Def.: Metrik
Sei
.
Eine Abbildung
heißt Metrik oder Abstand, falls für alle
gilt:
1.
positive Definitheit
2.
Symmetrie
3.
Dreiecksungleichung
heißt dann metrischer Raum.

Eine Abbildung


1.

positive Definitheit
2.

Symmetrie
3.

Dreiecksungleichung

Def.: konvergente Folge im metrischen Raum
Eine Folge
heißt konvergent gegen
, wenn für alle
ein 
für alle
Folgerung

Bemerkung
Konvergenz im
ist äquivalent zur koordinatenweise Konvergenz.






für alle

Folgerung

Bemerkung
Konvergenz im

Def.: Punkte von M
Sei
ein metrischer Raum,
.
Ein Punkt
heißt:
innerer Punkt von
, wenn
für ein 
äußerer Punkt von
, wenn
für ein 
Randpunkt von
, wenn
und
für alle 
Häufungspunkt von
, wenn
für alle 
isolierter Punkt von
, wenn
für ein
.
ist kein Häufungspunkt.
(z.B. für
ist jedes
ein isolierter
Punkt von
)


Ein Punkt

innerer Punkt von



äußerer Punkt von



Randpunkt von




Häufungspunkt von



isolierter Punkt von




(z.B. für


Punkt von

Def.: Mengen von M
Das Innere
ist die Menge aller inneren Punkte von M.
Das Äußere
ist die Menge aller äußeren Punkte von M.
Der Rand
ist die Menge aller Randpunkte von M.
ist Häufungspunkt von M:

heißt Abschluss oder abgschlossene Hülle von
.
Beispiel



Das Äußere

Der Rand





Beispiel


Def.: offen, abgeschlossen, ...
Die Menge
heißt:
offen wenn
abgeschlossen wenn
dicht in
, wenn 
beschränkt, wenn
Beispiel
Für eine dichte Menge:
, d.h.
liegt dicht in 

offen wenn

abgeschlossen wenn

dicht in


beschränkt, wenn

Beispiel
Für eine dichte Menge:



Eigeschaften offener Mengen







Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist wieder offen.
Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist wieder offen.
(Der Durchschnitt unendlich vieler Mengen ist aber nicht offen)
Eigenschaften abgeschlossener Mengen







Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist wieder abgeschlossen. Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist wieder abgeschlossen.
Def.: Cauchy-Folge
Sei
ein metrischer Raum. Dann heißt
Cauchy-Folge oder Fundamentalfolge, falls für jedes
ein
existiert mit
für alle
.
Folgerung
1. Jede konvergente Folge aus
ist eine Cauchy-Folge.
2. Jede Cachy-Folge ist beschränkt.






Folgerung
1. Jede konvergente Folge aus

2. Jede Cachy-Folge ist beschränkt.
Def.: vollständig


Ein vollständiger normierter Raum heißt auch Banachraum.
Folgerung


Satz über Vollständigkeit von 

Der unendlichdimensionale normierte Raum
ist vollständig bezüglich
(Maximum- bzw. Supremumnorm auf
.
Bemerkungen
1. Bezüglich der durch das Skalarprodukt

bestimmten Norm ist
nicht vollständig.
2. Konvergenz bezüglich des Maximum heißt auch gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge
im Gegensatz zur punktweisen Konvergenz der Funktionenfolge
von
für jedes
.


(Maximum- bzw. Supremumnorm auf

Bemerkungen
1. Bezüglich der durch das Skalarprodukt

bestimmten Norm ist

2. Konvergenz bezüglich des Maximum heißt auch gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge



für jedes

Def.: kompakt
Die Menge
heißt (folgen-)kompakt, wenn jede Folge aus
eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in
besitzt.
Jede kompakte Menge
ist beschränkt und abgeschlossen bezüglich der Metrik
von 



Jede kompakte Menge



Satz von Bolzano Weierstraß im 

Jede beschränkte Menge
des
besitzt einen Häufungspunkt.


Zusammenhang Kompaktheit und Beschränktheit
Im
und
ist die Kompaktheit von
äquivalent zur Beschränktheit. In allgemeinen metrischen Räumen folgt aus Beschränktheit und Abgeschlossenheit nicht die Kompaktheit der Menge.



Satz über die Stetigkeit der Grenzfunktion
Sei
gleichmäßig konvergent gegen f, so ist
.


Satz über die Vertauschbarkeit von Integration und Grenzwert
Sei
gleichmäßig konvergent gegen
und
für
.
Dann gilt:
konvergiert gleichmäßig gegen F und

(genau dann, wenn
).



für

Dann gilt:


(genau dann, wenn

Satz über die Vertauschbarkeit von Differentiation und Grenzwertbildung
Sei
und
gleichmäßig konvergent gegen
und
für ein
.
Dann konvergiert
gleichmäßig gegen
,
wobei
.





Dann konvergiert


wobei

Def.: gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe
Die Funktionenreihe
heißt gleichmäßig konvergent gegen
, wenn die Funktionenfolge
gleichmäßig gegen
konvergiert
(
).
Majorantenkriterium
Wenn
für alle
gilt und
konvergiert, dann ist
gleichmäßig konvergent auf
.

heißt gleichmäßig konvergent gegen


gleichmäßig gegen

(

Majorantenkriterium
Wenn



konvergiert, dann ist

gleichmäßig konvergent auf

Def.: Stetigkeit


falls für jede Folge


gilt:

(Äquivalent zum






Eine bijektive Abbildung



Die Hintereinanderausführung stetiger Funktionen ist wieder stetig.
Def.: zusammenhängende Menge






Eine nichtleere, offene und zusammenhängende Menge heißt Gebiet.
Sei



Def.: Kontraktion
Sei
ein metrischer Raum und
.
Gilt mit einer Konstanten
:

so heißt
eine Kontraktion oder kontraktive Selbstabbildung auf X.
q heißt Kontraktionskonstante von
.
Jeder Kontraktion
ist stetig.


Gilt mit einer Konstanten



so heißt

q heißt Kontraktionskonstante von

Jeder Kontraktion

Banachscher Fixpunktsatz
Sei
ein vollständig metrischer Raum und
eine Kontraktion auf
.
Dann besitzt
in
genau einen Fixpunkt
.
Dieser ergibt sich durch sukzessive Approximationen:

mit beliebigem Startpunkt
.
Bemerkung
Der Fixpunktsatz gilt auch, wenn
ersetzt wird durch ein abgeschlossenes
.



Dann besitzt



Dieser ergibt sich durch sukzessive Approximationen:

mit beliebigem Startpunkt

Bemerkung
Der Fixpunktsatz gilt auch, wenn


Newton-Verfahren
Das Newton-Verfahren dient der angenäherten Berechnung einer Lösung von
für reelle Funktionen
.

Geometrische Deutung
ensteht durch Schnittpunkt einer Tangente an einem beliebigen Punkt mit der x-Achse.
Tangente:




Geometrische Deutung

Tangente:

Def.: Partielle Ableitung


Dann definiert man die partielle Ableitung von



für

Geometrische Deutung



Satz von Schwarz
Sind alle partiellen Ableitungen 2. Ordnung für
in
vorhanden und in
stetig, so gilt:

für
Verallgemeinerung
Für
sind die partiellen Ableitungen bis Ordnung
unabhängig von der Differentiationsreihenfolge.




für

Verallgemeinerung
Für


Def.: Toatales Differential
Sei
und
ein Gebiet des
.
Dann heißt
(total) differenzierbar in
, falls


mit einem Vektor
und 
Wir nennen
Ableitung von
in
.
Folgerung
(1) Ist
(total) differenzierbar in
, so ist
auch stetig in
. 
(2) Ist
in
(total) differenziebar, dann auch partiell.
(3) Ist
, so ist
(total) differenzierbar in
.



Dann heißt




mit einem Vektor


Wir nennen



Folgerung
(1) Ist





(2) Ist


(3) Ist



Differenzierbarkeit von 


Dann ist







gibt mit





Jacobi Matrix

Def.: Vektorfeld
BSP
BSP
Ein Vektorfeld auf
ist eine Abbildung


Speziell heißt
ein
-Vektorfeld auf
, falls
.
Integrabilitätsbedingungen
(1) Zwei Stammfunktionen zum Vektorfeld
auf einem Gebiet
unterscheiden sich nur durch eine Konstante.
(2) Dem Vektorfeld
kann eine Differentialform zugeordnet werden:

ist exakt wenn gilt:

(3) Integrabilitätsbedingung





Speziell heißt




Integrabilitätsbedingungen
(1) Zwei Stammfunktionen zum Vektorfeld


(2) Dem Vektorfeld




(3) Integrabilitätsbedingung

Vektorprodukt

Eigenschaften
(1) Das Vektorprodukt ist linear in jedem Faktor.
(2) Das Vekotorprodkt ist schiefsymmetrisch:

(3)


Gradient, Divergenz und Rotation
Gradient


Punkte
mit
heißen stationäre oder kritische Punkte.
Divergenz


Ist
, so heißt das Vektorfeld quellenfrei.
Rotation


Ist
, so heißt das Vektorfeld wirbelfrei.


Punkte


Divergenz


Ist

Rotation


Ist

lokale Extrema
Notwendige Bedingung
Hat
in
ein lokales Minimum, so gilt
und


Hinreichende Bedinung
Gilt in
und ist
dann hat
in
ein lokales Minimum.
Hat



und


Hinreichende Bedinung
Gilt in





Trägheitssatz von Sylvester





Hauptsatz über implizite Funktionen
BSP
BSP
Sei
.
Für ein
gelte
sowie die Auflösebedinung
.
Dann gibt es
und
, so dass genau eine stetige Funktion
existiert mit
und
.

Für ein



Dann gibt es





Def.: Diffeomorphismus
Seien
Gebiete.
Eine Abbildung
heißt Diffeomorphismus, wenn
bijektiv ist und
differenzierbar sind.
heißt
-Diffeomorphismus, falls
-Abbildungen sind.
Man nennt
einen lokalen Diffeomorphismus falls es zu jedem
offene Mengen
gibt, so dass die Einschränkung
von
auf
ein Diffeomorphismus von
auf
ist.

Eine Abbildung






Man nennt








Lösungsmannigfaltigkeit
Die Lösungsmenge

heißt Lösungsmannigfaltigkeit, falls

maximalen Rang hat
hat die Dimension 
Die Niveaumenge
hat die Dimension 1

heißt Lösungsmannigfaltigkeit, falls

maximalen Rang hat


Die Niveaumenge

Integralkriterium für unendliche Reihen
Sei
positiv und stetig auf
sowie monoton fallend.
Dann ist das Konvergenzverhalten von

und

gleich (
)


Dann ist das Konvergenzverhalten von

und

gleich (

Absolute Integrierbarkeit
Sei
ein offenes oder halboffenes Intervall. Dann heißt
auf
absolut integrierbar, falls
konvergiert oder
auf
(uneigentlich) Riemann-integrierbar ist.
Aus absoluter Konvergenz folgt Konvergenz.
ist absolut integrierbar genau dann, wenn eine der beiden folgenden Bedingungen erfüllt ist:
1.Beschränktheitskriterium


2. Majorantenkriterium
Es existiert eine positive Funktion
mit
für alle
und
konvergiert.




konvergiert oder


Aus absoluter Konvergenz folgt Konvergenz.

1.Beschränktheitskriterium


2. Majorantenkriterium
Es existiert eine positive Funktion


für alle


konvergiert.
Def.: Parameterintegrale
BSP
BSP
Sei 
Existiert

für alle
, so heißt
Parametrintegral.
1. Ist
, so existiert
für jedes
und ist stetig.
2. Sind
,
so ist
und


Existiert

für alle


1. Ist



2. Sind

so ist


Def.: Kurve
Sei
ein Intervall und
ein Gebiet.
Dann heißt
Kurve oder Weg, falls es eine stetige Abbildung
gibt mit
.
Man nennt
eine
-Kurve, falls
und reguläre Kurve, falls der Tangentenvektor
für alle
.
heißt Parametrisierung von
.


Dann heißt


gibt mit

Man nennt



und reguläre Kurve, falls der Tangentenvektor

für alle



Def.: Länge einer Kurve
Ist
gegeben durch
,
so heißt

Länge der Kurve
.
Bemerkung
Ist die Kurve
durch eine Funktion
gegeben, so wählt man die Parametrisierung
.


so heißt

Länge der Kurve

Bemerkung
Ist die Kurve



Def.: Parametertransformation
Zwei
-Parametrisierungen von 
sind Intervalle, heißen äquivalent, wenn es einen
-Diffeomorphismus
gibt, das heißt
.
heißt Parametertransformation von
.








Def.: vektorielles Bogenelement
Sei
ein Vektorfeld auf
und
eine reguläre
-Kurve mit Parametrisierung, so ist

ist vektorielles Bogenelement von
.







Def.: Konservatives Vektorfeld
Das Vektorfeld
auf
heißt konservativ in
, wenn

wegunaghängig ist für jede reguläre
-Kurve
, das heißt wenn
nur von den Endpunkten von
abhängt und nicht von deren Verlauf.
Ein Vektorfeld
ist konservativ in
genau dann, wenn
ein Potentialfeld in
ist




wegunaghängig ist für jede reguläre



nur von den Endpunkten von

Ein Vektorfeld




Def.: sternförmiges Gebiet





Ist




Def.: Normalbereich
bez. der x-Achse
heißt Normalbereich bezüglich er x-Achse, wenn
mit
kompakt.
bez. der y-Achse
heißt Normalbereich bezüglich er y-Achse, wenn
mit
kompakt.


mit

bez. der y-Achse


mit

Transformationssatz
Seien
Gebiete und
ein
-Diffeomorphismus.
Dann gilt für jedes beschränkte
mit
die Formel

für



Dann gilt für jedes beschränkte



für

Gaußscher Integralsatz in der Ebene
Sei
ein Normalbereich beider Achsen und
ein Gebiet sowie
.
Dann gilt für positive Orientierung von
:







Dann gilt für positive Orientierung von






Kartensatzinfo:
Autor: Schokoholic007
Oberthema: Mathematik
Thema: Analysis
Veröffentlicht: 22.04.2010
Schlagwörter Karten:
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