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Funktion : f(x) = - x² - x + 2

Die Gleichungen von Tangente und Normale sollen für den Punkt   
P (2/ f(2)) blestimmt werden.

Vorüberlegung

Die Tangente ist eine Gerade mit der Gleichung
.

Die Normale ist eine dazu senkrechte Gerade mit also mit der Gleichung

Die Steigung der Tangenten entspricht der Steigung des Graphen von f(x) im Punkt P.

Rechnung

f(x) = - x² - x + 2 -> f'(x) = - 2x - 1

Koordinaten des Punktes P( 2 / f(2) ):

f(2) = -2² - 2 + 2 = - 4 - 2 +2 = -4  -> P( 2/ - 4)

Steigung in P( 2 / - 4)

(Tangentensteigung)



Die Tangente verläuft durch P(2 / - 4)

t(2) = - 4





-> t(x) = - 5x + 6 ist die Tangente durch P ( 2 / - 4)

Normalengleichung

 

->

Die Normale verläuft durch den Punkt P( 2 / - 4 )

n(2) = - 4






->  ist die Gleichung der Normalen die durch den Punkt P (2 / - 4) verläuft.

Partitielle Integration

Für die partitielle Integration gilt :



Substitutionsmethode

Gesucht sei die Stammfunktion von .

Also



Dann ersetzen wir im Exponenten durch z



Anschließend formen wir nach x um.

Jetzt können wir auch das x ersetzen.





Jetzt müssen wir noch dx durch dz ersetzen.



Nach Multiplikation mit dz erhalten wir



und können dx durch die ermittelte Funktion ersetzen



Dies lässt sich schon einfacher integrieren



Nun müssen wir rücksubtitionieren




Beispiel Substitution


Substitution :                           



Partitialbruchzerlegung

Ermittelt werden soll die Stammfunktion von

Also 



Zählergrad gleich Nennergrad oder größer, als erstes Polynomdivision


Daraus folgt 

Zählergrad kleiner Nennergrad -> besitzt der Nenner Nullstellen

  ->   und 

->

Den Term multiplizieren wir mit dem Hauptnenner







->   und

Nach lösen der zwei ermittelten Gleichungen ergeben sich für A und B folgende Werte:

   und 




Nun kann man einfach die Stammfunktion ermitteln

mittlere Änderungsrate

Für die mittlere Änderungsrate gilt :

Ämittlere=

a und b geben, jeweils die Grenzen des Intervalles an, in dem die mittlere Änderungsrate bestimmt werden soll.


momentane Änderungsrate

Die momentane Änderungsrate wird durch die erste Ableitung einer Funktion angegeben.

Ämomentan =

Satz: Ist die Funktion f auf dem Intervall stetig, so entsteht bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse über ein Körper mit dem Volumen:

Lösung:
Aus folgt . Nach der Regel für das Volumen folgt:

Satz: Ist die Funktion stetig und umkehrbar mit der Umkehrfunktion , so entsteht bei Rotation der Fläche zwischen dem Graphen von , der y-Achse und den Geraden mit den Gleichungen und ein Rotationskörper mit dem Volumen:

Das Volumen ist

Bestimmung von Definitionslücken:
Eine gebrochenrationale Funktion f ist der Quotient aus zwei ganzrationalen Funktionen z und n. Es gilt also:
Da die Teilbarkeit durch 0 auszuschließen ist, ist der Definitionsbereich gebrochenrationaler Funktionen durch die Nullstellen des Nennerpolynoms eingeschränkt. Hat das Nennerpolynom keine Nullstellen so ist D=R.
Zur Bestimmung der Nullstellen sollten zuerst Nenner und Zähler soweit wie möglich faktorisiert werden. Dazu dienen das Ausklammern, Binomische Formeln sowie die Polynomdivision.

Hebbare/ Nicht- hebbare Lücken:
Hat das Zählerpolynom bei der Definitionslücke x₀ eine Nullstelle, d.h. z(x) strebt für x x₀ gegen 0, so liegt eine stetig behebbare Lücke vor. Sie ist auch daran zu erkennen, dass es sowohl im Nenner als auch im Zähler einen Linearfaktor mit gleichem Wert gibt und es gilt:

Bsp.:
Durch Faktorisieren und anschließendem Kürzen mit (x- x₀) kann der Verlauf des Graphen g der Funktion f in der Nähe der Definitionslücke bestimmt werden. Die Funktion f lässt sich damit an der Stelle x₀ stetig fortsetzen.

Hat das Zählerpolynom bei der Definitionslücke x₀ keine Nullstelle, d.h. z(x) strebt für gegen eine von null verschiedene reelle Zahl, so liegt eine Unendlichkeitsstelle(Polstelle) vor. Sie ist auch daran zu erkennen, dass gilt:


Hierbei ist im Weiteren noch die Unterscheidung zwischen einer Polstelle mit Vorzeichenwechsel (VZW) oder einer Polstelle ohne VZW zu treffen.
Dazu subtrahiert man den Grad des Linearfaktors des Nenners (s) mit dem Grad des Linearfaktors des Zählers (r). Ergibt sich aus dieser Subtraktion (s-r) eine gerade Zahl, so handelt es sich um eine Polstelle ohne VZW. Ergibt sich aus dieser Subtraktion (s-r) eine gerade Zahl, so handelt es sich um eine Polstelle mit VZW.

Gleichung einer senkrechten Asymptote:
Die Gleichung einer senkrechten Asymptote ergibt sich aus der Nullstelle des Nenners einer gebrochenrationalen Funktion. An der Stelle x₀, an der die Nennerfunktion eine Nullstelle hat, liegt die senkrechte Asymptote des Graphen g der Funktion f, so lange Zähler und Nenner nicht an der gleichen Stelle gleich null werden.


Es ist . Der Zähler wird an der Stelle   nicht null. Somit ist die senkrechte Asymptote die Gerade mit der Gleichung

Lagebeziehungen von Geraden:
Für zwei Geraden im Raum sind vier Fälle möglich:
a) Sie sind echt parallel.
b) Sie sind identisch.
c) Sie schneiden sich.
d) Sie sind windschief.

Als Beispiel für zwei Geraden sei gegeben: Gerade 1 mit   und Gerade 2 mit
Zu Fall a)
Zwei Geraden sind echt parallel, wenn ihre Richtungsvektoren  und linear abhängig sind und ein Richtungsvektor (entweder oder ) linear unabhängig zur Differenz der Aufpunktvektoren ()ist.
Zu Fall b)
Zwei Geraden sind echt parallel, wenn ihre Richtungsvektoren  und linear abhängig sind und ein Richtungsvektor (entweder und) linear abhängig zur Differenz der Aufpunktvektoren () ist.
Zu Fall c)
Zwei Geraden schneiden sich, ihre Richtungsvektoren  linear unabhängig sind und beide Richtungsvektoren und linear abhängig zur Differenz der Aufpunktvektoren () sind.
Zu Fall d)
Zwei Geraden sind windschief, wenn sowohl Richtungsvektoren und   linear unabhängig sind, als auch beide Richtungsvektoren und linear unabhängig zur Differenz der Aufpunktvektoren () sind.

g und h schneiden sich in einem Punkt, wenn die Vektorgleichung genau eine Lösung (r₀, t₀) hat.
g und h sind identisch, wenn die Vektorgleichung unendlich viele Lösungen hat.
g und h haben keinen gemeinsamen Punkt, wenn die Vektorgleichung keine Lösung hat.

Parameterdarstellung für Ebenen mit drei Punkten:
Die Gleichung einer Ebene E mit dem Stützvektor und den Spannvektoren und lautet:
; r, s ∈ R.
E ist festgelegt durch die Punkte A, B und C:
Stützvektor: Ortsvektor von A
Spannvektoren:
Punktprobe für den Punkt D:
Setzt man die Koordinaten für D in die Gleichung für E ein, erhält man ein LGS mit drei linearen Gleichungen für zwei Variablen r und s.
Aus zwei Gleichungen erhält man Werte für r und s; erfüllen diese Werte auch die dritte Gleichung liegt der Punkt D in E.

Man nutzt Integralrechnung, um den Mittelwert M einer (stetigen) Funktion im Intervall [a;b] zu berechnen. Dazu teilt man das Integral in diesem Intervall durch die Differenz von b und a.



Beispiel: Berechnen Sie den durchschnittlichen Funktionswert der Funktion f mit:
(x Element der reellen Zahlen)
im Intervall von 0 bis 3.

Der Flächeninhalt A eines Dreiecks ABC entspricht der Hälfte der Länge des Kreuzprodukts zweier Vektoren, die dieses Dreieck aufspannen.



Beispiel: Gesucht ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(0/0/0), B(2/2/2) und C(0/2/2). Für A ergibt sich:









Ein Tetraeder ist eine Pyramide mit einer dreieckigen Grundfläche, bei der alle Seiten gleichlang sind.
Für das Volumen V gilt allgemein:



Als Beispiel nehmen wir einen Tetraeder ABCD mit den Eckpunkten A (1/1/1), B (1/0/0), C (0/1/0) und D (0/0/1).
Für das Volumen V ergibt sich:

Der Abstand d eines Punktes Q zur Ebene E (mit dem Punkt P und dem Normalvektor (Länge = 1LE)) lässt sich am einfachsten mit der HNF (Hesse'sche Normalenform) berechnen.



Beispiel: Welchen Abstand hat Q (5/3/1) zur -Ebene?



Hinweis: Auch andere Methoden, wie das Benutzen einer zu E senkrechten Geraden durch Q, um den zu Q nächsten Punkt in E zu finden, können benutzt werden.

Überlegung:

Zur Hilfe wird eine Ebene E, die orthogonal zur Geraden g ist und den Punkt P enthält aufgestellt. Der Richtungsvektor der Geraden wird dabei als Normalenvektor der Hilfsebene verwendet. Der Schnittpunkt von Gerade und Hilfsebene ist der Lotfußpunkt F. Die Länge der Strecke ist der gesuchte Abstand.
Die Ebene wird beschrieben durch Der gemeinsame Punkt von g und muss beide Gleichungen erfüllen, d.h. es muss gelten:





Dieser Wert für r wird in die Parameterdarstellung von g eingesetzt und man erhät die Koordinaten des Lotfußpunktes. Mit der Berechung der Länge der Strecke ist der gesuchte Abstand bestimmt.

Eine Hilfseben wäre
Für r ergibt sich:

Für den Lotfußpunkt folgt daraus:

Als Länge der Strecke und damit den gesuchten Abstand ergibt sich:

Produktionsprozesse: Mithilfe von Matrizen lässt sich der Ablauf einer Produktion beschreiben: beispielsweise, wie sich verschiedene Produkte aus Grundelementen( also Erzeugnise aus Rohstoffen oder Enderzeugnisse aus Zwischenerzeugnissen) oder Produktionsaufträge aus einzelnen Kundenaufträgen zusammensetzen.

Entwicklungsprozesse: Man betrachtet eine Population von Individuen in verschiedenen Entwicklungsstadien, die mit gewissen Überlebenswahrscheinlichkeiten eine nächste Phase der Entwicklung erreichen, sich außerdem in bestimmten Phasen vermehren oder sterben können. In die Matrix gehen sowohl die Überlebenswahrscheinlichkeiten als auch die Reproduktionsrate als Koeffizienten ein.

Zufallsprozesse: Die Zustände eines Systems werden mithilfe von Zustandsvektoren beschrieben. Diese geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes Ereigniss zu einem bestimmten Zeitpunkt eintritt. Die zugehörigen Ereignisse (Zustände) und die Wahrscheinlichkeit für die Übergänge zwischen den Ereignissen werden graphisch mithilfe eines Übergangsdiagramms beschrieben, algebraisch mithilfe der Übergangsmatrix. Dabei wird die Übergangswahrscheinlichkeit von einem Zeitpunkt E, in einen Zustand E, in die Zeile a, der Matrix eingetragen (i-te Zeile, j-te Spalte). Da die Zustandsvektoren von Zufallsprozessen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreiben, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten in einer Spalte der Übergangsmatrix und in jedem Zustandsvektor immer gleich eins.

Wird ein Prozess durch eine Matrix beschrieben, dann erhält man aus dem Ausgangsvektor durch Multiplizieren den Vektor des zeitlich nachfolgenden Zustandes und durch wiederholte Multiplikation mit der Matrix die darauf folgenden Zustände. Diese kann man direkt auch dadurch berechnen, dass man - gemäß dem Assoziativgesetz- zunächst die entsprechende Matrixpotenz berechnet und diese dann mit dem Ausgangsvektor multipliziert:

= * , = * , = * usw. oder = * ,
=² * , = ³ * ...

Gilt für irgendeine Matrixpotenz von , dass = E(Einheitsmatrix) für , also =, dann wird durch die Übergangsmatrix ein zyklischer Prozess der Länge n beschrieben. Dies bedeutet, dass sich die Folge der Zustandsvektoren jeweils nach n Schritten wiederholt.
   

Monotonie:

Graph sei G von f mit f(x) und G' sei die Ableitung von f mit f'(x)

1) Wenn G'{oberhalb;unterhalb} der x-Achse verläuft, ist f streng monoton {zunehmend;abnehmend}.

2) Wenn G' die x-Achse an der Stelle xo schneidet, hat G an diese Stelle ein Extrema.

3) Wenn G' streng monoton {zunehmend;abnehmend} verläuft, hat G eine {Linkskrümmung;Rechtskrümmung}.

4) Wenn G' an der Stelle xo ein Extrema hat, so hat G an diese Stelle einen Wendepunkt.

1) Krümmungsverhalten:

Wenn f''(x)>0  {f''(x)<0} gilt, dann ist der Graph von f linksgerümmt {rechtsgekrümmt}. Der Graf vom f heißt linksgekrümmt {rechtsgekrümmt } genau dann, wenn f' streng monoton steigend {fallend} ist.


2) Wendepunkte:

Notwendige Bedingung:
f''(xo)=0
Hinreichende Bedingung:
f'''(xo)>0 R/L Wendestelle
f'''(xo)<0 L/R Wendestelle

3) Sattelpunkte:

Sattelpunkte sind Wendepunkte, mit einer zur x-Achse parallelen Tangente
Wenn gilt:
f'(xo)=0
f''(xo)=0
sowie -> nur, wenn das gilt, gibt es einen Sattelpunkt.

2. Lokale Extrempunkte:

Notwendige Bedingung: f'(xo)=0

Hinreichende Bedingung:
mit der 2. Ableitung, wenn f'(xo)=0 und f''(xo)>0 {f''(xo)<0}. So befindet sich an der Stelle xo ein lokales Minimum {Maximum}

Alternative hinreichende Bedingung (Vorzeichenwechselkriterium VZW):
Falls f'(xo)=0 und f' an der Stelle xo einen -/+ VZW bzw. {+/- VZW} hat, so ist an der Stelle xo ein lokales Minimum {Maximum}.

3. Absolute Extrempunkte:

Vergleicht man alle lokalen Minima {Maxima} und die Funktionwerte an den Rändern des Intervalls I, so ist der kleinste {größte} Wert daraus, das absolute Minimum {Maximum}.