Def.: Punkte von M
Sei
ein metrischer Raum,
.
Ein Punkt
heißt:
innerer Punkt von
, wenn
für ein ![](/pool/data/tex/d74ee6015ea3496d30f5596af4ffdeb0.gif)
äußerer Punkt von
, wenn
für ein ![](/pool/data/tex/d74ee6015ea3496d30f5596af4ffdeb0.gif)
Randpunkt von
, wenn
und
für alle ![](/pool/data/tex/d74ee6015ea3496d30f5596af4ffdeb0.gif)
Häufungspunkt von
, wenn
für alle ![](/pool/data/tex/05c66fd84796028f7d776b9f0f724985.gif)
isolierter Punkt von
, wenn
für ein
.
ist kein Häufungspunkt.
(z.B. für
ist jedes
ein isolierter
Punkt von
)
![](/pool/data/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif)
![](/pool/data/tex/63c879cab893ba7427dcab62f4911843.gif)
Ein Punkt
![](/pool/data/tex/4202025ca33a0244467654fcec511b07.gif)
innerer Punkt von
![](/pool/data/tex/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.gif)
![](/pool/data/tex/1c1f0e870eefc0977f676bb709629594.gif)
![](/pool/data/tex/d74ee6015ea3496d30f5596af4ffdeb0.gif)
äußerer Punkt von
![](/pool/data/tex/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.gif)
![](/pool/data/tex/4c7db07a034e435f011d41dbe56115cd.gif)
![](/pool/data/tex/d74ee6015ea3496d30f5596af4ffdeb0.gif)
Randpunkt von
![](/pool/data/tex/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.gif)
![](/pool/data/tex/a644baa73191a182bdc898256c550dce.gif)
![](/pool/data/tex/8df415cabde304df258f7d870148b2b4.gif)
![](/pool/data/tex/d74ee6015ea3496d30f5596af4ffdeb0.gif)
Häufungspunkt von
![](/pool/data/tex/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.gif)
![](/pool/data/tex/0c39364fb380b40e73ba00ba61e49d6c.gif)
![](/pool/data/tex/05c66fd84796028f7d776b9f0f724985.gif)
isolierter Punkt von
![](/pool/data/tex/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.gif)
![](/pool/data/tex/7d90ee592c3735153a99980040630e4a.gif)
![](/pool/data/tex/d74ee6015ea3496d30f5596af4ffdeb0.gif)
![](/pool/data/tex/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)
(z.B. für
![](/pool/data/tex/e293970e587c9ceb8469e2e50bfe6a5a.gif)
![](/pool/data/tex/ac7c5cd6c2661cbdc323c77db513b2e6.gif)
Punkt von
![](/pool/data/tex/e293970e587c9ceb8469e2e50bfe6a5a.gif)
Eigenschaften abgeschlossener Mengen
![](/pool/data/tex/63c879cab893ba7427dcab62f4911843.gif)
![](/pool/data/tex/d1b2196508f5da0f6602bc74b9b263f9.gif)
![](/pool/data/tex/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.gif)
![](/pool/data/tex/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.gif)
![](/pool/data/tex/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.gif)
![](/pool/data/tex/447c9175a26aac7e407036d7c3492b61.gif)
![](/pool/data/tex/8a0ff1058aa341fafc21fe3ef0993b2d.gif)
Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist wieder abgeschlossen. Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist wieder abgeschlossen.
Satz über Vollständigkeit von ![](/pool/data/tex/1edf5019a31cc4097fc136cb3dcd16db.gif)
![](/pool/data/tex/1edf5019a31cc4097fc136cb3dcd16db.gif)
Der unendlichdimensionale normierte Raum
ist vollständig bezüglich
(Maximum- bzw. Supremumnorm auf
.
Bemerkungen
1. Bezüglich der durch das Skalarprodukt
![](/pool/data/tex/9423872821edcfcfed6e556791fafb1b.gif)
bestimmten Norm ist
nicht vollständig.
2. Konvergenz bezüglich des Maximum heißt auch gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge
im Gegensatz zur punktweisen Konvergenz der Funktionenfolge
von
für jedes
.
![](/pool/data/tex/1edf5019a31cc4097fc136cb3dcd16db.gif)
![](/pool/data/tex/548800fac718e317acbaac299527d251.gif)
(Maximum- bzw. Supremumnorm auf
![](/pool/data/tex/1edf5019a31cc4097fc136cb3dcd16db.gif)
Bemerkungen
1. Bezüglich der durch das Skalarprodukt
![](/pool/data/tex/9423872821edcfcfed6e556791fafb1b.gif)
bestimmten Norm ist
![](/pool/data/tex/1edf5019a31cc4097fc136cb3dcd16db.gif)
2. Konvergenz bezüglich des Maximum heißt auch gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge
![](/pool/data/tex/c146ba4da73578348680d4c2cd4e88dc.gif)
![](/pool/data/tex/c146ba4da73578348680d4c2cd4e88dc.gif)
![](/pool/data/tex/8c27fe732b04727641881617226eaaf2.gif)
für jedes
![](/pool/data/tex/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)
Banachscher Fixpunktsatz
Sei
ein vollständig metrischer Raum und
eine Kontraktion auf
.
Dann besitzt
in
genau einen Fixpunkt
.
Dieser ergibt sich durch sukzessive Approximationen:
![](/pool/data/tex/53e1701c14dc3245ed11b7edf6608bc9.gif)
mit beliebigem Startpunkt
.
Bemerkung
Der Fixpunktsatz gilt auch, wenn
ersetzt wird durch ein abgeschlossenes
.
![](/pool/data/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif)
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif)
Dann besitzt
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif)
![](/pool/data/tex/4202025ca33a0244467654fcec511b07.gif)
Dieser ergibt sich durch sukzessive Approximationen:
![](/pool/data/tex/53e1701c14dc3245ed11b7edf6608bc9.gif)
mit beliebigem Startpunkt
![](/pool/data/tex/3749c81335a8e871bf9f2db98f164954.gif)
Bemerkung
Der Fixpunktsatz gilt auch, wenn
![](/pool/data/tex/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.gif)
![](/pool/data/tex/63c879cab893ba7427dcab62f4911843.gif)
Def.: Toatales Differential
Sei
und
ein Gebiet des
.
Dann heißt
(total) differenzierbar in
, falls
![](/pool/data/tex/f4f80f09ace85aca9ef7fe289c634f37.gif)
![](/pool/data/tex/8ff1a3f447c4d4640c31ffb2c5544f6a.gif)
mit einem Vektor
und ![](/pool/data/tex/aa310f393f74f8b89c3f3cdc367ee8a6.gif)
Wir nennen
Ableitung von
in
.
Folgerung
(1) Ist
(total) differenzierbar in
, so ist
auch stetig in
. ![](/pool/data/tex/5f1d1af4018ea5cb9e115fd7c5bab6f1.gif)
(2) Ist
in
(total) differenziebar, dann auch partiell.
(3) Ist
, so ist
(total) differenzierbar in
.
![](/pool/data/tex/3d394ee79ffe63c5b9d672382baef302.gif)
![](/pool/data/tex/2e9ef3d6ef62a48d70720728d3e90e31.gif)
![](/pool/data/tex/77a9e6ceef15fb7cf6aaf362d18468ae.gif)
Dann heißt
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/5f1d1af4018ea5cb9e115fd7c5bab6f1.gif)
![](/pool/data/tex/f4f80f09ace85aca9ef7fe289c634f37.gif)
![](/pool/data/tex/8ff1a3f447c4d4640c31ffb2c5544f6a.gif)
mit einem Vektor
![](/pool/data/tex/bc30ab5b23b7239a5a648a866c45a094.gif)
![](/pool/data/tex/aa310f393f74f8b89c3f3cdc367ee8a6.gif)
Wir nennen
![](/pool/data/tex/1ce98da2bc4f26cbf9c4c13a655fad1e.gif)
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.gif)
Folgerung
(1) Ist
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.gif)
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.gif)
![](/pool/data/tex/5f1d1af4018ea5cb9e115fd7c5bab6f1.gif)
(2) Ist
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.gif)
(3) Ist
![](/pool/data/tex/c68363c346af2bd5d913614dc68882b8.gif)
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/2e9ef3d6ef62a48d70720728d3e90e31.gif)
Def.: Vektorfeld
BSP
BSP
Ein Vektorfeld auf
ist eine Abbildung
![](/pool/data/tex/c5d51aa32baa5cc1b85d0bb86a1422a7.gif)
![](/pool/data/tex/7f6c0d65f5729988384d4e7257838217.gif)
Speziell heißt
ein
-Vektorfeld auf
, falls
.
Integrabilitätsbedingungen
(1) Zwei Stammfunktionen zum Vektorfeld
auf einem Gebiet
unterscheiden sich nur durch eine Konstante.
(2) Dem Vektorfeld
kann eine Differentialform zugeordnet werden:
![](/pool/data/tex/5021c04dd62465d131f6e2ea4be4818c.gif)
ist exakt wenn gilt:
![](/pool/data/tex/6b8fdfe8fd5b3fabef747d377d4f9ce2.gif)
(3) Integrabilitätsbedingung
![](/pool/data/tex/46da4f958b904cc7ae763d805cc327d0.gif)
![](/pool/data/tex/421c68310e86de1a43e6b6b4e31f782f.gif)
![](/pool/data/tex/c5d51aa32baa5cc1b85d0bb86a1422a7.gif)
![](/pool/data/tex/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.gif)
![](/pool/data/tex/7f6c0d65f5729988384d4e7257838217.gif)
Speziell heißt
![](/pool/data/tex/9e3669d19b675bd57058fd4664205d2a.gif)
![](/pool/data/tex/71dddb5c70fbf148aafd751ef0315b07.gif)
![](/pool/data/tex/2e9ef3d6ef62a48d70720728d3e90e31.gif)
![](/pool/data/tex/92a7eadfcea95e2c03e48332538ed04f.gif)
Integrabilitätsbedingungen
(1) Zwei Stammfunktionen zum Vektorfeld
![](/pool/data/tex/9e3669d19b675bd57058fd4664205d2a.gif)
![](/pool/data/tex/2e9ef3d6ef62a48d70720728d3e90e31.gif)
(2) Dem Vektorfeld
![](/pool/data/tex/5d4b3d925464d02d0cde13906c287f91.gif)
![](/pool/data/tex/5021c04dd62465d131f6e2ea4be4818c.gif)
![](/pool/data/tex/260b57b4fdee8c5a001c09b555ccd28d.gif)
![](/pool/data/tex/6b8fdfe8fd5b3fabef747d377d4f9ce2.gif)
(3) Integrabilitätsbedingung
![](/pool/data/tex/46da4f958b904cc7ae763d805cc327d0.gif)
Def.: Diffeomorphismus
Seien
Gebiete.
Eine Abbildung
heißt Diffeomorphismus, wenn
bijektiv ist und
differenzierbar sind.
heißt
-Diffeomorphismus, falls
-Abbildungen sind.
Man nennt
einen lokalen Diffeomorphismus falls es zu jedem
offene Mengen
gibt, so dass die Einschränkung
von
auf
ein Diffeomorphismus von
auf
ist.
![](/pool/data/tex/9df7718cee758f129808fd1edc9b497a.gif)
Eine Abbildung
![](/pool/data/tex/46103ffdb0833fd8c3079ae20c031ae8.gif)
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/e9452495528b917967ec170aa2218351.gif)
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/71dddb5c70fbf148aafd751ef0315b07.gif)
![](/pool/data/tex/53ad89d97747566ea5a8ad42883af3a0.gif)
Man nennt
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/53be02c6d86c72f2efbbbbb06e8d53ca.gif)
![](/pool/data/tex/9b081eb7d23f2492be784135103ad0fb.gif)
![](/pool/data/tex/101b8e330b0ceb0b4c641ec6703f74ee.gif)
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/aa8e233e31d7beab6bb3bb4cce777f22.gif)
![](/pool/data/tex/aa8e233e31d7beab6bb3bb4cce777f22.gif)
![](/pool/data/tex/fcdb1b4b51ee8953eadf19eb3991ebe4.gif)
Absolute Integrierbarkeit
Sei
ein offenes oder halboffenes Intervall. Dann heißt
auf
absolut integrierbar, falls
konvergiert oder
auf
(uneigentlich) Riemann-integrierbar ist.
Aus absoluter Konvergenz folgt Konvergenz.
ist absolut integrierbar genau dann, wenn eine der beiden folgenden Bedingungen erfüllt ist:
1.Beschränktheitskriterium
![](/pool/data/tex/882fbb4e5d6a598eefd6b1d0800217a5.gif)
![](/pool/data/tex/a54ff5beca824344b79312d8350cc817.gif)
2. Majorantenkriterium
Es existiert eine positive Funktion
mit
für alle
und
konvergiert.
![](/pool/data/tex/1c70ffdfc58f4c18144f704b53a37b25.gif)
![](/pool/data/tex/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif)
![](/pool/data/tex/dd7536794b63bf90eccfd37f9b147d7f.gif)
![](/pool/data/tex/89d97111ca9d99e54a084864a62a4bf3.gif)
konvergiert oder
![](/pool/data/tex/13518ab341e4d7cd7e49839a556b94a9.gif)
![](/pool/data/tex/dd7536794b63bf90eccfd37f9b147d7f.gif)
Aus absoluter Konvergenz folgt Konvergenz.
![](/pool/data/tex/06ed7bf54b050200626cc43e0a03a939.gif)
1.Beschränktheitskriterium
![](/pool/data/tex/882fbb4e5d6a598eefd6b1d0800217a5.gif)
![](/pool/data/tex/a54ff5beca824344b79312d8350cc817.gif)
2. Majorantenkriterium
Es existiert eine positive Funktion
![](/pool/data/tex/32d7cabe55c528c9521dd3ee778e8bce.gif)
![](/pool/data/tex/c8cf029ad75f37fce3e90cd192d747e9.gif)
für alle
![](/pool/data/tex/7bcc7d44aeda18951293201d1f30130b.gif)
![](/pool/data/tex/2909996d6c3b84d0c4ef15573705c5e9.gif)
konvergiert.
![](/pool/img/avatar_40_40.gif)
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Author: Schokoholic007
Main topic: Mathematik
Topic: Analysis
Published: 22.04.2010
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