Def.: Kontraktion
Sei
ein metrischer Raum und
.
Gilt mit einer Konstanten
:
![](/pool/data/tex/cf987e1fe4860a204c78b8494736f718.gif)
so heißt
eine Kontraktion oder kontraktive Selbstabbildung auf X.
q heißt Kontraktionskonstante von
.
Jeder Kontraktion
ist stetig.
![](/pool/data/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif)
![](/pool/data/tex/f6db6fd593f864aedb48e744f4d2bb6a.gif)
Gilt mit einer Konstanten
![](/pool/data/tex/a067f58b21272ec49bf55f521da37544.gif)
![](/pool/data/tex/145dba608565496ed91d8ea71bb475a2.gif)
![](/pool/data/tex/cf987e1fe4860a204c78b8494736f718.gif)
so heißt
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
q heißt Kontraktionskonstante von
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
Jeder Kontraktion
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
Banachscher Fixpunktsatz
Sei
ein vollständig metrischer Raum und
eine Kontraktion auf
.
Dann besitzt
in
genau einen Fixpunkt
.
Dieser ergibt sich durch sukzessive Approximationen:
![](/pool/data/tex/53e1701c14dc3245ed11b7edf6608bc9.gif)
mit beliebigem Startpunkt
.
Bemerkung
Der Fixpunktsatz gilt auch, wenn
ersetzt wird durch ein abgeschlossenes
.
![](/pool/data/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif)
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif)
Dann besitzt
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif)
![](/pool/data/tex/4202025ca33a0244467654fcec511b07.gif)
Dieser ergibt sich durch sukzessive Approximationen:
![](/pool/data/tex/53e1701c14dc3245ed11b7edf6608bc9.gif)
mit beliebigem Startpunkt
![](/pool/data/tex/3749c81335a8e871bf9f2db98f164954.gif)
Bemerkung
Der Fixpunktsatz gilt auch, wenn
![](/pool/data/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif)
![](/pool/data/tex/63c879cab893ba7427dcab62f4911843.gif)
Newton-Verfahren
Das Newton-Verfahren dient der angenäherten Berechnung einer Lösung von
für reelle Funktionen
.
![](/pool/data/tex/248955ff826fb14efda7330ec04a2797.gif)
Geometrische Deutung
ensteht durch Schnittpunkt einer Tangente an einem beliebigen Punkt mit der x-Achse.
Tangente:
![](/pool/data/tex/7870cb90a385a70532e483693f8b253c.gif)
![](/pool/data/tex/05e0989e2e7df837747f2725d97856e1.gif)
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/248955ff826fb14efda7330ec04a2797.gif)
Geometrische Deutung
![](/pool/data/tex/f53241bca9ab95ed510049ebcd7cfbe7.gif)
Tangente:
![](/pool/data/tex/7870cb90a385a70532e483693f8b253c.gif)
Def.: Partielle Ableitung
![](/pool/data/tex/2e9ef3d6ef62a48d70720728d3e90e31.gif)
![](/pool/data/tex/3d394ee79ffe63c5b9d672382baef302.gif)
Dann definiert man die partielle Ableitung von
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/5f1d1af4018ea5cb9e115fd7c5bab6f1.gif)
![](/pool/data/tex/03a1bd33f441197a5bb0105a7c94466d.gif)
für
![](/pool/data/tex/6b3d93c9463da4ffa34b77c4757a0725.gif)
Geometrische Deutung
![](/pool/data/tex/5d2525e2e359a4dfb21166a425c4c527.gif)
![](/pool/data/tex/1ba8aaab47179b3d3e24b0ccea9f4e30.gif)
![](/pool/data/tex/e1e19813cd1ce6008e09c2b85cec86af.gif)
Satz von Schwarz
Sind alle partiellen Ableitungen 2. Ordnung für
in
vorhanden und in
stetig, so gilt:
![](/pool/data/tex/e3a54517e0a7e40f0e914627850a613a.gif)
für![](/pool/data/tex/c7abce60b891b2218dca87ab53e3fe01.gif)
Verallgemeinerung
Für
sind die partiellen Ableitungen bis Ordnung
unabhängig von der Differentiationsreihenfolge.
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/2e9ef3d6ef62a48d70720728d3e90e31.gif)
![](/pool/data/tex/5f1d1af4018ea5cb9e115fd7c5bab6f1.gif)
![](/pool/data/tex/e3a54517e0a7e40f0e914627850a613a.gif)
für
![](/pool/data/tex/c7abce60b891b2218dca87ab53e3fe01.gif)
Verallgemeinerung
Für
![](/pool/data/tex/2dfc308f8dfaaa78e97f8167ae82aa01.gif)
![](/pool/data/tex/6f8f57715090da2632453988d9a1501b.gif)
Def.: Toatales Differential
Sei
und
ein Gebiet des
.
Dann heißt
(total) differenzierbar in
, falls
![](/pool/data/tex/f4f80f09ace85aca9ef7fe289c634f37.gif)
![](/pool/data/tex/8ff1a3f447c4d4640c31ffb2c5544f6a.gif)
mit einem Vektor
und ![](/pool/data/tex/aa310f393f74f8b89c3f3cdc367ee8a6.gif)
Wir nennen
Ableitung von
in
.
Folgerung
(1) Ist
(total) differenzierbar in
, so ist
auch stetig in
. ![](/pool/data/tex/5f1d1af4018ea5cb9e115fd7c5bab6f1.gif)
(2) Ist
in
(total) differenziebar, dann auch partiell.
(3) Ist
, so ist
(total) differenzierbar in
.
![](/pool/data/tex/3d394ee79ffe63c5b9d672382baef302.gif)
![](/pool/data/tex/2e9ef3d6ef62a48d70720728d3e90e31.gif)
![](/pool/data/tex/77a9e6ceef15fb7cf6aaf362d18468ae.gif)
Dann heißt
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/5f1d1af4018ea5cb9e115fd7c5bab6f1.gif)
![](/pool/data/tex/f4f80f09ace85aca9ef7fe289c634f37.gif)
![](/pool/data/tex/8ff1a3f447c4d4640c31ffb2c5544f6a.gif)
mit einem Vektor
![](/pool/data/tex/bc30ab5b23b7239a5a648a866c45a094.gif)
![](/pool/data/tex/aa310f393f74f8b89c3f3cdc367ee8a6.gif)
Wir nennen
![](/pool/data/tex/1ce98da2bc4f26cbf9c4c13a655fad1e.gif)
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.gif)
Folgerung
(1) Ist
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.gif)
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.gif)
![](/pool/data/tex/5f1d1af4018ea5cb9e115fd7c5bab6f1.gif)
(2) Ist
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.gif)
(3) Ist
![](/pool/data/tex/c68363c346af2bd5d913614dc68882b8.gif)
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/2e9ef3d6ef62a48d70720728d3e90e31.gif)
Differenzierbarkeit von ![](/pool/data/tex/65b68b4b2ecb65b83ac2250c432a5fcf.gif)
![](/pool/data/tex/65b68b4b2ecb65b83ac2250c432a5fcf.gif)
![](/pool/data/tex/bd14766c449f92e7ac157d07ec3379d5.gif)
Dann ist
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/5f1d1af4018ea5cb9e115fd7c5bab6f1.gif)
![](/pool/data/tex/17b704d0211972fe918f32578776e397.gif)
![](/pool/data/tex/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.gif)
![](/pool/data/tex/65b68b4b2ecb65b83ac2250c432a5fcf.gif)
![](/pool/data/tex/5f1d1af4018ea5cb9e115fd7c5bab6f1.gif)
![](/pool/data/tex/5afa5f507eef8ebd7ce1ab7d3adf915c.gif)
gibt mit
![](/pool/data/tex/dc559b3d264f6ea3ac2eb0f68c1e44d8.gif)
![](/pool/data/tex/a28b6142425019928865df24d556fdda.gif)
![](/pool/data/tex/0ad9ce4ee6b1b00389ac07ad2b7ca6b9.gif)
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.gif)
Jacobi Matrix
![](/pool/data/tex/f59f9431c82b019518a86307be417a21.gif)
Def.: Vektorfeld
BSP
BSP
Ein Vektorfeld auf
ist eine Abbildung
![](/pool/data/tex/c5d51aa32baa5cc1b85d0bb86a1422a7.gif)
![](/pool/data/tex/7f6c0d65f5729988384d4e7257838217.gif)
Speziell heißt
ein
-Vektorfeld auf
, falls
.
Integrabilitätsbedingungen
(1) Zwei Stammfunktionen zum Vektorfeld
auf einem Gebiet
unterscheiden sich nur durch eine Konstante.
(2) Dem Vektorfeld
kann eine Differentialform zugeordnet werden:
![](/pool/data/tex/5021c04dd62465d131f6e2ea4be4818c.gif)
ist exakt wenn gilt:
![](/pool/data/tex/6b8fdfe8fd5b3fabef747d377d4f9ce2.gif)
(3) Integrabilitätsbedingung
![](/pool/data/tex/46da4f958b904cc7ae763d805cc327d0.gif)
![](/pool/data/tex/421c68310e86de1a43e6b6b4e31f782f.gif)
![](/pool/data/tex/c5d51aa32baa5cc1b85d0bb86a1422a7.gif)
![](/pool/data/tex/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)
![](/pool/data/tex/7f6c0d65f5729988384d4e7257838217.gif)
Speziell heißt
![](/pool/data/tex/9e3669d19b675bd57058fd4664205d2a.gif)
![](/pool/data/tex/71dddb5c70fbf148aafd751ef0315b07.gif)
![](/pool/data/tex/2e9ef3d6ef62a48d70720728d3e90e31.gif)
![](/pool/data/tex/92a7eadfcea95e2c03e48332538ed04f.gif)
Integrabilitätsbedingungen
(1) Zwei Stammfunktionen zum Vektorfeld
![](/pool/data/tex/9e3669d19b675bd57058fd4664205d2a.gif)
![](/pool/data/tex/2e9ef3d6ef62a48d70720728d3e90e31.gif)
(2) Dem Vektorfeld
![](/pool/data/tex/5d4b3d925464d02d0cde13906c287f91.gif)
![](/pool/data/tex/5021c04dd62465d131f6e2ea4be4818c.gif)
![](/pool/data/tex/260b57b4fdee8c5a001c09b555ccd28d.gif)
![](/pool/data/tex/6b8fdfe8fd5b3fabef747d377d4f9ce2.gif)
(3) Integrabilitätsbedingung
![](/pool/data/tex/46da4f958b904cc7ae763d805cc327d0.gif)
Vektorprodukt
![](/pool/data/tex/c2a75bbd6c8ee20224e3b51d021d9c76.gif)
Eigenschaften
(1) Das Vektorprodukt ist linear in jedem Faktor.
(2) Das Vekotorprodkt ist schiefsymmetrisch:
![](/pool/data/tex/4e29c564eac8946e96f2b54c56c6b118.gif)
(3)
![](/pool/data/tex/a0ab3c0e9ac5316b16a3d2dcf8bac8c4.gif)
![](/pool/data/tex/689b04adf53f829d4d6010d6f1430b5e.gif)
Gradient, Divergenz und Rotation
Gradient
![](/pool/data/tex/3d394ee79ffe63c5b9d672382baef302.gif)
![](/pool/data/tex/f026455f17dc062319ccdbef57ce14b3.gif)
Punkte
mit
heißen stationäre oder kritische Punkte.
Divergenz
![](/pool/data/tex/c5d51aa32baa5cc1b85d0bb86a1422a7.gif)
![](/pool/data/tex/d28bea241110692f65a81d8b5382de1e.gif)
Ist
, so heißt das Vektorfeld quellenfrei.
Rotation
![](/pool/data/tex/c9ebc1de5e9724e1091a2fc9d0fef6fb.gif)
![](/pool/data/tex/1f12b72a8c473d0689c2248946584dfb.gif)
Ist
, so heißt das Vektorfeld wirbelfrei.
![](/pool/data/tex/3d394ee79ffe63c5b9d672382baef302.gif)
![](/pool/data/tex/f026455f17dc062319ccdbef57ce14b3.gif)
Punkte
![](/pool/data/tex/5f1d1af4018ea5cb9e115fd7c5bab6f1.gif)
![](/pool/data/tex/5527d65f39dc46227135e434ee0b242d.gif)
Divergenz
![](/pool/data/tex/c5d51aa32baa5cc1b85d0bb86a1422a7.gif)
![](/pool/data/tex/d28bea241110692f65a81d8b5382de1e.gif)
Ist
![](/pool/data/tex/5194c0d42ad1cc83b6c8db28e73de8c9.gif)
Rotation
![](/pool/data/tex/c9ebc1de5e9724e1091a2fc9d0fef6fb.gif)
![](/pool/data/tex/1f12b72a8c473d0689c2248946584dfb.gif)
Ist
![](/pool/data/tex/942ad009bee444895e7f1b14a66a7fd5.gif)
lokale Extrema
Notwendige Bedingung
Hat
in
ein lokales Minimum, so gilt
und
![](/pool/data/tex/751daddff4c3d0d0ad14d0b1cbedcc4b.gif)
![](/pool/data/tex/cb579962c4c75e2dac984b267e3a2a73.gif)
Hinreichende Bedinung
Gilt in
und ist
dann hat
in
ein lokales Minimum.
Hat
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/5f1d1af4018ea5cb9e115fd7c5bab6f1.gif)
![](/pool/data/tex/45d9f25d120765fc85e1fde170694aa5.gif)
und
![](/pool/data/tex/751daddff4c3d0d0ad14d0b1cbedcc4b.gif)
![](/pool/data/tex/cb579962c4c75e2dac984b267e3a2a73.gif)
Hinreichende Bedinung
Gilt in
![](/pool/data/tex/1bf9342dd9bad6bf593210c2954abda6.gif)
![](/pool/data/tex/5f722cd472ec6f92a281703f51190f45.gif)
![](/pool/data/tex/2b9829254f240d4c5d86c69083b215e5.gif)
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.gif)
Trägheitssatz von Sylvester
![](/pool/data/tex/00836b270fc29c8fcc88ee3fa535d4ed.gif)
![](/pool/data/tex/d1b2196508f5da0f6602bc74b9b263f9.gif)
![](/pool/data/tex/2061e54412aa1bad59fe0c8540ad1e03.gif)
![](/pool/data/tex/d1b2196508f5da0f6602bc74b9b263f9.gif)
![](/pool/data/tex/2061e54412aa1bad59fe0c8540ad1e03.gif)
Hauptsatz über implizite Funktionen
BSP
BSP
Sei
.
Für ein
gelte
sowie die Auflösebedinung
.
Dann gibt es
und
, so dass genau eine stetige Funktion
existiert mit
und
.
![](/pool/data/tex/bb9495160d88071a2b7307102d7d8857.gif)
Für ein
![](/pool/data/tex/78bd70281efdd05b870a8e030a1f2d07.gif)
![](/pool/data/tex/434a2ee0f065c77e69a4fee3921a0008.gif)
![](/pool/data/tex/22e327211c98145c1ad9ecb2411a182d.gif)
Dann gibt es
![](/pool/data/tex/2ff8e35f3fc30109da1015319dfb0e94.gif)
![](/pool/data/tex/7cd44719d3f2d3b117d3190afbca7170.gif)
![](/pool/data/tex/be645fe1458dd42f3f0255053379669c.gif)
![](/pool/data/tex/39b66ab88d20079e1ce5c4c38544319a.gif)
![](/pool/data/tex/c5c89c96681e070fb28b8efb36b23285.gif)
Def.: Diffeomorphismus
Seien
Gebiete.
Eine Abbildung
heißt Diffeomorphismus, wenn
bijektiv ist und
differenzierbar sind.
heißt
-Diffeomorphismus, falls
-Abbildungen sind.
Man nennt
einen lokalen Diffeomorphismus falls es zu jedem
offene Mengen
gibt, so dass die Einschränkung
von
auf
ein Diffeomorphismus von
auf
ist.
![](/pool/data/tex/9df7718cee758f129808fd1edc9b497a.gif)
Eine Abbildung
![](/pool/data/tex/46103ffdb0833fd8c3079ae20c031ae8.gif)
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/e9452495528b917967ec170aa2218351.gif)
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/71dddb5c70fbf148aafd751ef0315b07.gif)
![](/pool/data/tex/53ad89d97747566ea5a8ad42883af3a0.gif)
Man nennt
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/53be02c6d86c72f2efbbbbb06e8d53ca.gif)
![](/pool/data/tex/9b081eb7d23f2492be784135103ad0fb.gif)
![](/pool/data/tex/101b8e330b0ceb0b4c641ec6703f74ee.gif)
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/aa8e233e31d7beab6bb3bb4cce777f22.gif)
![](/pool/data/tex/aa8e233e31d7beab6bb3bb4cce777f22.gif)
![](/pool/data/tex/fcdb1b4b51ee8953eadf19eb3991ebe4.gif)
Lösungsmannigfaltigkeit
Die Lösungsmenge
![](/pool/data/tex/9464ba58330b64ac6c414ccf02e72014.gif)
heißt Lösungsmannigfaltigkeit, falls
![](/pool/data/tex/23e2a3051cbbfb544d9ef6569c5f61fe.gif)
maximalen Rang hat
hat die Dimension ![](/pool/data/tex/c72f4503ffafc07a85270ac3507d99d1.gif)
Die Niveaumenge
hat die Dimension 1
![](/pool/data/tex/9464ba58330b64ac6c414ccf02e72014.gif)
heißt Lösungsmannigfaltigkeit, falls
![](/pool/data/tex/23e2a3051cbbfb544d9ef6569c5f61fe.gif)
maximalen Rang hat
![](/pool/data/tex/7d4bf4f712c97b47d3a78ab48574ae62.gif)
![](/pool/data/tex/c72f4503ffafc07a85270ac3507d99d1.gif)
Die Niveaumenge
![](/pool/data/tex/c5c6ef38660dc427825343a90e763fbb.gif)
Integralkriterium für unendliche Reihen
Sei
positiv und stetig auf
sowie monoton fallend.
Dann ist das Konvergenzverhalten von
![](/pool/data/tex/5002b3e147915f86ebe833c5ac3bf63b.gif)
und
![](/pool/data/tex/9fdcd56e511354470b3fdfd83c97953e.gif)
gleich (
)
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/bcb7fa32d95b4c5959e3c4b1b07bc18d.gif)
Dann ist das Konvergenzverhalten von
![](/pool/data/tex/5002b3e147915f86ebe833c5ac3bf63b.gif)
und
![](/pool/data/tex/9fdcd56e511354470b3fdfd83c97953e.gif)
gleich (
![](/pool/data/tex/ad407ca40558c84ac0f5b4c523fb2f24.gif)
Absolute Integrierbarkeit
Sei
ein offenes oder halboffenes Intervall. Dann heißt
auf
absolut integrierbar, falls
konvergiert oder
auf
(uneigentlich) Riemann-integrierbar ist.
Aus absoluter Konvergenz folgt Konvergenz.
ist absolut integrierbar genau dann, wenn eine der beiden folgenden Bedingungen erfüllt ist:
1.Beschränktheitskriterium
![](/pool/data/tex/882fbb4e5d6a598eefd6b1d0800217a5.gif)
![](/pool/data/tex/a54ff5beca824344b79312d8350cc817.gif)
2. Majorantenkriterium
Es existiert eine positive Funktion
mit
für alle
und
konvergiert.
![](/pool/data/tex/1c70ffdfc58f4c18144f704b53a37b25.gif)
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/dd7536794b63bf90eccfd37f9b147d7f.gif)
![](/pool/data/tex/89d97111ca9d99e54a084864a62a4bf3.gif)
konvergiert oder
![](/pool/data/tex/13518ab341e4d7cd7e49839a556b94a9.gif)
![](/pool/data/tex/dd7536794b63bf90eccfd37f9b147d7f.gif)
Aus absoluter Konvergenz folgt Konvergenz.
![](/pool/data/tex/06ed7bf54b050200626cc43e0a03a939.gif)
1.Beschränktheitskriterium
![](/pool/data/tex/882fbb4e5d6a598eefd6b1d0800217a5.gif)
![](/pool/data/tex/a54ff5beca824344b79312d8350cc817.gif)
2. Majorantenkriterium
Es existiert eine positive Funktion
![](/pool/data/tex/32d7cabe55c528c9521dd3ee778e8bce.gif)
![](/pool/data/tex/c8cf029ad75f37fce3e90cd192d747e9.gif)
für alle
![](/pool/data/tex/7bcc7d44aeda18951293201d1f30130b.gif)
![](/pool/data/tex/2909996d6c3b84d0c4ef15573705c5e9.gif)
konvergiert.
Def.: Parameterintegrale
BSP
BSP
Sei ![](/pool/data/tex/13da6342d947cfdf1f7f25bcb025a75a.gif)
Existiert
![](/pool/data/tex/01ed037236047843d8a773ea792f91b3.gif)
für alle
, so heißt
Parametrintegral.
1. Ist
, so existiert
für jedes
und ist stetig.
2. Sind
,
so ist
und
![](/pool/data/tex/d232909e41219eb31eee90977de12305.gif)
![](/pool/data/tex/13da6342d947cfdf1f7f25bcb025a75a.gif)
Existiert
![](/pool/data/tex/01ed037236047843d8a773ea792f91b3.gif)
für alle
![](/pool/data/tex/dcce3c5dffb626b741b446c9ca78ed7c.gif)
![](/pool/data/tex/30ed01c88122c19784be7251d03ede51.gif)
1. Ist
![](/pool/data/tex/199b36527f29e7d5acca1e67245a331c.gif)
![](/pool/data/tex/30ed01c88122c19784be7251d03ede51.gif)
![](/pool/data/tex/dcce3c5dffb626b741b446c9ca78ed7c.gif)
2. Sind
![](/pool/data/tex/ad479b311e82225eaa8271991a367b19.gif)
so ist
![](/pool/data/tex/d3588e1ce99dd4ec3ace8b58803f7fc1.gif)
![](/pool/data/tex/d232909e41219eb31eee90977de12305.gif)
Def.: Kurve
Sei
ein Intervall und
ein Gebiet.
Dann heißt
Kurve oder Weg, falls es eine stetige Abbildung
gibt mit
.
Man nennt
eine
-Kurve, falls
und reguläre Kurve, falls der Tangentenvektor
für alle
.
heißt Parametrisierung von
.
![](/pool/data/tex/1c70ffdfc58f4c18144f704b53a37b25.gif)
![](/pool/data/tex/421c68310e86de1a43e6b6b4e31f782f.gif)
Dann heißt
![](/pool/data/tex/755c7f2c331042f43e4bc63d9b08b719.gif)
![](/pool/data/tex/76366f3e3945096ce2d042b0f1e4d66a.gif)
gibt mit
![](/pool/data/tex/24aa219db800d864edde967c700a4b05.gif)
Man nennt
![](/pool/data/tex/2b12dc997300ecbf4be5dc306cd72ed9.gif)
![](/pool/data/tex/71dddb5c70fbf148aafd751ef0315b07.gif)
![](/pool/data/tex/1bdd575fdb9ffba902dd19b3529eefd2.gif)
und reguläre Kurve, falls der Tangentenvektor
![](/pool/data/tex/ed17b3db19010bdd32434380f407e55d.gif)
für alle
![](/pool/data/tex/3d0666bd3690da036b6f5316d7c73bcf.gif)
![](/pool/data/tex/ae539dfcc999c28e25a0f3ae65c1de79.gif)
![](/pool/data/tex/2b12dc997300ecbf4be5dc306cd72ed9.gif)
Def.: Länge einer Kurve
Ist
gegeben durch
,
so heißt
![](/pool/data/tex/648714fea30ee922e3b84df72803fbd6.gif)
Länge der Kurve
.
Bemerkung
Ist die Kurve
durch eine Funktion
gegeben, so wählt man die Parametrisierung
.
![](/pool/data/tex/755c7f2c331042f43e4bc63d9b08b719.gif)
![](/pool/data/tex/c18887e44289a2418a51c313ca359507.gif)
so heißt
![](/pool/data/tex/648714fea30ee922e3b84df72803fbd6.gif)
Länge der Kurve
![](/pool/data/tex/2b12dc997300ecbf4be5dc306cd72ed9.gif)
Bemerkung
Ist die Kurve
![](/pool/data/tex/966d19c9d7a3dfd86aff4f72f85a05de.gif)
![](/pool/data/tex/fc24def84c5e7b481869c62cd21f3134.gif)
![](/pool/data/tex/c8893034f8fbe49240110783f5515325.gif)
Def.: Parametertransformation
Zwei
-Parametrisierungen von ![](/pool/data/tex/c614c892d006668f833d9edc2af198f2.gif)
sind Intervalle, heißen äquivalent, wenn es einen
-Diffeomorphismus
gibt, das heißt
.
heißt Parametertransformation von
.
![](/pool/data/tex/71dddb5c70fbf148aafd751ef0315b07.gif)
![](/pool/data/tex/c614c892d006668f833d9edc2af198f2.gif)
![](/pool/data/tex/86d192f09b8f3daf9efd7f27da195753.gif)
![](/pool/data/tex/71dddb5c70fbf148aafd751ef0315b07.gif)
![](/pool/data/tex/a0728e2e77f076ce8b6e6ad351452678.gif)
![](/pool/data/tex/e193343395740a31247661583e47c8be.gif)
![](/pool/data/tex/2510c39011c5be704182423e3a695e91.gif)
![](/pool/data/tex/2b12dc997300ecbf4be5dc306cd72ed9.gif)
Def.: vektorielles Bogenelement
Sei
ein Vektorfeld auf
und
eine reguläre
-Kurve mit Parametrisierung, so ist
![](/pool/data/tex/920f0ca1385e08b536b138b2181e4b95.gif)
ist vektorielles Bogenelement von
.
![](/pool/data/tex/9e3669d19b675bd57058fd4664205d2a.gif)
![](/pool/data/tex/2e9ef3d6ef62a48d70720728d3e90e31.gif)
![](/pool/data/tex/518580f4bae1ab0a62bf94c13866f276.gif)
![](/pool/data/tex/e462b7e236c081548166a08ba6b20e24.gif)
![](/pool/data/tex/920f0ca1385e08b536b138b2181e4b95.gif)
![](/pool/data/tex/e2d11c1309df4f6bfd4a9127c649294c.gif)
![](/pool/data/tex/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.gif)
Def.: Konservatives Vektorfeld
Das Vektorfeld
auf
heißt konservativ in
, wenn
![](/pool/data/tex/805f6dab3d6755452b8ab9a4e0ab0a7b.gif)
wegunaghängig ist für jede reguläre
-Kurve
, das heißt wenn
nur von den Endpunkten von
abhängt und nicht von deren Verlauf.
Ein Vektorfeld
ist konservativ in
genau dann, wenn
ein Potentialfeld in
ist
![](/pool/data/tex/9e3669d19b675bd57058fd4664205d2a.gif)
![](/pool/data/tex/421c68310e86de1a43e6b6b4e31f782f.gif)
![](/pool/data/tex/2e9ef3d6ef62a48d70720728d3e90e31.gif)
![](/pool/data/tex/805f6dab3d6755452b8ab9a4e0ab0a7b.gif)
wegunaghängig ist für jede reguläre
![](/pool/data/tex/e462b7e236c081548166a08ba6b20e24.gif)
![](/pool/data/tex/518580f4bae1ab0a62bf94c13866f276.gif)
![](/pool/data/tex/805f6dab3d6755452b8ab9a4e0ab0a7b.gif)
nur von den Endpunkten von
![](/pool/data/tex/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.gif)
Ein Vektorfeld
![](/pool/data/tex/9e3669d19b675bd57058fd4664205d2a.gif)
![](/pool/data/tex/a4a3dc0b1f5d89a4ddadbd073732b80a.gif)
![](/pool/data/tex/9e3669d19b675bd57058fd4664205d2a.gif)
![](/pool/data/tex/2e9ef3d6ef62a48d70720728d3e90e31.gif)
Def.: sternförmiges Gebiet
![](/pool/data/tex/2e9ef3d6ef62a48d70720728d3e90e31.gif)
![](/pool/data/tex/0a72f9801e1a0f4a03e56e2297e0c848.gif)
![](/pool/data/tex/53be02c6d86c72f2efbbbbb06e8d53ca.gif)
![](/pool/data/tex/24e6afcc15d46f47d21d780657703941.gif)
![](/pool/data/tex/2e9ef3d6ef62a48d70720728d3e90e31.gif)
Ist
![](/pool/data/tex/421c68310e86de1a43e6b6b4e31f782f.gif)
![](/pool/data/tex/2e9ef3d6ef62a48d70720728d3e90e31.gif)
![](/pool/data/tex/e462b7e236c081548166a08ba6b20e24.gif)
![](/pool/data/tex/2e9ef3d6ef62a48d70720728d3e90e31.gif)
Def.: Normalbereich
bez. der x-Achse
heißt Normalbereich bezüglich er x-Achse, wenn
mit
kompakt.
bez. der y-Achse
heißt Normalbereich bezüglich er y-Achse, wenn
mit
kompakt.
![](/pool/data/tex/7df8241fe52409d71a847b1bafde4e25.gif)
![](/pool/data/tex/8583087ee5350957a80e5546f0b03afe.gif)
mit
![](/pool/data/tex/ed4d5722036b6c2914bc05beb59cb2a6.gif)
bez. der y-Achse
![](/pool/data/tex/7df8241fe52409d71a847b1bafde4e25.gif)
![](/pool/data/tex/67c912f22da5f1f5c00879426b15381a.gif)
mit
![](/pool/data/tex/6573a1ca379a817c9439aa0570340484.gif)
Transformationssatz
Seien
Gebiete und
ein
-Diffeomorphismus.
Dann gilt für jedes beschränkte
mit
die Formel
![](/pool/data/tex/882066f0f32330f95091a4096cb2a870.gif)
für![](/pool/data/tex/d5f0db862c3cd9b141b3f9532afab6eb.gif)
![](/pool/data/tex/ac67b99a8bf56597aaaf2e9ffeccc338.gif)
![](/pool/data/tex/1910005982105948d308a503e05715d5.gif)
![](/pool/data/tex/e462b7e236c081548166a08ba6b20e24.gif)
Dann gilt für jedes beschränkte
![](/pool/data/tex/ed174d8f6335612bc7642d3061d47016.gif)
![](/pool/data/tex/cfc1b39fe01d2aff7efebbc23435792c.gif)
![](/pool/data/tex/882066f0f32330f95091a4096cb2a870.gif)
für
![](/pool/data/tex/d5f0db862c3cd9b141b3f9532afab6eb.gif)
Gaußscher Integralsatz in der Ebene
Sei
ein Normalbereich beider Achsen und
ein Gebiet sowie
.
Dann gilt für positive Orientierung von
:
![](/pool/data/tex/b5348f9e188add98a908110c33e5d176.gif)
![](/pool/data/tex/4d6a298d374a6d75066df6bc407fd012.gif)
![](/pool/data/tex/8763288821dd44409091ab740e4e2c24.gif)
![](/pool/data/tex/8ab0553520081e4aeaeed8aa3c61355e.gif)
![](/pool/data/tex/7df8241fe52409d71a847b1bafde4e25.gif)
![](/pool/data/tex/9e7fe338c7af54a289544b5bb6b4ffd3.gif)
![](/pool/data/tex/788680265d9342ac783d07802000a655.gif)
Dann gilt für positive Orientierung von
![](/pool/data/tex/78fb1dddfa6639abbbbae6f677b4be22.gif)
![](/pool/data/tex/b5348f9e188add98a908110c33e5d176.gif)
![](/pool/data/tex/4d6a298d374a6d75066df6bc407fd012.gif)
![](/pool/data/tex/8763288821dd44409091ab740e4e2c24.gif)
![](/pool/data/tex/8ab0553520081e4aeaeed8aa3c61355e.gif)
![](/pool/img/avatar_40_40.gif)
Kartensatzinfo:
Autor: Schokoholic007
Oberthema: Mathematik
Thema: Analysis
Veröffentlicht: 22.04.2010
Schlagwörter Karten:
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