Get these flashcards, study & pass exams. For free! Even on iPhone/Android!

Die Steigung erhält man über das Verhältnis "Hochwert durch Rechtswert" bei einem (beliebigen) Steigungsdreieck. Durch die Differenzen der Punktkoordinaten erhalten wir solch ein Steigungsdreick.
Tipps:
1. Ziehe immer von den Koordianten des  rechten Punkts die
    Koordinaten des linken Punktes ab. (Dann ist der Nenner bei
    der Steigung positiv.)
2. Kontrolliere das Ergebniss durch Überschlag.
    Die Steigung muss postiv sein, wenn der rechte Punkt über
    dem linken liegt.
    Schaubilder mit betragsmäßig kleinen Steigungen
    verlaufen "flach".

Hier:


Kontrolle durch Überschlag:
Die y-Koordinaten der Geradepunkte steigen stark an (pro Einheit nach rechts um 2,6).

Die Geradengleichung lautet: .
Jeder Punkt auf dieser Geraden besitzt die y-Koordinate -2.
Jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugeordnet. Damit lautet die Funktionsgleichung: (konstante Funktion).

Die Geradengleichung lautet: .
Jeder Punkt auf dieser Geraden besitzt die x-Koordinate 4.
Zu dieser Geraden kann man keine Funktionsgleichung aufstellen. Bei einer Funktion wird eine eindeutige Zuordnung gefordert, bei der jedem x-Wert aus der Definitionsmenge genau ein y-Wert zugeordnet wird. Hier werden dem x-Wert 4 unendlich viele y-Werte zugeordnet - die Eindeutigkeit wird dadurch verletzt.

Zu den Parallelen zur y-Achse können wir nur Geradengleichungen- aber keine Funktionsgleichungen aufstellen.

"Orthogonal" ist ein Synonym zu "rechtwinklig".
Die Orthogonalitätsbedingung lautet: oder .

Dies bedeutet, dass bei zwei zueinander senkrecht stehenden Geraden die eine Steigung genau die Gegenzahl des Kehrwertes der anderen Steigung ist.
(Z. B. ist zu einer Geraden mit der Steigung 2 jede Gerade orthogonal, die die Steigung besitzt.)

Die Orthogonalitätsbediung wird beim Zusammenhang von Tangenten und Normalen benötigt.

Die Koordinaten des Streckenmittelpunktes sind die "Durchschnitte" der jeweiligen Eckkoordinaten.

mit:
   und   .

Der Schwerpunkt S eines Dreiecks errechnet sich als "physikalischer Mittelpunkt" (Besondere Punkte im Dreieck) analog:

mit:
   und   .

Quadratfunktion:

           
           

Kehrwertfunktion:

           

Wurzelfunktion:

           

Bei einer Verschiebung um a Längeneinheiten in x-Richtung muss man jedes x im Funktionsterm durch den Ausdruck (x-a) ersetzten.
(Falls a negativ ist muss man in der Klammer natürlich den Betrag von a addieren.)
Zur verschobenen Normalparabel wir aus .
Animation auf dem Landesbildungsserver Baden-Württemberg

Bei einer Verschiebung um b Längeneinheiten in y-Richtung muss zum "alten" Funktionsterm die Verschiebung b addieren.
(Falls b negativ ist, muss man natürlich den Betrag von b subtrahieren.)
Zur verschobenen Normalparabel wir aus .
Animation auf dem Landesbildungsserver Baden-Württemberg

Die Ursprungsgerade mit der Steigung 1/3 besitzt die Geradengleichung .

Durch Verschiebung in x-Richtung bis zur x-Koordinate von P wird hieraus:  .

Schließlich erhalten wir durch eine weitere Verschiebung zur y-Koordinate von P:  .

Nicht gefordert ist hier die Umformung zur Hauptform einer Geradengleichung (mit dem y-Achsenabschnitt). Diese erhält man durch Ausmultiplizieren:  .

Geradengleichung von h: .

Mit Hilfe der Tangensbeziehung am rechtwinkligen Dreieck folgt aus dem Steigungsdreieck für den Steigungswinkel .

Bei einer Geraden mit der Steigung eins ist das Verhältnis aus Hochwert zu Rechtswert bei jedem Steigungsdreieck 1. Der Steigungswinkel ist hierbei Basiswinkel eines rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecks und somit gleich 45°.

Steigungswinkel können Werte zwischen -90° und +90° annehmen. (Bei +/-90° ist die Geradensteigung nicht definiert, da die Gerade parallel zur y-Achse verläuft - der Rechtswert bei allen Steigungsdreiecken ist hier 0!)

(Lässt man keine negativen Steigungswinkel zu, liegen die Steigungswinkel zwischen 0° und 180°, wobei die Steigungen der Geraden ab 90° negativ verlaufen.)

Liegt der y-Wert des rechten Punktes unterhalb des y-Wertes des linken, dann "fällt die Gerade an". Der Steigungswinkel (und die Steigung) ist in diesen Fällen negativ.

Erstelle zunächst eine Skizze!
Bestimme die Steigungswinkel zu jeder einzelnen Geraden und errechne hieraus den Wert für die Steigungswinkel beider Geraden.
Beachte, dass man je nach Lage der Geraden die Steigungswinkel addieren bzw. voneinander subtrahieren muss. Aus diesem Grund ist bei dieser Aufgabenstellung eine Skizze unbedingt zu empfehlen.

Linktipp: Landesbildungsserver Baden-Württemberg

Antwort
Schaubild der Kehrwertfunktion heißt Hyperbel: blau
Schaubild der Quadratfunktion (heißt Nomalparabel): rot
Schaubild der Wurzelfunktion: grün

Eine Antiproportionalität ist eine „gestreckte“ Kehrwertfunktion. Das Verdoppeln des x-Wertes bewirkt stets eine Halbierung des entsprechenden Funktionswertes.

Linktipp: Die wichtigsten Funktionen mit ihren Schaubildern

Bei einer zeitlichen Änderungsrate betrachtet man eine (Bestands-)Größe über eine gewisse Zeitdauer.
Verändert sich der Bestand in dieser Zeitspanne, so errechnet man den Änderungsbetrag und teilt diesen durch die Länge der Zeitspanne.
In vielen Fällen wählt man einen Zeitschritt (1 Sekunde, 1 Minute oder 1 Jahr), wodurch der Änderungsbetrag mit der Änderungsrate interpretiert wird. Das ist nicht ganz richtig, da durch die Division mit einer Zeit auch hier die Einheit zugefügt werden muss.

Für eine zeitliche Änderungsrate benötigt man zwei "Messpunkte" auf dem Schaubild. Die y-Werte sind hierbei die jeweiligen Bestände, die x-Werte die Zeitpunkte der Messungen.

Verbindet man die beiden Punkte durch eine Gerade (Sekante) und zeichnet zwischen den zwei Punkten das Steigungsdreieck, dann entspricht die Änderungsrate gerade dem Quotienten  aus Hochhwert durch Rechtswert - also der Sekantensteigung. 

(Je steiler die Sekante, umso größer ist die ÄndR des entsprechenden Bestandes.)

Trägt man z. B. bei einer Autofahrt die zurückgelegte Strecke über der Zeit in ein Achsenkreuz auf, so kann man mit Hilfe von zwei Punkten des Schaubildes die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen dem entsprechenden Zeitintervall bestimmen.
Sie entspricht der Differenz der Streckenwerte geteilt durch die Dauer des Zeitintervalls - und das ist gerade die mittlere zeitliche ÄndR in diesem Intervall.

Die Steigung einer Sekanten im t-s-Diagramm ist ein Maß für die Geschwindigkeit.
Die zurückgelegte Gesamtstrecke ist hierbei unsere (Bestands-) Größe und die Geschwindigkeit die zeitliche Änderungsrate davon.

Beim proportionalen und linearen Wachstum ist die ÄndR stets konstant.

(Die Sekanten durch zwei Punkte des Schaubildes liegen genau auf dem Schaubild. Ihre Steigung ist immer gleich.)

Beim exponentiellen Wachstum ist die ÄndR proportional zum alten Bestand. Mathematisch lässt sich das kurz in Form einer Gleichung darstellen:

gilt für alle Werte von t.

Antwort
Bei der Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit (blau) ändert sich der "y-Wert" (Geschwindigkeit) nicht. Wir erhalten eine Parallele zur Zeitachse (=x-Achse).
Bei der gleichförmig beschleunigten Bewegung (rot) nimmt die Geschwindigkeit in gleichen Zeitabständen um gleiche Werte zu. Das Schaubild ist eine Ursprungsgerade (bei einer Beschleunigung aus dem Stand.) Die "Steigung" dieser Geraden ist eine Maß für die Änderungsrate der Geschwindigkeit(=Beschleunigung).

Man wählt zu einer Stelle eine „Nachbarstelle“ und bildet mit den zugehörigen Funktionswerten den so genannten Differenzenquotienten

Durch Ausklammern von h im Zähler und durch Kürzen mit h (bzw. geschicktes Umformen) wird der Bruch „reif für den Grenz­über­gang“: .

Nur wenn die Funktionsvariable (x) eine Zeit beschreibt, spricht man von momentaner Änderungsrate. In allen anderen Fällen sagt man lokale Änderungsrate.

Geometrisch entspricht dieser Grenzübergang dem Übergang von einer Sekante zur Tangenten.

Linktipp: Von der Sekanten zur Tangenten

Da die Kreisfläche nicht von der Zeit abhängt, handelt es sich um eine lokale ÄndR.
Bestandsfunktion:
Differenzenquotient:


Der Differenzenquotient ist nun "reif für den Grenzübergang", denn nach dem Kürzen mit h kann der Nenner nicht mehr null werden.



Hieraus folgt für die lokale ÄndR und für die lokale ÄndR .

Die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x ist über den Grenzwert des Differenzenquotienten definiert:

1. Grenzwert des Differenzenquotienten (Definition der Ableitung).
2. Steigung der Tangenten an das Schaubild.
3. Momentane oder lokale Änderungsrate.

Kürzen mit h und Durchführung des Grenzübergangs führt zum Ergebnis: 

Achtung: Häufige Rechenfehler beim Aufstellen des Differenzenquotienten, da Minusklammern auftreten, sobald die Funktion aus einer Summe oder Differenz besteht.

  (HN im Zähler ist )




Kürzen mit h und Durchführung des Grenzübergangs führt zum Ergebnis: 

Achtung: Beachte, dass das Minuszeichen in der dritten Zeile auf wirkt. Hierdurch kommt das Minus im Ergebnis zustande.

  (Wurzel im Zähler verschwinden durch "geschicktes" Erweitern)




Kürzen mit h und Durchführung des Grenzübergangs führt zum Ergebnis: 

Achtung: Beim "geschickten" Erweitern wurde die dritte binomische Formel ausgenutzt.
und

Die Gerade besitzt die Steigung 3. Gesucht ist daher die Stelle (x-Wert), bei dem die Normalparabel die Steigung 3 hat.
Die Funktion zur Normalparabel lautet die zugehörige Die zugehörige Ableitungsfunktion liefert die Tangentensteigungen:
Löse die Gleichung

Antwort: An der Stelle hat die Tangente an die Normalparabel die gleiche Steigung wie die genannte Gerade.

Zugehörige Funktion: Tangentensteigung aus Ableitungsfunktion somit beträgt die Tangentsteigung an der Stelle 1,5:
Der y-Wert an der Stelle 1,5 ist
Verschiebt man eine Ursprungsgerade mit der Steigung 3 um 1,5 in x-Richtung und in y-Richtung erhält man die gesuchte Tangente. Ihre Gleichung lautet:

Aufgrund der Orthogonalitätsbedingung folgt für die Gleichung der zugehörigen Normalen:


Hinweis:
In der Hauptform (mit Steigung und y-Achsenabschnitt) lauten die Gleichungen:
Tangente:
Normale:

Leite die Funktion zum Schaubild ab und setzte den x-Wert des Punktes in die Ableitungsfunktion ein. Wir erhalten die Tangentensteigung.
Durch Verschiebung der entsprechenden Ursprungsgerade in x- und y-Richtung erhalten wir die Tangentengleichung:

Leite die Funktion zum Schaubild ab und setzte die Ableitungsfunktion mit der gegebenen Steigung gleich. Die Gleichung besitzt eine oder mehrere Lösungen, je nachdem, ob es eine oder mehrere Tangenten mit der geforderten Steigung gibt.
Jede Lösung entspricht dem x-Wert eines Berührpunktes. Den zugehörigen y-Wert erhält man durch Einsetzen des x-Wertes in f(x).

Durch Verschiebung der Ursprungsgeraden mit der geforderten Steigung in x- und y-Richtung erhalten wir die Tangentengleichung:


                           

Bemerkungen:
Beim Schaubild der Kehrwertfunktion gibt es für alle Steigungen außer m=0 zwei Tangenten.
Bei Parabeln gerader Ordnung gibt es zu jeder Steigung genau eine Lösung.
Bei ganzrationalen Funktionen mit einem Grad > 2 kann es mehrere Lösungen geben.

Diesen Typ löst man mit einem zunächst variablen Berührpunkt oder alternativ mit einer Funktionenschar.

Der x-Wert des variablen Berührpunktes bzw. der Parameter der Funktionenschar werden  mit Hilfe einer Gleichung so gewählt, dass die Tangente durch P verläuft.

siehe Lösungsvarianten bei Tangentenproblem 2 auf Tangentenprobleme in der Oberstufe

Aus der Bedingung folgt die (Achsen-)Sym­me­trie des Schaubildes von f zur y-Achse
Beachte, dass man die entsprechende Funktion als "gerade" bezeichnet - nicht aber das Schaubild!
Beispiele:
- Jede konstante Funktion
-  Potenzfunktionen mit  gerader, ganzzahligen Hochzahl:
  
- Jede ganzrationale Funktion  mit ausschließlich geraden
   "x-Potenzen" .
  
  
- Die Kosinusfunktion mit beliebigem
   .
- Die Nullfunktion . (Einzige Funktion die sowohl
  gerade, als auch ungerade ist.)

Bemerkungen:
In Worten bedeutet die obige Gleichung: "Betrachtet man
auf der x-Achse eine Zahl und ihre Gegenzahl, so sind auch die entsprechenden y-Werte identisch."
Gerade Zahlen haben immer die Form eines Produkt aus einer natürlichen Zahl mit 2.

Aus der Bedingung folgt die Punktsym­me­trie des Schaubildes von f zum Ur­sprung
Beachte, dass man die entsprechende Funktion als "ungerade" bezeichnet - nicht aber das Schaubild!
Beispiele:
- Jede Proportionalität oder
   allg. Potenzfktn. mit ungerader, ganzzahliger Hochzahl
   .
   Hierzu zählt auch die Kehrwertfunktion  
- Jede ganzrationale Funktion  mit ausschließlich ungeraden
   "x-Potenzen"
   
  
- Die Sinusfunktion mit beliebigem
   .
- Die Nullfunktion . (Einzige Funktion die sowohl
  gerade, als auch ungerade ist.)

Bemerkungen:
In Worten bedeutet die obige Gleichung: "Betrachtet man
auf der x-Achse eine Zahl und ihre Gegenzahl, so sind auch die entsprechenden y-Werte jeweils Zahl und Gegenzahl."
Ungerade Zahlen haben immer die Form eines Produkt aus einer natürlichen Zahl mit 2 abzüglich oder zuzüglich 1.

Die Funktion f ist für alle reelen Zahlen definiert. Für jedes x gilt:


Somit ist die Funktion f gerade und das zugehörige Schaubild ist symmetrisch zur y-Achse.

Nullstellen einer Funktion sind die Zahlen, die beim Einsetzten in die Funktion den y-Wert 0 ergeben .

Aufgabenstellung 1:
Finde die Nullstellen der Funktion f.

Aufgabenstellung 2:
Finde alle Stellen, bei denen das Schaubild der Funktion f die x-Achse schneidet oder berührt.

Aufgabenstellung 3:
Löse die Geichung f(x)=0.

Versuche den Funktionsterm als Produkt zu schreiben.
1. Möglichst x oder x-Potenzen ausklammern.
2. Biquadratische Gleichungen durch Substitution lösen.
3. Die Summe bei Quadratische Gleichungen mit binomischen
    Formeln in ein Produkt umwandeln.
4. (Polynomdivision ist nicht mehr Lehrplanstoff in Baden-Württem-
    berg).

Wir überlegen bei der Nullstellensuche, für welche Zahlen die einzelnen Faktoren null ergeben. Hierbei verwenden wir den
Satz:
Ein Produkt ist genau dann null, wenn (mindestens) einer der Faktoren null ergibt.

Bemerkungen:
kann niemals null ergeben.

Die Steigungen des Schaubildes von f sind links von x negativ und rechts von x positiv. Damit liegt an der Stelle x eine Maximalstelle vor.

Animation: Informationen aus dem Schaubild von f'(x).

Links und rechts von der Stelle x sind die Steigungen des Schaubildes von f jeweils positiv,falls das Schaubild von f' die x-Achse von oben berührt andernfalls negativ.
An der Stelle x ist die Steigung des Schaubildes von f null. Somit liegt an dieser Stelle ein Sattelpunkt des Schaubildes von f.

Setzte den ersten und den dritten Haken bei Animation: Informationen aus dem Schaubild von f'(x) und stelle anschließend den roten Schieberegler (y Verschiebung) auf null.

Links von einem Hochpunkt findet man stets positive Tangentensteigungen, rechts davon sind sie negativ. Damit liegt an jeder Stelle, an der das Schaubild der Ableitungsfunktion f'(x) die x-Achse von oben nach unten durchschneidet ein Hochpunkt im Schaubild von f(x).

Animation: Informationen aus dem Schaubild von f'(x).

Hochpunkte, Tiefpunkte und die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

Die Funktion besitzt eine einfache Nullstelle bei und , eine doppelte Nullstelle bei und eine dreifache Nullstelle bei .
Das Schaubild schneidet die x-Achse bei den einfachen Nullstellen (lokal nährungsweise wie eine Gerade), es berührt die x-Achse bei der doppelten Nullstellen (näherungsweise wie eine Parabel) und schneidet die x-Achse in einem Sattelpunkt (auch Terassenpunkt) bei der dreifachen Nullstelle (lokal wie einer Parabel dritter Ordnung).

Für die Lösung dieser Aufgabe benötigt man nicht unbedingt die Differenzialrechnung.
Die einfache Nullstelle liefert den Faktor , die doppelte Nullstelle (bei x=1) entsprechend . Hieraus ergibt sich eine (Hilfs-)Funktion , die wir so in y-Richtung strecken, dass das Schaubild der gestreckten Funktion durch (0/6) verläuft.

Aus (0/6) folgt:
also .



(Bei f(x) handelt es sich um eine ganzrationale Funktion, aber eine Darstellung in Summenform ist nicht gefordert! Kontrolliere das Ergebnis mit dem GTR/CAS.)

Jede Nullstelle   einer ganzrationalen Funktion erzeugt in der Produktform einen Linearfaktor der Form .
Gäbe es mehr als n Nullstellen, könnte man die Funktion in der Produktdarstellung mit mehr als n Linearfaktoren darstellen. Beim Ausmultiplizieren wäre hierbei die größte x-Potenz größer als n. Das kann nicht sein.

Beachte: Es gibt natürlich ganzrationale Funktionen vom Grad n mit weniger als n Nullstellen.
Beispiel: hat gar keine Nullstelle.

Bei einer inneren Extremstelle muss die erste Ableitung den Wert null besitzten, denn bei jeder inneren Extremstelle muss das Schaubild eine waagerechte Tangente besitzten.
Allerdings reicht es nicht umgekehrt nicht aus, zur Bestimmung der Extremstellen nur die Nullstellen der Ableitungsfunktion zu betrachten. (Diese sind nur "Kandidaten für Extremstellen".)  Es gibt ja noch die Sattel- oder Terassenpunkte.

Aus einer inneren Extremstelle darf man auf die Nullstelle der Ableitungsfunktion schließen, nicht aber umkehrt.

Wir sagen: ist notwendig für eine Extremstelle, nicht aber hinreichend.

Wenn die Ableitungsfunktion f' negative Werte besitzt, bedeutet das für die Stammfunktion f, dass die y-Werte abnehmen (zugehöriges Schaubild fällt) - bei positiven Werten von f' nehmen die y-Werte von f zu (Schaubild von f steigt).
Damit bedeutet ein VZ-Wechsel bei f' von Minus nach Plus, dass hier bei f ein ein Übergang von abnehmenden nach zunehmenden y-Werten stattfindet - dies überführt eine Minimalstelle.
Bei einer Maximalstelle ist es umgekehrt.
Betrachte hierzu auch das YouTube-Video Hinreichende Bedingung für Extremstelle

Bei einem Sattelpunkt (auch Terassenpunkt) muss an der entsprechenden Stelle die Ableitungsfunktion f' den Wert null besitzten (Sattelpunkte haben waagerechte Tangenten),  rechts und links von muss f' entweder nur positive Werte oder nur negative Werte besitzten.
Jede dieser zwei Bedingungen ist notwendig für einen Sattelpunkt - nur wenn beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind, können wir an dieser Stelle sicher auf einen Sattelpunkt schließen - sie sind hierfür hinreichend.

Ebenfalls hinreichend für einen Sattelpunkt an der Stelle ist die Bedingung, dass sowohl als auch gilt.